Методика изучения прогрессий в курсе алгебры 8-9кл

Ответ: 13, 16, 19, 22.

№337 (а). Выпишите первые пять членов последовательности , если , .

Решение. Используя заданные условия, получаем: , , , . Значит, первые пять членов заданной последовательности имеют вид: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

Сведения, полученные учащимися  на первом уроке темы, используются при введении понятия арифметическая и геометрическая прогрессия, выводе формул п - го члена и суммы п членов для каждой из прогрессий.  

Прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются простейшими  примерами последовательностей, заданных рекуррентным способом. На это обстоятельство сразу следует обратить внимание учащихся и использовать его, формулируя определение прогрессий.

Так, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением .

Если последовательность вводится рекуррентным способом, то, как  известно, для полного ее задания нужно указать начальные члены; в частности, для арифметической прогрессии нужно задать первый ее член. Итак, арифметическая прогрессия будет определена полностью, если заданы ее первый член и разность. Арифметическая прогрессия с первым членом и разностью d определяется индуктивно условиями: и .

Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные  числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1и  :1, 2, 3, 4 ... .

Геометрическая прогрессия по определению также представляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррентным соотношением: , т.е. задается условиями: и .

Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифметической, так и геометрической) можно начать с конкретных примеров нескольких последовательностей, среди которых имеются, например, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии.

Следует указать учащимся, что любую постоянную последовательность, каждый член которой принимает значение, равное числу с можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью , и как геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1.   [8].

В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаменателя прогрессии q) характер поведения членов прогрессии различен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если d>0, и будет убывающей, если d< 0.

Несколько сложнее обстоит  дело с геометрической прогрессией. Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например, по такому плану:

1) Пусть q>1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81, ... (т. е.  , q= 3), или – 2, – 8, – 32, ... (т. е. ).

2) Если , то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.

Пример 2.

, или  .

3) Пусть , тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, возрастающие по модулю,

Пример 3.

– 3, 6, – 12, 24, ... .

4) Если , то члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.

Пример 4.

– 8, 1, .

5) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, т. е. , а при все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, т.е.

Остановимся теперь на выводе формулы общего члена прогрессии. Опыт работы преподавателей показывает, что вывод формул для общего члена  арифметической и геометрической прогрессий не вызывает затруднений у учащихся.     [9].

В заключении отметим, что  вывод суммы первых n членов арифметической или геометрической прогрессии, способом, предложенным в учебном пособии Макарычева, не вызывает у учащихся затруднений.

2. Методические приемы отработки знаний формул темы «Прогрессии»

Необходимым условием приобретения умений решать задачи и примеры с  прогрессиями является знание всех формул из этой темы и наличие навыков  их преобразования. Поэтому на практике необходимо уделять особое внимание приемам, позволяющим повышать эффективность  усвоения учащимися формул и выражать из них неизвестные величины.

Рассмотрим некоторые приемы отработки знаний формул темы «Прогрессии», позволяющие активизировать познавательную деятельность учащихся.

1. Прием «Эстафета  формул»

При изучении нескольких формул темы «Прогрессии» целесообразно применение карточек «Эстафета формул». На листе  бумаги в столбик записаны формулы, в которых вместо какой-либо величины вырезан круг. Карточку удобно оформлять  в виде перфокарты со сменной бумажной полоской-подложкой. Заполняется карточка так: вписывая в первую формулу недостающую  величину, её же записывают во вторую формулу, туда, куда показывает стрелка. Процедура  продолжается, пока не будут заполнены  все пропуски. Так, например, на рис. 1 представлена карточка «Эстафета  формул», применяемая при изучении арифметической прогрессии.

Правильность заполнения карточки проверяется с помощью  заготовленной подложки-ключа. Для  описанной карточки подложка-ключ представлена на рис. 2

                                    Рис.1                                             Рис.2

Достоинств у приёма «Эстафета  формул» несколько. Во-первых, это  нетрадиционный способ работы с формулами, что, несомненно, привлекает внимание учащихся. Во-вторых, формы работы с  карточками «Эстафета формул» могут  быть разнообразны. Возможно заполнение карточки одним учеником, при этом проверяется знание им формул данной темы. Приемлема организация групповой  работы, когда учащиеся поочередно записывают пропущенные величины в  формулы, связанные в общую цепочку. В этом случае у учащихся возникает  чувство ответственности перед  товарищами за выполнение своего задания, потому что от правильности записи одной формулы зависит верность заполнения дальнейших пропусков. В-третьих, проверка выполнения заданий очень  проста и оперативна, поэтому она  может быть осуществлена даже учащимися.       [5].

2. Прием «Математическая электровикторина»

Отработка знаний формул и  умения работать с ними может быть осуществлена с помощью математической электровикторины.

