Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач

На формирующем этапе исследования для развития мышления и формирования умения решать комбинаторные задачи я стала включать задачи в устный счёт. Обучение строилось поэтапно в соответствии со сложностью задачи. Перед введением каждого приёма проводила внеклассное занятие, на котором подробно разбирали поэтапное решение с помощью этих методов.

Результаты формирующего этапа проверила в контрольном эксперименте. Выяснила, что учащиеся стали намного лучше решать комбинаторные задачи: почти 70 % детей нашли все 6 вариантов решения задачи. Также у них повысились общий уровень и скорость мышления.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Курсовая работа посвящена изучению методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

При анализе программ я выяснила, что комбинаторных задач в программе 1-4 классов немного и им не уделяется должного внимания. Анализируя опыт учителей, я выяснила, что данные задачи вводятся поэтапно, с нарастанием уровня сложности и с применением новых приёмов решения.

Провела диагностику уровня мышления и умения решать комбинаторные задачи с учащимися второго класса. При этом выяснила, что уровень мышления недостаточно высокий, и они не умеют находить все варианты при решении задачи. Для улучшения этих показателей на формирующем этапе вводила задачи в устный счёт, а также проводила внеклассные занятия с комбинаторными задачами.  На контрольном этапе при помощи диагностики выяснила, что у учащихся повысился уровень мышления, и количество детей умеющих находить все варианты при решении  комбинаторной задачи возросло в 2 раза.

Таким образом, в ходе выполнения курсовой работы все поставленные задачи были решены в полном объеме согласно плану.

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Башмаков, М.И. Нефёдова, М.Г. Математика. Комплект учебников для 1, 2, 3 и 4 класса. М.: Астрель, 2012.
2. Белокурова, Е.Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики //Начальная школа. 1992. №1. с.20 - 22.
3. Белокурова, Е.Е. Методика обучения решению комбинаторных задач //Начальная школа. 1994. №12. с. 45 - 47.
4. Белокурова, Е.Е. Характеристика комбинаторных задач // Начальная школа. 1994. №1. с. 34 – 38.
5. Белокурова, Е.Е. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов //Начальная школа. 1995. № 1. с. 21 – 24.
6. Варга Т. Математика 2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность: Математические игры и опыты. Пер. с нем.- М.: Педагогика, 1978.- 112 с.
7. Власова, И.Н. Комбинаторно – вероятностные задачи в начальном курсе математики // Начальная школа. 2012. № 1. с. 74 – 78.
8. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика. –М.: изд. Наука, 1969. 328 с.
9. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. M.: Академия, 1999. 288с.
10. Истомина, Н. Б. Математика. Комплект учебников для 1, 2, 3 и 4 классов. Смоленск: Ассоциация 21 век, 2011.
11. Истомина, Н. Б. Учимся решать комбинаторные задачи. Математика и информатика. 1 – 2 классы./ Н.Б.Истомина, Е.П.Виноградова.// Смоленск: Ассоциация 21 век, 2012.
12. Истомина, Н. Б. Учимся решать комбинаторные задачи. 3 класс./ Н.Б.Истомина, Е.П.Виноградова.// Изд.: Линка-Пресс, 2005.
13. Истомина Н. Б., Виноградова Е. П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 4 класса четырехлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
14. Кушнерук Е. Н., Айзенберг М. Н. . Клименченко Д. В. Комбинаторные упражнения. /Нач. шк. №6,1977,с. 44.
15. Катасонова А. Т. Простейшие комбинаторные задачи /Нач. шк.- 1972.- № 9.-С. 36-38.
16. Клименченко Д. В. Задачи с многовариантными решениями /Нач. шк,-1991.-№ 6,- С. 25-29.
17. Клименченко Д. В. Различные комбинаторные упражнения / Нач. шк.-1977,- № в.- С. 44-48.
18. Когаловский С.Р. Роль комбинаторных задач в обучении математики. // Математика в школе. – 2004. - №4. с. 18 – 23.
19. Моро М. И. Волкова С. И. Степанова С. В. Математика. Комплект учебников для 1,2,3 и 4 классов.- М.:Просвещение, 2013.
20. Петерсон, Л.Г. Математика. Комплект учебников для 1, 2. 3 и 4 классов. – М.:Ювента, 2010.
21. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений –Издательский центр: «Академия», 1998. – 432 с.
22. Стойлова Л. П. Способы решения комбинаторных задач //Начальная школа.-1994.-№1.
23. Солнышко С.В. Использование комбинаторных задач при обучении первокласноков математике // Начальная школа плюс-минус До и После. –1996-№2.
24. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (1-4 классы) Приказ от 22 сентября 2011 г. № 2357.
25. Целищева, И.И. Обучение решению комбинаторных задач детей 4 – 10 лет /И.И.Целищева, И.Б.Румянцева, Е.С.Ермакова. //Начальная школа. 2005. № 11. с. 84 – 89.

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.

Примеры задач применяемых на уроках математики.

Задача 1. У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. (Учитель вызывает 4 учеников к доске и дает им модели купюр). Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Учитель вызывает «кассира» и дает ему «билеты»). Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Методические указания: для решения задачи целесообразно разыграть сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:

1. 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;
2. 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. [2]

 

Задача 2.  В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Покажите, какие дорожки будут сделаны.

Методические указания: учитель обсуждает с учениками возможные варианты. [2]

Задача 3. 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, как по-разному раскрасили паруса, если было всего две краски?

Методические указания: после прочтения задачи учитель может повесить заготовленные заранее модели парусников на доску, чтобы учащимся было легче сориентироваться в ситуации.

 

На основном этапе учащиеся знакомятся с разными способами решения комбинаторных задач.

На данном этапе решаются задачи четырех видов:

• задачи, решаемые методом организованного перебора;
• задачи, решаемые с помощью таблиц;
• задачи, решаемые с помощью графов;
• задачи, решаемые с помощью дерева возможных вариантов.

Задачи решаемые методом организованного перебора

Задача 4. На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая. Раскрась флажки так, чтобы они отличались друг от друга. Сколько разных флажков ты раскрасил? Можете ли вы указать способ позволяющий назвать число флажков, не производя непосредственного их подсчёта? [11]

 

Задача 5. Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?

Методические указания: при решении данной задачи можно предложить учащимся организовать перебор с помощью раскрашивания квадратов, предварительно установив порядок.

1. Пусть первый квадрат раскрашен красным цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: синим и зеленым, зеленым и синим.
2. Пусть первый квадрат раскрашен зеленым цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и синим, синим и красным.
3. Пусть первый квадрат раскрашен синим цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и зеленым, зеленым и красным. В результате получаем всего 6 способов. [11]

Задача 6. У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?

Методические указания: в данной задаче важно обратить  внимание учащихся, что порядок яблок значения не играет, результат будет тот же, если поменять яблоки местами. Начинать решение следует с очевидного варианта – яблок одинакового цвета. [11]

 

Задача 7. В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов у тебя получилось?

Методические указания: следует обратить внимание учащихся на то, что при выборе двух шаров не имеет значения, какой из них находится справа, а какой слева. Но при расположении шаров необходимо пользоваться организованным перебором. [11]

 

Задача 8. Представь, что у тебя 10 тюльпанов: 3 желтых,  
2 оранжевых, 5 красных. Какие разные букеты из трех тюльпанов ты можешь составить?

Методические указания: как и в предыдущей задаче, следует обратить внимание учащихся, что при выборе трех цветов не имеет значения порядок расположения в букете. [11]

 

Задача 9. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь?

Методические указания: пары насекомых удобнее  располагать в столбики. Начинать перечисление пар насекомых следует в порядке их следования в тексте задачи. [11]

 

Задача 10. Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. [18]

 

 

 

 

Решение комбинаторных задач с помощью таблиц.

 

Задача 11. Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?

ед. д.	1	2	3
1
2
3

Методические указания: перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.  [5]

 

Задача 12. Проверь, правильно ли заполнена таблица?

ед. д.	5	9
2	25	92
7	75	97
1	15	91

Методические указания: как и перед решением предыдущей задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.  [5]

Задача 13. Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ. Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.

Методические указания: при решении задачи сначала необходимо разгадать правило, по которому составлена  таблица и заполнить ее до конца. Составленную таблицу соотнести с условием задачи. Далее обвести зеленым цветом только клетки, в которых показаны ручки разных цветов. [11]

 

Задача 14. В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем и отчеством?

Методические указания: для удобства записи данных в таблицу нужно подвести учеников к мысли о том, что имена и отчества можно записывать кратко, используя только первую букву имени и отчества. [5]

 

Задача 15. У Миши 4 ручки разного цвета  и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.

Методические указания: в основе решения данной задачи лежит правило произведения: «Если объект А можно выбрать m  способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект «А и В» можно выбрать m ∙ k  способами». Учащимся данное правило не сообщается. [11]

 

Задача 16. У Кати 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. Может ли Катя в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?

Методические указания: особенность данной задачи в том, что прежде чем ответить на вопрос, необходимо составить и заполнить таблицу, а затем сравнить числа: количество костюмов, которые получили в результате заполнения таблицы с количеством дней. Только после такой работы можно ответить непосредственно на вопрос задачи. [11]

 

Задача 17. В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

Методические указания: эту задачу можно дать учащимся в качестве домашнего задания. Таким образом, давая возможность самим составить и заполнить таблицу. [1]

 

Решение комбинаторных задач с помощью графов.

Задача 18. Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Методические указания: для начала необходимо выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет. Составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом. [1]

 

Задача 19. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?

Методические указания: при решении данной задачи важно подвести учащихся к мысли о том, что связи между объектами могут обозначаться не только линиями, но и стрелками. Это происходит в том случае, когда нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов.

Целесообразно также сравнить получившийся граф с графом из задачи 18: общее – объекты обозначаются точками; различное – связи между объектами могут обозначаться прямыми линиями и стрелками; во втором графе используется «петля» для обозначения двузначного числа, состоящего из двух одинаковых цифр. [20]

 

Задача 20. Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг друга с Новым годом, подписав открытки. Покажи красным цветом стрелки, которые показывают, кому Миша подписал открытки, а синим – кто подписал Мише.