Методика изучения прогрессий в курсе алгебры 8-9кл

При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь неограниченно приближается  к  нулю.

Действительно,  если n = 2, то

если n = 3, то

если n = 4, то

если n = 5, то    и т.д.

Поэтому при неограниченном увеличении nразность становится  сколь   угодно  близкой к числу или,   как   говорят, стремится к числу .

Таким  образом,  сумма   n первых  членов  геометрической прогрессии 0,3;  0,03;  0,003;  0,0003;  ... при неограниченном увеличении п стремится  к   числу . Это утверждение записывают в виде равенства

.

Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ... .

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию, у которой 

Запишем  формулу суммы  п первых членов прогрессии:

Преобразуем, выражение в  правой части равенства:

Значит,

Можно доказать, что если  , то при неограниченном увеличении п множитель стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение . Поэтому при неограниченном увеличении п суммаS, стремится к числу .

Число   называют   суммой   бесконечной   геометрической прогрессии ,  у которой .

Это записывают так:

Обозначив сумму прогрессии буквой S_,получим формулу

                                                         (9)

Заметим, что если то сумма п первых членов геометрической прогрессии S_n при неограниченной увеличении п не стремится ни к какому числу.   Бесконечная   геометрическая прогрессия имеет сумму только при .

Пример 1.Найдем  сумму  бесконечной  геометрической прогрессии 12; – 4; ; ….

 У этой прогрессии  . Значит, условие выполняется. По формуле (9) получим:

Пример 2.Дан  квадрат,  сторона которого равна  4 см. Середины  его сторон  являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Найдем   сумму   площадей   всех   квадратов.

Из геометрических соображений  ясно, что площадь каждого следующего квадрата равна   половине  площади  предыдущего.  Таким   образом, последовательность площадей квадратов  является  геометрической  прогрессией, первый член которой равен 16, а знаменатель равен . Найдем сумму этой геометрической прогрессии:

Значит,   сумма   площадей   всех   квадратов   равна   32   см².

Пример 3. Представим бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.

Запишем число 0,(18) в виде суммы: .

Слагаемые в правой части  равенства – члены геометрической прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а знаменатель равен 0,01, т.е. . Найдем сумму этой прогрессии:

Значит,

Заметим, что аналогичным  образом можно представить в  виде обыкновенной дроби любую бесконечную  десятичную периодическую дробь.    [10], [12].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.Анализ школьных учебников по теме «Прогрессии»

На сегодняшний день при изучении курса алгебры в 9 класса в средних школах пользуются учебниками следующих авторов:

1. Мордкович А.Г.
2. Алимов Ш.А. и другие
3. Макарычев Ю.Н. и другие
4. Виленкин Н.Я. и другие.

Учебник Виленкина Н.Я. предназначен для классов с углубленным изучением математики,  а учебники авторов Мордковича А.Г., Алимова Ш.А., Макарычева Ю.Н., предназначены для общеобразовательных классов.

Проведем анализ темы «Прогрессии» в школьных учебниках, которые распространены в общеобразовательных школах, а  именно учебники [1], [6], [10], [12].

2.1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Алгебра – 9. Учебник для 9 класса средней школы.

В этом учебнике тема «Прогрессии» рассматривается в главе III 2 «Арифметические и геометрические прогрессии». В§7 изучается тема «Арифметическая прогрессия» и в §8 «Геометрическая прогрессия».

Прежде чем изучить  данную тему рассматривается понятие  последовательности и примеры последовательностей, а только после понятия последовательности дается определение арифметической прогрессии и формула n-го члена арифметической прогрессии. В определении арифметической прогрессии отсутствует указание «числовая» последовательность. Это полностью оправдано тем, что других последовательностей в курсе алгебры не изучается.

Проанализировав данную тему в учебнике выявила, что:

• Содержание учебного материала по теме «Прогрессии» излагается доступным языком;
• В учебнике по данной теме достаточно задач и упражнений для закрепления теоретического материала и самостоятельной работы;
• Задания расположены с нарастанием трудности их решения: начиная с обязательных задач (№329 - 337), затем дополнительные задачи

(№338 - 349), и в конце даны трудные задачи (№350 - 353).

• В учебнике отсутствуют задачи с историческим содержанием
• В конце главы, параграфа даны вопросы для самоконтроля по данной теме.

2.2. Мордкович А.Г.  Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных  учреждений

Сразу следует отметить, что это учебное пособие состоит  из двух частей: учебника и задачника. В учебнике излагается только теоретический  материал, а в задачнике даны упражнения и задачи для закрепления и  самостоятельного решения. Для начала мы заглянем в учебник. В этом учебнике тема «Прогрессии» рассматривается  в главе IV.

В начале изучения данной темы начинается ознакомление с новой математической моделью – числовой последовательностью (функцией натурального аргумента).

Более доступно, понятно  изложены и разобраны  новые термины математического языка:

- числовая последовательность, n – й член последовательности;

- монотонная (возрастающая  или убывающая) последовательность;

- арифметическая прогрессия, разность арифметической прогрессии;

- геометрическая прогрессия, знаменатель геометрической прогрессии.