Электровикторина представляет собой коробку, внутри которой собрана  электрическая схема (рис.3). Передняя панель (рис.4) имеет ряды гнезд, съёмные карточки с формулами, изучаемыми в теме «Прогрессии»; справа расположена лампочка, соединённая внутри коробки с батарейкой. От этой цепи лампочка-батарейка отходят длинные мягкие провода, оканчивающиеся штырями. Слева на карточках расположены вопросы, справа в беспорядке, но в соответствии со схемой, – ответы на них.

                                Рис. 3                                                                 Рис. 4

 

Работа с математической электровикториной обычно организуется в парах. При этом учащиеся выполняют задания и контролируют правильность выполнения. Правила следующие: учащийся вставляет один штырь в левое гнездо, читает вопрос, ищет справа ответ и вставляет в его гнездо второй штырь от провода. Если ответ выбран правильно, то лампочка загорится. Другой ученик по количеству верных ответов выставляет оценку отвечающему. Затем ребята меняются ролями.

В указанной ниже таблице приводится содержание карточки «Математическая электровикторина» по теме «Прогрессии», которая может быть использована на уроках после изучения всего теоретического материала темы.

 

п-й член арифметической прогрессии
разность арифметической прогрессии
сумма первых п членов арифметической прогрессии
сумма бесконечной  геометрической прогрессии , при
характеристическое  свойство арифметической прогрессии
характеристическое  свойство геометрической прогрессии
(п–1)-й член  геометрической прогрессии
п-й член геометрической прогрессии
знаменатель геометрической прогрессии
сумма первых п членов геометрической прогрессии

 

 

Данные приемы отработки  знания формул и умения работать с  ними могут быть использованы также  при изучении других тем школьного  курса математики.    [5].

Понятие прогрессии следует  закрепить, решая задачи различных  видов.

1. Используя формулы общих членов прогрессий и суммы первых членов прогрессий, а также суммы бесконечной, убывающей по модулю геометрической прогрессии, находят один из компонентов этих формул, если остальные известны.

Упражнений такого вида достаточно в учебных пособиях для девятого класса. Они являются самыми простыми и решаются на первых уроках–практикумах.

2. Задачи, в которых по заданной зависимости между членами арифметической и геометрической прогрессий (или одной из них), требуется найти сами прогрессии.

При решении таких задач  полезно разнообразить содержание, рассмотрев, например, случай, когда  разность (знаменатель) прогрессии есть иррациональные числа. Часто очень помогает решению задач использование характеристических свойств прогрессий, доказательство которых само по себе составляет прекрасную задачу. Напомним их.

В арифметической прогрессии каждый ее член (кроме первого, а  для конечной прогрессии и последнего) есть среднее арифметическое предшествующего  и последующего членов, т.е.     для всех

Верно и утверждение, обратное рассмотренному выше.

В геометрической прогрессии каждый ее член (кроме первого, а  в конечной прогрессии и последнего) есть среднее геометрическое между  предшествующим и последующим членом, т. е. ,k = 2, 3, ....

Справедливо и обратное утверждение.

3. Задачи с практическим и экономическим содержанием на прогрессии.

Рассмотрим несколько  примеров решения таких задач.

Задача 1.  Рабочий обслуживал 6 автоматических станков, каждый из которых производил 30 деталей в час. Станки последовательно вводились в рабочий режим через каждые 10 мин. Но в течение пяти лет конструкция станков была дважды усовершенствована: вначале производительность была доведена до 36 деталей в час, а потом станки стали вводить в рабочий режим в 2 раза быстрее. Найти: а) производительность труда за смену (7 ч) до усовершенствования и после каждого из двух усовершенствований; б) месячный (22 дня) заработок рабочего до усовершенствования и после каждого из двух усовершенствований, если за каждую деталь в начале оплачивали 0,8 коп., после первого усовершенствования – 0,77 коп. и 0,75 коп. после второго усовершенствования.

Решение. Из условия задачи следует, что число выпускаемых деталей увеличивается по закону арифметической прогрессии, пока станки последовательно вводятся в рабочий режим. До усовершенствования станки последовательно включаются в рабочий режим за 50 мин, после второго усовершенствования – за 25 мин, поэтому количество выпускаемых деталей можно определить по формуле суммы членов арифметической прогрессии.

Число деталей, выпускавшихся  до усовершенствования станков: дет. за 50 мин.

Число деталей, выпускавшихся  после первого усовершенствования станков: дет. за 50 мин.

Число деталей, выпускавшихся  после второго усовершенствования: дет.за 25 мин.

а) Производительность труда  за смену до усовершенствования станков: дет.

Производительность труда  за смену после первого усовершенствования станков: дет.

Производительность труда  за смену после второго усовершенствования станков: дет.

б) Месячный заработок рабочего (за 22 дня):

(руб.) – до первого усовершенствования  станков;

(руб.) – после первого усовершенствования  станков;