Методика изучения прогрессий в курсе алгебры 8-9кл

Действительно, в конечной арифметической прогрессии члены и равноотстоят от концов. По формуле (2) и Сумма этих членов равна и равна сумме крайних членов .

1.1.3. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Пусть требуется найти  сумму первых ста натуральных  чисел. Покажем, как можно решить, эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.                         

Обозначим искомую сумму  через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания: S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100, S= 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.

Каждая пара чисел, расположенных  друг под другом, в сумме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак, 1+ 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 5050.

С помощью аналогичных  рассуждений  можно найти сумму  первых членов любой арифметической прогрессии.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы  крайних членов на число членов, т.е. если , то       

 (5)

Действительно, если , то  

.

Складывая почленно эти равенства  и используя свойство 2, получаем , откуда следует формула (5).

Приведем примеры.

Пример 1.    Найдем    сумму   первых    двадцати   членов   арифметической прогрессии 1;  3,5; ... .

В данной арифметической прогрессии . По формуле n-го члена найдем двадцатый член прогрессии:

Теперь вычислим сумму  первых двадцати членов:

.

Заметим,  что  если  заданы  первый  член  и  разность  арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом  виде. Подставим в  формулу (5)  вместо выражение получим:    т.е.

 (6)

Если для решения рассмотренной  задачи  воспользоваться формулой (6), то вычисления будут выглядеть  так:

.

Пример 2. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности  , заданной формулой .

Последовательность    является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида , где k= 5  и .

Найдем первый и тридцатый  члены этой арифметической прогрессии:

Теперь по формуле (5) вычислим :

Пример 3.Найдем сумму  1 + 2 + 3 + … + п, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до п .

Применив формулу (5) к  арифметической прогрессии 1; 2; 3; ..., получим, что

Пример 4. Найдем сумму всех натуральных чисел. Кратных шести и не превосходящих 250.

Натуральные числа, кратные  шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой . Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит   250,  решим   неравенство  .   Получим .

Значит,   число  членов   прогрессии, сумму  которых   надо найти, равно 41.

Имеем:

§2. Геометрическая прогрессия

1.2.1. Определение и свойства геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени  числа 2 с натуральными показателями: 2; ; ; ; … .

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Иначе говоря, последовательность – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

 и  ,                                                  (1)

где q – некоторое число. Обозначим, например, через   последовательность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n  верно равенство ; здесь .

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение  любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном n верно равенство:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Приведем примеры.

Если  и q= 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ....

Условиями и q= 3 задается геометрическая прогрессия – 2; – 6; ; – 54;  – 162;  ... .

Если и , то имеем прогрессию: 4; – 12; 36; – 103; 324; … .

Если  и q = 1, то получим геометрическую прогрессию 8; 8; 8; … .

Зная первый член и знаменатель  геометрической прогрессии, можно найти  последовательно второй, третий и  вообще любой её член:

Точно так же находим, что  и т. д. Вообще, чтобы найти , мы должны b₁  умножить на  , т. е.

                                                          (2)

 Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

1. Формула (2), очевидно, верна при п=1.

2.Предположим, что она  верна и при  , т.е.

3. Из (1) следует  , то есть формула (2) верна и при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива  для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения  задач с использованием этой формулы.

Пример 1. В геометрической прогрессииb₁ = 0,8 и . Найдем  .

 По формуле n -го члена геометрической прогрессии

Пример 2. Найдем   восьмой   член   геометрической   прогрессии ,

если  и .

Зная первый и третий  члены  геометрической  прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так  как ,то

Решив уравнение    

Найдем, что  или .

Таким образом, существуют две  прогрессии, удовлетворяющие условию  задачи.

Если  , то

Если  , то

Задача имеет два решения: или .

Пример 3. После каждого, движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление  было 750 мм рт. ст.

Так как после каждого  движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы  узнать давление  воздуха  в  сосуде  после  очередного  движения поршня, нужно давление после  предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно .

Произведя вычисления, получим:

(мм рт. ст.).

Свойства  геометрической прогрессии.

1. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, то есть при верной является формула .                                                                           (3)

Если все члены  геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. .

Действительно, при имеем и . Перемножая почленно эти равенства, получим . А это и есть равенство (3).

2. У конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е.                                                                                           (4)

Действительно, в конечной геометрической прогрессии члены и равноотстоят от концов. По формуле (2) и . Произведение этих членов и равно произведению крайних членов . Значит, . А это и есть равенство (4).

1.2.2. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Древняя индийская легенда  рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение  столько пшеничных зерен, сколько  их получится, если на первую клетку шахматной  доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – еще в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Число зерен, о которых  идет речь, является суммой шестидесяти   четырех   членов   геометрической   прогрессии,   первый член  которой  равен  1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

.

Умножим   обе   части   записанного   равенства   на   знаменатель прогрессии, получим: .

Вычтем из второго равенства  первое и проведем упрощения:

, .

Масса такого числа пшеничных  зерен больше триллиона тонн. Это  заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной  геометрической  прогрессии.  Воспользуемся тем   же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :                                                     (5)

Умножим обе части этого  равенства на q:

Учитывая, что  получим:

                                                     (6)

Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:

Пусть . Тогда                                                                  (7)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и .                         [10].

Заметим, что при решении  многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо b_n выражение . Получим:

  если  .                                                  (8)

Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой и . 

Так  как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться  формулой (8). Получим:

Пример 2. Найдем сумму , слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; ; … .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы nпервых её членов. Воспользуемся формулой (7):

Таким образом,

Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество

В частности,   при   n=2   и   n= 3   приходим    к   известным формулам:

Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии , если известно, что и .

Зная  и ,   можно   найти   знаменатель   прогрессии   q.

Так как  то

Значит, или

Таким образом, существуют две  прогрессии, удовлетворяющие условию  задачи.

Если  , то и    

Если  , то и

1.2.3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|< 1

Мы   знаем,   что  число  обращается  в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333... .

Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную  десятичную  дробь  0,3333…  по разрядам, то  получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... .

Слагаемые  в   этой сумме  являются  членами   геометрической  прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; .... ,у  которойq= 0,1.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем: