Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Борисоглебский государственный педагогический институт»

Факультет педагогики и методики начального образования

Кафедра естественных наук и методики их преподавания

 

 

 

Пропедевтика  изучения рациональных чисел в курсе  математики начальной школы

 

 

Выпускная квалификационная работа

Специальность:  050708  - педагогика и

методика начального образования

Квалификация: учитель начальных классов

студентки 5 курса 1 группы

                                        Жидких Лилии Алексеевны

Руководитель: Алексеева Г.Ю., доцент,

канд. пед. наук

Рецензент:

 

 

 

Борисоглебск,   2011

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………	3
Глава 1 Теоретические основы формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы
1.1 Исторический аспект происхождения дробей……....……………	5
1.2 Понятие рационального числа и действий над рациональными числами в курсе математики ……………………………………………	12
1.3. Положительные рациональные числа……………………………	17
1.4. Множество положительных  рациональных чисел как расширение  множества натуральных чисел…………………………	24
Глава 2 Методические аспекты формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы…………………………………
2.1. Методика формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы…..………………………………………	39
2.2 Формирование понятия доли и дроби в  вариативных программах обучения математики ……………………………………	52
2.3 Дидактическое обеспечение уроков математики в 4 классе по формированию понятия доли и дроби…………………………………	64
Заключение…………………………………………………………………	91
Список используемой литературы………………………………………..	92
Приложение…………………………………………………………………	94

 

 

Введение

В любой современной  системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

История развития математики тесно связана с измерением величин. Однако, как показала практика, для этих целей натуральных чисел недостаточно; довольно часто единица величины не укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело к возникновению дробных чисел – что явилось основой введения понятия рационального числа.

 В V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. В связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.

Действительные  числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики.

Понятие рационального числа в начальных классах в явном виде не вводится. На этом этапе изучения математики идет пропедевтическая работа, направленная на формирование данного понятия. Младшие школьники знакомятся с понятием доли числа и с дробными числами. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие доли и дроби и обучать младших школьников выполнять с ними простейшие действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Все вышеизложенное позволило нам определить тему выпускной квалификационной работы: «Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы».

Объект  исследования – процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования – пропедевтика формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.

Цель  исследования – разработать и апробировать на практике дидактические материалы, способствующие формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы.

Гипотеза исследования: пропедевтическая работа, направленная на формирование понятия дроби как рационального числа будет успешной, если учитель:

- изучил теоретические  основы введения понятия рационального  числа в курсе математики;

- определил  методику ознакомления младших школьников с понятиями доли и дроби;

- подобрал  дидактические средства, способствующие  формированию понятия доли и  дроби в процессе обучения  математики в четвертом классе.

В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:

- выявить теоретические положения, лежащие в основе пропедевтике формирования понятия рационального числа на начальном этапе изучения математики;

- выявить методические приемы, способствующие формированию понятия доли и дроби на уроках математики;

- разработать и апробировать на практике методическое обеспечение уроков математики, направленных на пропедевтику формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.

Для решения поставленных задач  использованы методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и научно - методической литературы по проблеме исследования, опрос, опытно – практическая работа.

Экспериментальная база исследования: МОУ Борисоглебская СОШ № 11, 4 класса, учитель Энгель О.А.УМК «Школа России».

Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.

 

Глава 1 Теоретические основы формирования понятия доли и дроби

1.1 Исторический аспект происхождения дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о  частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида , которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной [21].

Исторически дроби возникли в процессе измерения. В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более  точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали  первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Римляне пользовались, в  основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне  говорили «одна унция», 5/12 – «пять  унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной. Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

Первая дробь, с которой  познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/6 и т.д., то есть самые простые  дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте высокого развития достигла архитектура. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Уже 4000 лет назад египтяне имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Как и греки, египтяне записывали дроби в виде суммы единичных дробей. Так, например, если в результате измерения получалось дробное число , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей .

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, было обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Изучая их, ученые установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития. Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления.

Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 60², 60³ и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак èè , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

1 талант = 60 мин;

1 мина = 60 шекель.

Поэтому они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60² = 3600, 60³ = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала  влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя  их астрономическими дробями. В отличие  от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

В Древней  Греции арифметику – учение об общих  свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно  использовать только в логистике. Здесь  мы впервые встречаемся с общим  понятием дроби вида . Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали [21].

Греки употребляли  наряду с единичными, «египетскими»  дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась  и такая: сверху знаменатель, под  ним – числитель дроби. Например, означало три пятых и т.д.

Как свидетельствуют  старинные памятники русской  истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

В русских  рукописных арифметиках XVII века дроби  называли долями, позднее «ломаными  числами». В старых руководствах находим  следующие названия дробей на Руси: 1/2 - половина, полтина;  1/3 – треть

1/4 – четь   1/6 – полтреть

1/8 - полчеть   1/12 –полполтреть

1/16 - полполчеть   1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть  (малая четь)  1/5 – пятина

1/7 - седьмина   1/10 - десятина

Славянская  нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

В китайской  «Математике в девяти разделах»  уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим  достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с  любым числителем. Числитель и  знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без  горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.