Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Если бы оказалось, что в результате измерения длины  такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число можно представить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: = 5,666....

Итак, при измерении  длин отрезков могут получаться бесконечные  десятичные дроби, которые могут быть как периодическими, так и непериодическими.

Однако существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Теорема. Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.

Доказательство. Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное  тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата АВСО выражается несократимой дробью Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство

Из него следует, что т² = 2n². Значит, т² - четное число, тогда и число т - четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, т = 2р. Заменив в равенстве т² = 2n² число т на 2р, получаем, что Отсюда следует, что n² четно, следовательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими. Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа через процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так, , - это иррациональное числа. Иррациональными являются также и другие.

Множество положительных  иррациональных чисел обозначают символом I₊

Объединение двух множеств чисел: положительных  рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R₊ Таким образом, При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке.

Любое положительное  действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над  положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и  умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью  положительных действительных чисел  можно выразить результат измерения  любой скалярной величины: длины, площади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел нужны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R₊, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество всех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняются  по правилам, известным нам из школьного  курса математики.

 

Выводы  по первой главе

В данном параграфе были уточнены следующие понятия, известные из школьного курса математики:

-дробь (правильная  и неправильная);

- равные дроби;

- несократимая  дробь;

- положительное  рациональное число;

- равенство  положительных рациональных чисел;

- смешанная  дробь;

- бесконечная  периодическая десятичная дробь;

- бесконечная  непериодическая десятичная дробь;

- иррациональное  число;

- действительное  число.

Анализ теоретической  литературы показал, что отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и оно лежит в основе определения понятия положительного рационального числа. Была определена связь сложения и умножения положительных рациональных чисел с измерением длин отрезков и получены формулы для нахождения их суммы и произведения.

Мы доказали, что множество    положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.

Изучив различные  теоретические источники [4,5,21,48], мы выяснили, что любое положительное рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Бесконечные непериодические дроби считают  записями иррациональных чисел.

 

 

Глава 2 Методические аспекты формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы

2.1. Методика формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы

Темы «Доли» и «Дроби» традиционно присутствовали во всех учебниках по математике для  начальных классов. В прежних  вариантах учебников тема «Доли» рассматривалась во 2 классе системы 1-3 и в 3 классе системы 1-4. Учащиеся знакомились с понятием доли (дроби вида ) и дроби (правильной дроби, в которой числитель меньше знаменателя), учились сравнивать дроби с опорой на предметную модель и решать два вида задач с дробями: нахождение дроби от числа и нахождение числа по его дроби.

На сегодня в соответствии с «Обязательным минимумом требований к уровню подготовки выпускников начальной школы» [17] объем изучения данной темы значительно сократился в учебниках традиционной содержательной ориентации (учебники М.И. Моро и др., учебники Н.Б. Истоминой). В то же время эта тема значительно расширена в вариативных учебниках системы Л.В. Занкова, системы В.В. Давыдова и «Школы 2100». В этих методических школах расширение объема знакомства с дробями обусловлено стремлением авторов сформировать у ребенка более общее представление о числе. Поскольку сформировать хоть в какой-то мере обобщенное представление об объекте возможно только в процессе произведения умственных операций над данным объектом (сравнение его с объектами другого рода, выделение сходства и различия, проведение аналогий и др.), необходимо иметь для организации данной умственной деятельности хотя бы два вида объектов. Знакомство младших школьников только с натуральными числами не позволяет проводить такую работу. Дроби не являются натуральными числами (поскольку не являются целыми) – это числа рациональные. Не ввода в словарь ребенка эти термины, можно тем не менее организовать работу по сопоставлению этих двух видов чисел и знакомству с некоторыми сходными операциями с этими числами (соотнесение с предметной моделью, запись, сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями и т. п.).

В последней редакции традиционного  учебника математики понятие «Доля  целого» рассматривается в 4 классе (часть 1) и некоторые сведения о дробях даются на последних страницах учебника для 4 класса (часть 2). Задания на нахождение дроби от числа и нахождения числа по данному значению его дроби встречаются в тексте учебных пособий несколько раз.

Понятие дроби связано  с расширением множества целых чисел до множества рациональных чисел. Теоретически считается, что знакомство младших школьников с долями и дробями имеет целью расширение их представлений о числе, однако, практически этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно всегда рассматривалось в начальной школе, с множеством чисел фактически не связывается.

Дробь в классической методической трактовке курса математики для начальных классов – это способ получения части объекта, при этом искомая часть необходимо удовлетворяет ряду специальных требований.

В математике рассматривается  два подхода к определению понятия дроби – аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический – на основе измерения длин отрезков.

По определению дробь — это число вида , где m и n — целые числа, причем n не равно 0.

Далее определяется ряд  операций для чисел этого вида (что понимать под сложением и  вычитанием дробей, что понимать под  умножением и делением дробей, какую  дробь считать большей, а какую – меньшей) и ряд свойств, которыми обладают дроби (например, основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом значение дроби не изменится).

Такой подход отражен в учебниках для 5 – 6 классов, что позволяет говорить о возможности формирования понятия дроби как числа.

В учебниках  математики для начальных классов  отражен другой подход к определению  понятия рационального числа (дроби) — через измерение длины отрезка. Для описания результата этого процесса используют дробь.

Суть процесса состоит  в следующем: если удается разделить некоторый объект А (например, отрезок) на b равных частей (т. е. взятую мерку b уложить по длине отрезка без остатка) и взять с таких частей, то, результат этой операции можно выразить так:

Получена часть объекта А. При этом не рассматривается как самостоятельное число, а только как « - ая часть объекта А».

Например, для ученика  начальных классов фактически не имеет смысла символ сам по себе, так как непонятно, что именно разделено на 4 равные части. В то же время словосочетание « часть яблока» имеет смысл: из него ребенку ясно, что яблоко было разделено на 4 равные части и взята 1 часть.

Таким образом, программой начальных классов не предусмотрено  формирование понятия дроби как  числа. Сведения о дробях ребенок получает только через практические действия над реальными объектами, величинами, множествами и описание этих действий на языке специальных символов (дробей). Все эти действия считаются подготовкой к знакомству с дробями в 5 – 6 классе. Данный подход к формированию представлений о долях и дробях реализован во всех альтернативных учебниках математики для начальных классов.

Методическая проблема знакомства ребенка с дробями  состоит в выборе учителем целесообразного  множества исходных объектов и практических операций, которые ученик будет выполнять над ними. Понятие дроби будет отождествляться с результатом этой операции. Термин «целесообразное множество» подразумевает, что множество выбранных объектов должно делиться нацело, иначе нельзя воплотить требование «равные части», при этом в случае геометрической фигуры можно иметь в виду и равновеликие части, например:

Сформированность  представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие  операции:

1) записывать дробь,  ориентируясь на объект или рисунок;

2) сравнивать дроби с  опорой на объект или рисунок;

3) находить «дробь от  числа» (делением объекта или  множества на равные части);

4) восстанавливать число  по известной его дроби (обратная  операция).

Все эти умения формируются  на основе принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.

Словом «доля» в 3 классе [17;259] называют дробь вида . Долю получают делением объекта на несколько равных частей.

Запись вида подразумевает, что объект разделили на две или четыре равных части и взяли одну из них. Запись такого вида в последней редакции учебника математики для 3 класса (2001) не рассматривается.

Детям сообщается словесное название полученной части: одна двенадцатая доля, одна шестая доля...

Используя рисунок  круга, разделенного на несколько равных частей дети сравнивают доли, обозначая результат сравнения словом (а не знаком).

Например:

Назови, какие  доли круга получились на каждом чертеже. Сравни, какая доля больше: одна восьмая  или одна четвертая; одна третья или  одна шестая.

Далее в учебнике сразу предлагаются задания на нахождение доли величины и величины по ее доле, сформулированные в виде задач.

Приведем пример задания на нахождение доли величины [17;260]:

Длина ленты 9 дм. Отрезали одну треть этой ленты. Сколько дециметров ленты отрезали?

Выполнение:

Данное задание  является типовой задачей на нахождение доли величины. Смысл задания соответствует процессу нахождения доли объекта. Для иллюстрации этого смысла дети чертят в тетради отрезок длиной 9 дм (модель заданного в задаче объекта). Повторяют способ действия для получения одной третьей части (доли) объекта: разделим отрезок на три равные части. Запись 9 дм:3 = 3 дм. Затем выполняют операцию разделения на отрезке и измеряют полученную третью часть (проверка).

Приведем пример задания (задачи) на нахождение числа  по его доле[17;261] :

Длина одной  третьей части отрезка равна 4 см. Узнай длину всего отрезка.

Выполнение:

Данная задача является обратной по отношению к  приведенной выше.

Для построения модели ситуации данной задачи следует  рассуждать так. Нарисуем произвольный отрезок. Его длину мы не знаем. Обозначим  ее знаком вопроса:

 

В задаче дана длина одной третьей части  отрезка – разделим его на три равные части (приблизительно, поскольку это лишь рабочий рисунок к задаче) и подпишем над одной частью ее длину:

Поскольку все  три части отрезка равные, значит, каждая из них должна иметь длину 4 см. Тогда длина всего отрезка 4 см · 3 = 12 см.