Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач

Методика обучения решению комбинаторных задач разрабатывалась в рамках методической системы развивающего обучения младших школьников математике (Н.Б. Истомина), которая выражает необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания. [10]

Нацеленность начального курса математики на формирование приемов умственной деятельности позволяет установить внутреннюю связь между развивающими условиями обучения и способами их достижения, так как в процессе усвоения знаний, умений и навыков приемы умственной деятельности выполняют различные функции и их можно рассматривать:

1) как способ организации  учебной деятельности школьников;

2) как способы познания, которые становятся достоянием  ребенка, характеризуя его интеллектуальный  потенциал и способности к  усвоению знаний;

3) как способы включения  в процесс познания различных  психических функций: эмоций, воли, чувств, внимания; в результате интеллектуальная  деятельность ребенка входит  в различные соотношения с  другими сторонами его личности, прежде всего с ее направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний т.е. характеризуется возрастающей активностью личности в различных сферах ее деятельности. [7]

Решение комбинаторных задач требует активного использования таких приемов умственной деятельности как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.

Способы решения комбинаторных задач, обычно делят на две группы: «формальные» и «неформальные». При «формальном» пути решения нужно определить характер выборки, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило, подставить числа и вычислить результат. Результат - это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются. Основные комбинаторные правила: сложения, умножения. [4]

Примером решения комбинаторных задач формальным способом служат следующие задачи:

Задача. 1. Сколько словарей надо иметь, чтобы можно было выполнять переводы непосредственно с любого из пяти языков на любой из этих пяти?

Решение. Число словарей совпадает с числом упорядоченных подмножеств, содержащих два элемента из пяти. Для такого перевода надо иметь 20 словарей.

Задача 2. На первой прямой взяты три точки, а на параллельной ей прямой четыре точки. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Решение. Треугольник однозначно определяется тремя точками-вершинами, не принадлежащими одной прямой. Если взять в качестве вершины треугольника одну из трех точек на первой прямой, то, чтобы получить треугольник, на второй прямой надо выбрать две точки из четырех имеющихся. Если одну точку - вершину из четырех выбираем на второй прямой, то две точки из трех надо выбрать на первой прямой. Применяя правила умножения и сложения, найдем 30 треугольников.

«Неформальный» способ решения на первый план выводит сам процесс составления различных комбинаторных конфигураций. И главная его задача быстро и правильно найти все возможные варианты.

К неформальным способам решения комбинаторных задач относят непосредственный перебор. Это самый элементарный способ, т.к. он не требует знания определений и формул. Поэтому именно его целесообразно использовать в начальных классах. Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора условно можно разделить на три группы:

1. Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.
2. Задачи, в которых целесообразно использовать приём полного перебора не целесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их.
3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам. [4]

Для того чтобы задачи были интересными учащимся, они должны быть разнообразны. Существует ещё одна классификация комбинаторных задач. Задачи подразделяются:

1. На упорядочение элементов множества.

Пример: Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из 5 одинаковых маленьких бусинок и 2 одинаковых больших бусинок.

2. Задачи на выбор подмножеств и их упорядочение.

Пример: Запиши все двузначные числа, которые можно составить из цифр 2, 4, 7 и 8, так чтобы число десятков было больше числа единиц.

3. Задачи на выбор по одному, по два из трёх элементов с повторениями. [4]

Пример: Сделай карточки для игры в геометрические домино, используя три фигуры: круг, квадрат и треугольник.

Также должны подбираться задачи, различающиеся по характеру содержащегося в них требования:

1. Задачи в которых требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов.
2. Задачи, в которых требуется выяснить, существует ли определённая комбинаторная конфигурация, отвечающая поставленным условиям.
3. Задачи, в которых нужно найти и выбрать наилучший вариант по определённым критериям. [4]

Обучение решению комбинаторных задач неформальным способом проводится в три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных  операций в процессе решения  комбинаторных задач с помощью  хаотического перебора. 
На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека). Например, для обеспечения мотивации решения комбинаторных задач можно предложить детям задачу-игру «День-ночь», «Башенки».Подобные игры с успехом можно проводить во время физминуток. [2] 
«Жизненные» задачи», показывающие возможность применения комбинаторики в повседневной деятельности человека также направлены на формирование простых мыслительных операций. Например, интерес у ребят вызывает следующая задача: 
«У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?» В ходе решения задача обыгрывается: к доске вызываются 4 учеников, получающие модели купюр. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Вызываю «кассира» и даю ему «билеты»). Находим два возможных варианта решения: 1. – 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 2 – 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. Данные задачи могут предлагаться утомившимся учащимся в конце урока математики. [2] 
Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходит эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач, а также идёт работа по совершенствованию мыслительных операций, которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач. [3]

2. Целью второго основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с методом организованного перебора, с помощью графа, таблицы и дерева возможных вариантов.. [3] 
При знакомстве школьников с ходом решения задач методом организационного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений.

Можно провести следующим образом. Разыгрывается следующая ситуации: Маша, Лена и Оля едут в электричке на дачу. Они сидят на одной скамейке. (Трое детей садятся на стулья около доски в один ряд.) Девочкам надо проехать 8 остановок. Что не было скучно по дороге они решили меняться местами на каждой остановке. Учителем ставится вопрос: Смогут ли дети каждый раз меняться местами так, чтобы их новое расположение оказывалось всё время отличным от предыдущих? Дети предлагают свои варианты расположения, и всё это проигрывается у доски. Методом хаотичного перебора находят 6 вариантов и учитель задаёт вопрос «Почему мы не нашли седьмой вариант, потому что не можем найти, или его нет?» Чтобы ответить на него учащиеся записывают варианты и выделяют похожие. Можно выделить такие пары: 1.М Л О  - .М О Л   2.Л О М – Л М О  3.О М Л – О Л М Дети убеждаются что когда одна девочка сидит у окна, другие могут разместиться двумя способами. Также приходя к выводу что получается только 6 пар. С помощью учителя учащиеся приходят к организованному перебору. [3]

Потом учащиеся знакомятся с таблицами. Рассматривая таблицу учащиеся открывают принцип её составления, находят способы заполнения: по строчкам, столбцам. Для того чтобы учащиеся не тратили много времени на вычерчивание таблицы Е.Е.Белокурова предлагает пользоваться специальными трафаретами. Примеры задач, решаемых с помощью таблиц: 
«Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?» «Проверь, правильно ли заполнена таблица.» [11]

Перед решением данной задачи вспомнить разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.

«В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ». [1]

При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками. Связи между объектами могут обозначаться линиями и стрелками, если нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов. Новое для школьников понятие «граф» рассматривается на уроке с помощью следующей задачи: 
«Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?»  
Сначала выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет, составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом. [5]

Далее учащиеся знакомятся с применением одной из разновидностей графа – деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.

С детьми выясняем, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов. [5]

Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.

3.Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения этих задач в начальном курсе математики. На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

Процесс обучения начинается с решения простейших комбинаторных задач, расположенных уже на 1-х страницах учебника математики, направленных на развитие внимания, наблюдательности, умений анализа, синтеза, сравнения.

Дополнительно предлагаются задачи из печатной тетради «Учимся решать комбинаторные задачи». В ней содержится дополнительный материал к учебнику «Математика» автор Н.Б.Истомина. К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников.

Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления.

В качестве домашнего задания можно попросить детей попробовать самим составить комбинаторные задачи. Дети составляют их по аналогии с теми, которые решали в классе, например: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2,4,0, если цифры не повторяются? Если цифры повторяются?».

В третьем и четвёртом классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приёмы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Дети знакомятся с деревом возможных вариантов, когда способ перебора можно заменить схемой. Схему-дерево возможных вариантов можно располагать по-разному.

Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Серёжу, чтобы мальчики и девочки чередовались?

Сначала записывают все возможные варианты расположения детей на скамейке.(перебор), потом заменяют схемой. Пример решения задачи представлен на рисунке 1.1.

Рис.1.1. Пример записи при решении задачи.

Можно попросить заполнить самостоятельно схему-дерево, если корень дерева расположен вверху. Пример схемы представлен на рис. 1.2.

Рис.1.2. Пример схемы, заполняемой школьниками самостоятельно.

Такие задачи решить самостоятельно дети затрудняются, поэтому решение задач –коллективное. Составляем таблицу, проводим наблюдения по условию и перебираем варианты. [12]

Большую роль в организации обучения детей решению комбинаторных задач играет процесс дифференциации заданий по уровню сложности. Для учеников, испытывающих особые трудности в решении комбинаторных задач, предлагаются дифференцированные по уровню сложности задания.

• Сколько четырёхзначных чисел, в которых 6 тысяч, можно записать цифрами 6, 5, 2?

Пониженный уровень: Составить все возможные варианты записи этих чисел.  
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.