Введены новые обозначения:

(y_n) или y₁, y₂, y₃, …, y_n, … - для числовой последовательности;

÷ - для арифметической прогрессии;

  - для геометрической прогрессии;

S_n – для суммы х₁ + х₂ + х₃ + … + х_n членов последовательности (х_n).

А также рассмотрены 3 способа  задания числовой последовательности:

- аналитический;

- словесный;

- рекуррентный.

Таким образом, изложение  темы «Прогрессии» в учебнике соответствует  по содержанию и объему учебного материала  государственному стандарту и обязательному  минимуму содержания образования по математике.

Теперь перейдем к задачнику. Названия его глав и параграфов в  точности соответствует названиям  глав и параграфов учебника. В каждом параграфе упражнения рассредоточены по отдельным подтемам, соответствующим теоретическому материалу учебника,  внутри подтем достаточно четко выдерживается линия нарастания трудности. Задач и упражнений избыточно много. Идя на это, авторы хотели дать в руки учителю объемный и разноплановый набор упражнений с тем, что учителю не пришлось искать дополнительный материал в других учебных пособиях, чтобы у него была возможность выбора.

2.3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю. В., Федорова Н. Е., М. И. Шабунин М.И. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений.

Тема «Прогрессии» в данном учебнике рассматривается в главе  IV. Данная глава открывается вводной беседой, подготавливающей появление новых основных понятий, и заключительной беседой, которая включает в себя сведения, полезные для учащихся.

Алимов Ш.А. в каждом параграфе  темы «Прогрессии» большое внимание уделяет теории и примерам, а упражнения для закрепления материала и  самостоятельной работы даны мало; задачи расположены с нарастанием  трудности решения и еще имеются  задачи для устных вычислений.

 

2.4. Виленкин Н.Я.,  Сурвилло Г.С., Симонов А.С., Кудрявцев А.И. Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики.

Учебник Виленкина Н.Я. предназначен для классов с углубленным  изучением математики. Тема «Прогрессии» в данном учебнике рассматривается  в главе XI.

  Данный учебник имеет прикладную направленность и также содержание отличается большей научностью и близостью к математическому анализу, язык изложения в большей мере научный. В учебнике достаточно задач и упражнений для закрепления материала и самостоятельной работы.

После введения понятия числовой последовательности рассматривается  в §2 метод математической индукции. И только после этого рассматривается определение арифметической и геометрической прогрессий. А также более подробно изложены темы:

- Определение и свойства бесконечно малой последовательности;

- Бесконечно большие последовательности;

- Определение предела  последовательности;

- Теоремы о пределах;

- Признак существования  предела. Вычисление пределов  рекуррентно заданных последовательностей;

- Последовательности сумм. Сумма бесконечно убывающей геометрической  прогрессии.

Вывод проделанного анализа: Прежде всего, отметим некоторые особенности этих учебников как методических пособий в целом, а не по данной теме. Вообще, данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Но каждый из них имеют свои особенности. Учебник [12], например, отличается более доступным для школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком, наличием большого количества примеров с подробными решениями. Учебник [6] имеет прикладную направленность, содержание отличается большей научностью и близостью к математическому анализу, язык изложения в большей мере научный. Учебники [1], [10] материал изложен понятно, доступно, а также по данной теме достаточно задач и упражнений для закрепления теоретического материала и самостоятельной работы.

По моему мнению, нельзя определить какой из этих учебников  написан лучше и по которому из них лучше заниматься. Но все – таки, предпочтение я отдаю учебнику Мордковича А.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3.Методика преподавания темы «Прогрессии»

1. Методика преподавания темы «Прогрессии » в 9 классе

Учение о прогрессиях  является существенной, хотя и несколько  изолированной от остальных разделов частью курса алгебры.

Знакомство учащихся с  прогрессиями происходит в курсе  алгебры девятого класса в теме «Арифметическая  и геометрическая прогрессии». На эту тему по программе общеобразовательных классов отводится 14 часов. Для изучения арифметической прогрессии отводится 6 часов, геометрической – 7 часов, но соотношение часов может варьироваться  по усмотрению учителя.    [5].

Основная цель этой темы – дать понятие об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида. 

На первом уроке темы необходимо разъяснить смысл понятий «последовательность», «п-й член последовательности», выработать умение использовать индексные обозначения.

Для более сильных учащихся можно ввести строгое определение  последовательности как функции  натурального аргумента, понятие области  определения и области значений такой функции, графическое изображение  последовательности. На этом же уроке  показать различные способы задания  последовательности, используя задания  типа №329,334,336,337 учебника «Алгебра, 9»  Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. под  редакцией Теляковского С.А.  [10].

№329. Выпишите несколько  первых членов последовательности натуральных  чисел, кратных 3. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и п-й члены.

Решение. Формула общего члена данной последовательности имеет вид: , где п - натуральные числа. Значит, , , , а п-й член указан ранее.

Ответ: 3, 15, 30, .

№334 (а). Найдите первые шесть  членов последовательности, заданной формулой п-го члена: .

Решение. Согласно заданной формуле получаем: , , , , , .

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

№336 (а). Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены  последовательности , если известно, что первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т.е. и .

Решение. Учитывая данные условия, получаем: , , , .