Методика изучения прогрессий в курсе алгебры 8-9кл

(руб.) – после второго усовершенствования  станков.

Ответ: а) 1215 дет., 1458 дет., 1548 дет.; б) 213 руб. 84 коп., 246 руб. 84 коп., 255 руб. 42 коп.

Задача 2.  В сберегательный банк внесли вклад в 10000 руб. с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит сберегательный банк вкладчику через 4 года?

Решение. Сбербанк за один год выплатит , где – вклад, q– процентная ставка. За 2 года , но , следовательно, .

Легко убедиться, что за 3 года , …, за n лет .

По этой формуле определим  сумму, которую сбербанк выплатит вкладчику  по истечении четырех лет:  

.

Ответ:

Задача 3. Бегун за первую минуту бега пробежал 400 м, а в каждую следующую минуту пробежал на 5 м меньше, чем предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?

Решение. За первую минуту бегун пробежал 400 м, за вторую – 395 м, за третью – 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390, … образуют арифметическую прогрессию, у которой , . Путь за 1 ч, т. е. за 60 мин, равен сумме первых шестидесяти членов прогрессии. Увидев формулу , получим: .

Итак, за 1 ч бегун пробежал 15 км150 м.

Ответ: 15 км150 м.[2].

4. Нестандартные задачи на прогрессии.

Учащиеся плохо решают задачи на прогрессии с буквенными данными. Но эти задачи часто встречаются  на вступительных экзаменах в  вузы. Поэтому школьников следует  учить решению таких задач  не только на внеклассных занятиях, но и на уроках, что, естественно, способствует активизации деятельности учащихся на уроках–практикумах. Осуществить  такое обучение легче всего с  помощью целой подборки заданий. Далее предлагается такая подборка.

Задача 1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии, если сумма первых членов этой прогрессии равна .

Решение. Преобразуем искомую сумму:

По условию  , отсюда

. (1)

Ранее мы доказали, что  . (2)

Из (1) и (2) следует: .

Ответ: .

Задача 2. В арифметической прогрессии . Найдите отношение к .

Решение. По условию .

Из последнего равенства  получаем:

, так как  .

Дальнейшие преобразования приводят к уравнению

, или  .

Если  , то и .

Пусть , тогда , причем из условия ясно, что . Найдем требуемое отношение.

.

Ответ: .

Задача 3. Найдите сумму первых членов арифметической прогрессии, если сумма первых ее членов равна , а сумма первых ее членов равна .

Решение. По условию , (3)

.                                                 (4)

Надо найти  , или

.  (5)

Равенства (3) и (4) умножим  на 3:

,

.

Вычтя из верхнего равенства  нижнее, получим равенство, у которого левая часть равна  (см. (5)):

.

Таким образом, .

Ответ: .

На уроках решения задач  по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» полезно рассмотреть старинные задачи, которые являются бесспорным украшением этих уроков.      [4].

Чтобы проверить усвоение учащимися темы «Прогрессии» дается контрольная работа.

Контрольная работа по теме «Прогрессии»

1 вариант

1. Найдите десятый член арифметической прогрессии: -8; -6,5; -5; …  Вычислите сумму первых десяти ее членов.

 

2. Найдите восьмой член  геометрической прогрессии:

16_;16_; 16_; …  .

3. Сумма третьего и  шестого членов арифметической  прогрессии равна 3. Второй ее  член на 15 больше седьмого. Найдите  первый и второй члены этой  прогрессии.

 

4. Найдите все значения  х, при которых значения выражений 

  _____     _____

√2х + 8,  √3х – 8, 1 являются тремя последовательными членами  геометрической прогрессии.

5. Найдите сумму всех трехзначных чисел от 100 до 550,которые при делении на 7 дают в остатке 5.

 

2 вариант

1.Найдите двенадцатый  член арифметической прогрессии: 26; 23; 20; …       Вычислите  сумму первых двенадцати ее  членов.

2. Найдите восьмой член  геометрической прогрессии:

15_;15_; 15_; …  .

3. Третий член арифметической  прогрессии на 12 меньше шестого.  Сумма восьмого и второго членов  равна  4. Найдите второй и третий  члены этой прогрессии.

4. Найдите все значения  х, при которых значения выражений 

  ____     ____    _____

√х - 1,  √х + 1, √2х + 5 являются тремя последовательными членами  геометрической прогрессии.

5. Найдите сумму всех  двузначных чисел, дающих при  делении на 4

 в остатке 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4. Применение арифметической и геометрической прогрессий при решении задач в курсе алгебры 9 класса

4.1. Базовые задачи по разным уровням сложности на применение арифметической и геометрической прогрессии

Пример 1. Сумма первого и второго членов арифметической геометрии равна седьмому члену, а пятый член этой прогрессии равен 18. Найти первый член этой прогрессии.

Решение: Условие задачи можно записать в виде следующей  системы уравнений:

Ответ:  а₁= 10.

Пример 2. Седьмой элемент арифметической геометрии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Решение: Условие задачи можно записать в виде следующей  системы уравнений:

Ответ:  а₁= -2.

Пример 3. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

Решение: a₁ =30, d=5, S_n= 525, n>0.

S_n= (2a₁+ d (n-1))n:2;     525= (2·30+ 5 (n-1))n:2;      1050= (60+ 5 (n-1))n;

1050= 55 n + 5n²;        n² +11 n -210=0,      n₁=-21,  n₂=10   (n>0).

Улика достигнет вершины  за 10 дней.

Пример 4. При хранении бревен строевого леса их укладывают, как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение: Составим математическую модель задачи: 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а₁=1, d=1,а_n=12. Надо найти n.

