Методика изучения прогрессий в курсе алгебры 8-9кл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО «ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

 

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО  АНАЛИЗА И 

МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

по  теме:

«Методика изучения прогрессий в курсе алгебры 8-9кл »

 

 

 

Исполнитель: Ооржак Туяна Валентиновна

Студентка 4 курса 2 группы ФМФ

__________________________

(подпись)

 

 

 

Научный руководитель: ст. преп. А.К. Хурума (_____________)

                (Подпись)

 

 

 

Работа защищена «___» __________ 2012 г.

С оценкой ____________

Подпись руководителя ____________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кызыл, 2012 г.

 

Содержание:

Введение………………………………………………………………………….3

Глава 1.Основные теоретические положения по теме

«Арифметическая и геометрическая прогрессии  
§ 1. Арифметическая прогрессия ……………………………………………….5 
1.1.1. Числовые последовательности ………………………………………......5 
1.1.2. Определение арифметической прогрессии. Ее свойства ………………6 
1.1.3. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии ……....9 
§ 2. Геометрическая прогрессия ……………………………………………....12 
1.2.1. Определение и свойства геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии ……………………………………………12 
1.2.2. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии ……...15 
1.2.3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|< 1…………..18

Глава 2. Анализ школьных учебников по теме «Прогрессии»

2.1. «Алгебра – 9» авторы Макарычев Ю.Н. и другие ………………………22

2.2. «Алгебра – 9» автор Мордкович А.Г ……………………………………..23

2.3. «Алгебра – 9» авторы Алимов Ш.А. и другие . ………………………….24

2.4. «Алгебра – 9» авторы Виленкин Н.Я. и другие ………………………….25

Глава 3. Методика преподавания темы «Прогрессии»

3.1. Методика преподавания  темы «Прогрессии » в 9 классе ………………..27

3.2. Методические приемы  отработки знаний формул темы «Прогрессии»...31

Глава 4. Применение арифметической и геометрической прогрессий при решении задач в курсе алгебры 9 класса  
4.1. Базовые задачи по разным уровням сложности на применение арифметической и геометрической прогрессии ………………………………41 
4.2. Задачи для подготовки к ГИА …………………………………………......43

4.3. Нестандартные задачи на применение прогрессий ………………………44

Заключение……………………………………………………………………...54

Список использованной литературы………………………………………..55

Введение

Тема «Арифметическая  и геометрическая прогрессии» в  курсе алгебры средней школы  изучается обособленно, лишь в девятом  классе, не перекликаясь с другими  разделами школьной программы. Но, несмотря на это задачи, для решения которых необходимо знать не только формулы n-го члена и суммы первых n членов, но и свойства арифметической и геометрической прогрессий, предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы. А для того, чтобы знания ученика были на достаточно высоком уровне, необходимо активизировать его познавательную деятельность при изучении прогрессий. Поэтому теоретические и практические исследования по данной теме представляются актуальными в настоящее время и обусловлены насущными потребностями средних школ различного уровня: как общеобразовательных, так и с математическим уклоном.

Предмет исследования – методика изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Объектом  исследования является процесс изучения прогрессии в курсе средней школы.

Цель  работы – систематизировать и обобщить материал по арифметической и геометрической прогрессиям в процессе обучения математике.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач:

• Изучить существующие в настоящее время определения, формулы и свойства арифметической и геометрической прогрессий;
• Создать целостную теоретическую базу по изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;
• Совершенствовать методику изучения прогрессий.

Для того чтобы  решить поставленные задачи использовались

следующие методы:

• Анализ школьных учебников по теме «Прогрессии»;
• Тщательное изучение и проработка подобранного теоретического и практического материала;
• Решение задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Практическая  значимость курсовой работы определяется тем, что она может быть использована в качестве учебно-методического материала, который поможет в преподавании темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней школы, а также в подготовке учащихся к сдаче ГИА, ЕГЭ и поступлению в вузы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Основные теоретические положения  по теме

«Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§1. Арифметическая прогрессия

1. 1.Числовые последовательности

Будем выписывать в порядке  возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и т.д. Получим  последовательность 2, 4, 6, … .

Очевидно, что на четвертом  месте этой последовательности будет  число 8, на десятом – число 20 и  т.д. Вообще для любого номера  n  можно указать соответствующее ему положительное четное число, оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1: .

Для любого номера n мы можем узнать соответствующую ему дробь; она равна .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например,  и т.д. (читают: “   первое, второе, третье ” и т.д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму последовательность будем обозначать так:( ).

Заметим, что последовательность может содержать конечное число  членов. В таком случае её называют конечной. Примером конечной последовательности служит последовательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; ...; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий

найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы, выражающей её n-й член как функцию номера n. Такую формулу называют формулойn-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой , последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, – формулой .

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой .   Вычислим первые пять её членов.

Подставляя вместо n  натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, получаем: ,

Пример 2. Пусть первый член последовательности ( ) равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т.е.

С помощью формулы  можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий и т.д. Получим последовательность 3, 9, 81, 6561, … .

Формулу, выражающую любой  член последовательности, начиная с  некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова reccuro – возвращаться).     [10].

1.1.2. Определение арифметической прогрессии. Ее свойства

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при  делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … .

Каждый её член, начиная  со второго, получается прибавлением к  предыдущему члену числа 4 . Эта  последовательность является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность ( ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

,                                             (1)

где  d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между  любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна  d, т.е. при любом натуральном n верно равенство: .

Число d называют  разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый её член и разность.

Приведем примеры.

Если  и d= 1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой – последовательные натуральные числа.

Если  и d= 2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … , которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Если  и , то заданная арифметическая прогрессия: – 2; – 4; 0; 8; 10; … является последовательностью отрицательных четных чисел.

Если  и d= 0 ,   то   имеем    арифметическую    прогрессию: 7; 7; 7; … , все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической  прогрессии, можно    найти    любой    ее    член,    вычисляя    последовательно  второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с больший номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии 

Точно так же находим, что  , и вообще, чтобы найти нужно к прибавить (n– 1)d, т. е. 

 (2)

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

1. При эта формула верна: .

2. Предположим, что формула  (2) верна при  , т.е.

3. По определению арифметической  прогрессии  . Подставляя сюда выражение для k-го члена, получим , а это есть формула (2) при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна  для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения  задач с использованием этой формулы.

Пример 1. Последовательность — арифметическая прогрессия, в которой и d= 0,45. Найдем десятый и сотый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример 2. Выясним, является ли число 71 членом арифметической прогрессии : – 10;   – 5,5;  – 1; 3,5;  ... .

В данной арифметической прогрессии и , . Запишем формулу n-го члена прогрессии:

, т.е.  .

Число 71является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения (4,5n – 14,5) равно 71. Решим уравнение 4,5n – 14,5 = 71.

Получим:  4,5n = 85,5, п=19.

Значит, число 71  является членом данной арифметической прогрессии.

Формулу  n-го члена арифметической  прогрессии можно записать иначе:

Отсюда   ясно,   что   любая   арифметическая   прогрессия   может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа.

Верно  и обратное:   Последовательность , заданная  формулой вида , где k и b – некоторые числа,  является арифметической прогрессией.

Действительно,   найдем   разность   (n+1)-го и n-го членов последовательности :

Значит, при любом n справедливо равенство , и по определению последовательность является арифметической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии равна k.

Свойства  арифметической прогрессии.

1. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при   верной является формула                                                                       (3)

Действительно, при имеем и . Складывая почленно эти равенства, получим , откуда следует (3). 

2. У конечной арифметической прогрессии сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумма крайних членов, т.е. для верной является формула                                  (4)