Методика изучения прогрессий в курсе алгебры 8-9кл

произведение, которых равно 1008 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Занимательные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

 Задача 1. Доказать, что если a, b, cобразуют геометрическую прогрессию, то , где , a, b, c – различные положительные числа, отличные от 1.

Решение. В левой части  удобно перейти к общему основанию  .

Воспользуемся тем, что  .

Перейдем в левой части  равенства к общему основанию  и сделаем некоторые упрощения:

.

В последнем равенстве  мы воспользуемся тем, что  – знаменатель прогрессии.

Задача 2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых п членов. Найти произведение первых п членов, если первый член равен .

Решение. Если приравнять выражения  для удвоенной суммы п членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение относительно .

Необходимо записать произведение п первых членов и воспользоваться тем, что .

Из условия следует, что  , откуда . Произведение п первых членов прогрессии равно:

.

Ответ:      [39].

Задача 3. Три брата, возраст которых образует геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через три года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

Решение. Пусть братьям  , и лет. Если младший получает х рублей, то остальные два получат и рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.

При решении уравнений  нужно иметь в виду, что нас  интересуют только и . Через три года братьям будет , и лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

. (1)

При дележе через три года младший брат получит  , средний . Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы: .

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим  еще два уравнения: , . (2)

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

, т.е.  . (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки а, то

(1')

Сравним с уравнением (3): .

Первое из уравнений (2) можно  переписать так:

.

Раскроем скобки и решим  систему, состоящую из уравнения, полученного  в результате, и из уравнения (1'):

Из первого уравнения  получаем . Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение , откуда . Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через три года стать вдвое старше другого.

Итак, первому брату 12 лет, второму – 18 лет, а третьему – 27 лет.

Ответ: 12, 18, 27 лет [4].

Задача 4. Докажите, что если положительные числа образуют арифметическую прогрессию, то числа

также образуют арифметическую прогрессию.

Решение. По условию  , отсюда . Рассмотрим разности:

.

Отсюда следует, что разность между вторым и первым членами  данной последовательности равна разности между ее третьим и вторым членом, а это и значит, что числа  образуют арифметическую прогрессию.

Что и требовалось доказать.

В качестве заданий для  индивидуальной работы предлагаются учащимся следующие задачи.

1. При каких значениях x и y последовательность , , , где , , , является одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Отв. [4].
2. Найти трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45. Отв. 135; 630; 765 [39].
3. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найти всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии. Отв. 1; ; .[11].

Старинные задачи по теме «Арифметическая и  геометрическая прогрессии»

Старинные задачи способствуют развитию интереса учащихся к прогрессиям, а также позволяют разнообразить  перечень задач, предлагаемых для решения  школьникам, в итоге активизировав  их познавательную деятельность.

Задача 1. Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, возможно, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая:

Сто мер хлеба необходимо разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько  же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый  больше третьего и пятый больше четвертого, четвертый больше третьего и пятый  больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность у. Тогда доля первого – х, второго – (х+у), третьего – (х+2у), четвертого – (х+3у), пятого – (х+4у).

На основании условий  задачи составляем следующие два  уравнения:

После упрощений первое уравнение  получает вид х+2у=20, а второе: 11х=2у. Решив эту систему, получаем: , .

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части: , ,

Ответ: [29].

Задача 2. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение. Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65(м.). При поливке второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70(м.).

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75; …; 65+5×29.

Сумма её членов равна  (м.).

Огородник при поливке  всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Ответ: 4,125 км.

Задача 3. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и еще пол-яблока, третьему – половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось.

Сколько яблок было у садовника?

Решение. Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил , второй – , третий – , …, седьмой покупатель – .

Имеем уравнение  или

.

Вычисляя стоящую в  скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: и .

Всего яблок было 127.

Ответ: 127 яблок [32].

В качестве заданий для  индивидуальной работы предлагаются учащимся следующие задачи.

1. Задача из папируса Ахмеса. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет меры. Указание: найти члены арифметической прогрессии с разностью и [3].
2. Задача Пьера Ферма. Показать, что если есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , то [3].
3. Задача Исаака Ньютона. Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов 133. Определить эти члены. Отв. 9, 6, 4 и 4, 6, 9.[3].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение 

В данной курсовой работе мною были рассмотрены методы решения  задач на прогрессии, изучаемые в  курсе средней школы. Изучение прогрессий начинается в 9 классе, но так как  их применение достаточно широко распространено в математике, то работа с прогрессиями продолжается как в 10-11 классах средней  школы, так и в ВУЗах. Поэтому  мною также рассмотрены различные  по уровню сложности задачи. Рассмотрены  и подробно решены задачи, предлагаемые на ГИА и ЕГЭ. Также хочется  отметить то, что проведен подробный  анализ школьных учебников, по которым  введется преподавание алгебры в 9 классе средней школы.

Таким образом, можно сделать  следующие выводы:

1. Прогрессии являются  фундаментальной основой для  изучения числовых рядов при  дальнейшем обучении;

2. Преподавание темы «Прогрессии»  требует тщательного подбора  содержания, средств и методов  обучения, то есть разработки  эффективной методики;

3. Изучение прогрессий  будет более эффективным, в  том случае когда:

- перед введением прогрессий  проведена достаточно широкая  пропедевтическая работа с последовательностями

-     решение задач на вычисление суммы членов прогрессии осуществляется после изучения основных свойств прогрессий и последовательностей;

-  каждое свойство прогрессии четко обоснованно и все они сведены в систему.

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

[1]. Алимов Ш.А., Колягин  Ю.М., Сидоров Ю. В., Федорова Н.  Е., М. И. Шабунин М.И. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001. –287 с.

[2]. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 122 с.

[3]. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1994. – 152 с.

[4]. Бартенев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1976. – 137 с.

[5]. Белотченко Е.В. Методические советы из опыта преподавания. // Газета Математика 5/2001. – 23 с.

[6]. Виленкин Н.Я.,  Сурвилло Г.С., Симонов А.С., Кудрявцев А.И. Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 2001. -  384 с.

[7]. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики  – М.: Просвещение, 1992.– 198 c.

[8]. Жохов В.И., Крайнева Л.Б. Уроки алгебры в 9 классе. Пособие для учителей к учебнику «Алгебра, 9» Макарычева Ю.Н. и др. под ред. Теляковского С.А. –  М.: Вербум – М, 2001. – с. 38-49.

[9]. Колягин Ю.М., Луканкин Г.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.

[10]. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Алгебра – 9. Учебник для 9 класса средней школы. – М.: Просвещение, 2002. – 273 с.

 

 

[11]. Мещеряков Г.П. Нестандартные задачи на прогрессии. // Математика в школе 6: научно-теоретический и методический журнал. – М.: ООО Школьная пресса, 1996. – 47-49 с.

[12]. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2004. – 192 с.

[13]. http://edu.of.ru/ravnina09.

[14]. http://open.az/engine/print.ru

[15]. http://www.liveinternet.ru