Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач

Методические указания: при решении этой задачи имена можно обозначить первой буквой, изобразить граф, изображая поздравления стрелками. После стрелки обвести соответствующим цветом. [5]

 

Задача 21. Из каждой пары чисел 63, 9, 7, 70 составь всевозможные суммы. Выбери граф, который соответствует данному заданию.

 

 

 

 

 

 

Методические указания: цель данной задачи – формировать умение читать граф. Стрелочка вокруг каждого числа обозначает, что к данному числу прибавляют то же число. [5]

 

Задача 22. Соедини линией каждое задание с графом, который ему соответствует.

1. Используя цифры 4, 5, 6, запиши  все возможные двузначные числа.

2. Используя цифры 4, 5, 6, запиши  двузначные числа, которые меньше 50.

3. Используя цифры 4, 5, 6, запиши  двузначные числа, которые больше 50.

 

 

 

 

 

 

Методические указания: перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися, что обозначают стрелки и петли у графа.

 

Задача 23. Рассмотри граф.

 

 

 

 

 

Подчеркни те задания, которые ему соответствуют.

Из каждой пары чисел 18, 36, 54 составь все возможные:

а) суммы;                              б) разности;

в) произведения;                  г) частные,

значение которых ты можешь вычислить.

Методические указания: см. Методические указания к задаче 22. [5]

 

Задача 24. Шесть девочек взяли напрокат двухместную лодку. Построй граф, на котором будет показано, как девочки катались парами.

Методические указания: см. Методические указания к задаче 22. Важно обратить внимание учащихся на то, что при построении графа надо ставить не стрелки, а линии. [13]

 

Задача 25. Сколько разностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9, если для их составления брать два числа? Проверь свой ответ, изобразив граф.

Методические указания: данную задачу надо сначала решить методом организованного перебора, подсчитать количество разностей, а затем построить соответствующий граф. [5]

Решение с помощью дерева возможных вариантов.

Задача 26. Нарисуй башенки, которые «зашифрованы», для этого пройди по всем возможным путям от верхней точки до нижних.

 

 

 

 

верхний кубик

 

средний кубик

 

нижний кубик

Методические указания: Задачу 26 и задачу 27 целесообразно предлагать учащимся на одном уроке. [5]

 

Задача 27. Какое число зашифровано в выделенном пути?  
Покажи путь, в котором зашифровано число 5571.

                                                                                                   единицы тысяч

                                                                                                         сотни

                                                                                                        десятки 

 

                                                                                                        единицы

 

Методические указания: проанализировав новый вид графа, важно подвести учащихся к выводу, что они отличаются по структуре от ранее изученных графов: предложенные схемы отражают определенную последовательность, которая начинается строго с определенного объекта.

С детьми выясняется, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево  отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.

Далее с детьми следует проанализировать структуру дерева возможных вариантов: дерево возможных вариантов начинается строго с определенного объекта (красный кубик является верхним для всех изображенных башенок, цифра 5 обозначает первый разряд при чтении показанных на дереве чисел), такой объект в структуре дерева называется корнем дерева; дерево возможных вариантов показывает последовательности вариантов выбора объектов (определенный порядок расположения кубиков в башенках и цифр, из которых состоят четырехзначные числа), они называются ветвями дерева. [5]

 

Задача 28. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось?

Методические указания: в данной задаче речь идет о числе перестановок Р3 = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6, т.е. о выполнении трех визитов в разной последовательности. В качестве корня дерева возможных вариантов выступает Миша, который совершает визиты. [12]

 

Задача 29. В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?

Методические указания: в отличие от предыдущей задачи корнем дерева возможных вариантов будет точка, а не кто-то из новых учеников. Важно обратить на это внимание учащихся. [12]

 

Задача 30. Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш или Ц, второй буквой могут быть О, И, Е, а оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х.

Методические указания: как и в предыдущей задаче, корнем дерева возможных вариантов будет точка, а не какая-то из букв. На это важно обратить внимание учащихся. [5]

 

Задача 31. Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша должны участвовать в конкурсе чтецов. В каком порядке дети выступят, если Миша будет выступать первым, а за ним пойдут Катя и Лиза?

Методические указания: важно проконтролировать порядок расположения чтецов при записи учащимися. [11]

 

Задача 32. Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр. Сколько среди чисел, меньше 900?

          Методические указания: при решении  задачи следует рассуждать так: «Если числа меньше 900, то первой  цифрой в числе может быть 7 или 5, поэтому ставим 2 точки. Сначала  составим все числа с первой  цифрой 7. При этом второй цифрой  может быть либо 9, либо 5, либо 0 (проводим  линии, ставим три точки). Если  первая цифра 7, вторая– 9, то третьей  могут быть 5 или 0. Если первая  цифра 7, вторая – 5, то третьей  могут быть 9 или 0. Если первая  цифра 7, вторая–  0, то третьей  могут быть 5 или 0». Аналогичные рассуждения  с первой цифрой 5. [5]

 

На этапе отработки умений выполнять организованный перебор предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов перебора, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

 

Задача 33. Поставь между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства.

а) 3     3     3     3 = 10

б) 3     3     3     3 = 111

в) 3     3     3     3 = 4

г) 3     3     3     3 = 5

д) 3     3     3     3 = 7

е) 3     3     3     3 = 8

ж) 3     3     3     3 = 9

з) 3     3     3     3 = 3

и) 3     3     3     3 = 6

к) 3     3     3     3 = 1

Методические указания: задачу можно предложить в качестве домашнего задания. [12]

 

Задача 34. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая (ч), кофе (к), булочки (б), печенья (п) и вафель (в)?

     1. Пользуясь  условными обозначениями, составь  таблицу, соответствующую условию  задачи. Сколько завтраков у тебя  получилось?

     2. Заполни схему  дерева возможных вариантов в  соответствии с условием задачи. 

                                                                                                        Схема 

Напитки

Выпечка

 

Сколько завтраков у тебя получилось?

1. Дострой граф так, чтобы он соответствовал условию задачи.

Сколько завтраков у тебя получилось?

2. Сравни ответы, которые у тебя получились в пунктах 1, 2, 3.

Методические указания: задача предлагается для проверки умения решать комбинаторные задачи разными способами, поскольку наглядно показывает уровень сформированности умения выполнять организованный перебор. Задача позволяет учащимся осуществлять действие самоконтроля. На решение данной задачи отводится 10 – 15 минут от урока. [13]

 

Задача 35. Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?

1. Закончи построение  графа, соответствующего данной  задаче.

                      1 2

                                        3

6       5                    4             

                            

2. Используя построенный  граф, ответь на вопросы: «Сколько  звонков сделала

а) первая семья _________,

б) вторая семья _________,

в) третья семья _________,

г) четвертая семья ________,

д) пятая семья _________,

е) шестая семья __________».

3. Обведи на графе красным  цветом стрелки, обозначающие разговор  между

а) третьей и пятой семьями;

б) первой и четвертой семьями;

в) второй и третьей семьями.

4. Ответь на вопрос  задачи.

5. Проверь свой ответ, составив таблицу, соответствующую  данной задаче. [13]

 

Задача 36. Поставь скобки так, чтобы получились верные равенства.

а) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 0

б) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 28

в) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 24

Методические указания: см. Методические указания к задаче 33. [12]

 

Задача 37.

3. Выполни задание.

        На  отрезке АВ поставь три точки  и обозначь их буквами М, К, Е.

                                                          В

 

                              А

     2. Ответь на  вопрос: «Сколько новых отрезков  получилось?»

     3. Проверь свой  ответ, достроив граф.

Объясни, почему на этом графе не нужно ставить стрелки.

4. Запиши в таблицу все новые отрезки.

	А	В	М	К	Е
А	–	–	АМ
В
М
К
Е

Сколько клеток ты заполнил?

Методические указания: задачу можно предложить в качестве домашнего задания к уроку контроля и оценки знаний по теме «Отрезок» как нестандартную задачу. [13]

 

 

 

Приложение 2.

Конспекты внеклассных занятий.

Занятие 1.

 

Цель: Совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение) учащихся.

Ход занятия:

5. Оргмомент (приветствие, настрой на работу, концентрация внимания).

У каждого ребенка на парте две картинки.