а_n=a₁+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.

S_n=(a₁+a_n)∙n:2; S_n=(1+12)·12:2; S_n=78.В одной кладке находится 78 бревен.

Ответ: 78 бревен.

Задачи для  самостоятельного решения.

1) В знакочередующейся  геометрической прогрессии  первый  член равен 2, а сумма третьего  и пятого членов равна 40. Найти  шестой член прогрессии.

2) Найти сумму значений  t или значение t, если оно единственное, при котором числа 3; t + 3; 3t + 21  являются тремя последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии.

3) Найти сумму значений  x или значение x, если оно единственное, при котором отрицательные числа х – 1; 2х – 1; х² –5  являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

4) Найдите наибольшую  из сумм первых  n членов арифметической прогрессии, если а₁ = 153 и а₂ = 138.

5) Найдите наименьшую  из сумм первых  n членов арифметической прогрессии, если а₁ = –143 и а₂ = –127.

6) В арифметической прогрессии  известны члены а₁₁ = –121 и а₃₄ = 132. Укажите номер члена прогрессии, начиная с которого все её члены неотрицательны.

7) В арифметической прогрессии  известны члены а₁₀ = 239 и а₄₀ = –31. Укажите номер члена прогрессии, начиная с которого все её члены меньше 167.

8) В арифметической прогрессии  первый член равен  8, а разность  равна  -2. Найти сумму тех членов прогрессии, которые принадлежат интервалу

(- 44; – 23)

9) Найдите сумму бесконечно  убывающей геометрической прогрессии. Если известно, что сумма её  первого и четвёртого членов  равна 54, а сумма второго и  третьего 36.

10) В геометрической прогрессии  сумма первого и пятого членов  равна 51, а сумма второго и  шестого членов равна 102. Сколько  членов этой прогрессии нужно  взять, чтобы их сумма была равна 3069.       [7].

4.2. Задачи для подготовки к ГИА

Задача из ГИА 2012 ([13], [15]): В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Ответ: 48, 60, 75.

Решение: 1) Пусть  – данная геометрическая прогрессия. Составим систему . Далее ; .

Отсюдаq =  , = 48.

2) = = 60, = = 75.

Решить самостоятельно:

1. Последовательность арифметическая прогрессия.

Найдите сумму первых  четырех  ее членов, если а₁=8, а₃=18

2. В арифметической прогрессии  = -5сумма первых семи членов

равна 28. Найдите первый член и разность прогрессии.

3. Сколько надо сложить последовательных натуральных чисел, кратных 7, что бы их сумма была равна 546
4. С_n– геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен -5, первый член -5. Найдите сумму первых четырех ее членов.
5. С_n - геометрическая прогрессия, а₃= -3,а₈= -96. Найдите знаменатель этой прогрессии.
6. Три положительных числа, первое из которых равно 4, составляют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической. Найдите знаменатель геометрической прогрессии. 
   A) 2;     В) -1;   С) -3;     D) -2;     Е) 3.
7. Найдите три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q|< 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна 93/16. 
   A) 1, 1/2, 1/4;     B) 3, 3/2, 3/4;     C) 4, 2, 1;     D) 5, 5/2, 5/4;     E) 6, 3, 3/2.
8. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов членов прогрессии равна 40,5. Найдите прогрессию. 
   A)b₁= 1, q = 2; B)b₁= 3, q = 4; C)b₁= 1, q = 3; D)b₁= 3, q = 1/2; E)b₁= 6, q = 1/3

4.3. Нестандартные задачи на применение прогрессий

Задание типа С6 из ЕГЭ 2012.    ([15]).

Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.

а) Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?

б) Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?

в) Найдите наименьшее число n , при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.

Решение:

а) Прогрессия может содержать  ровно 6 целых чисел.

Один из многих возможных примеров таков. Рассмотрим арифметическую прогрессию: а₁ = 1, d = 1/9.

Тогда целые значения в  этой прогрессии будут принимать только члены с номерами 1, 10, 19, 28, 37 и 46, то есть эта прогрессия будет содержать ровно 6 целых чисел.

б) Прогрессия не может содержать  ровно 29 целых чисел.

Если арифметическая прогрессия из 50 чисел содержит 26 и более целых чисел (в частности, 29 чисел), то какие-то два целых числа являются соседними членами этой прогрессии, но тогда вся прогрессия состоит из целых чисел, так как d — целое число.

в) Докажем, что, во-первых, в  прогрессии не может быть ровно 11 целых чисел (пример), и, во-вторых, может быть от 1 до 10 целых чисел.

Пустьa_n и a_m первый и второй член прогрессии, являющиеся целыми числами.

Тогда, если некоторое k = m – n, то целыми будут только те члены прогрессии, номера которых равны:n, n +k, n + 2k…и так далее.

То есть среди любых k подряд идущих членов прогрессии целым является ровно один член. Разобьем 50 членов прогрессии на группы по k подряд идущих членов, при этом в конце останется еще менее k членов. В каждой группе из k членов имеется ровно одно целое число, а в последней группе из менее k членов целое число может быть, а может и не быть.

То есть всего в прогрессии будет  или целых членов, где  

- целая часть числа.

При этом  целых членов прогрессии может быть только тогда, когда число     нецелое, то есть когда в конце имеется неполная группа.

Легко проверить, что числа     или  могут принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. При этом при k = 5   и число — целое, а при 

k = 4  .

Поэтому 11 целых чисел  прогрессия содержать не может. 

Ответ: а) да,  б) нет,  в) 11.

Решить самостоятельно:

• C6. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел,

произведение, которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

• С6. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел,