Чарльз Дарвін: життя і наукова діяльність

2. Закон Харді-Вайнберга

2.1 Передумови  закону Харді-Вайнберга

Популяція є елементарною одиницею еволюції, так як вона має відносну самостійність і її генофонд може змінюватися. Закономірності успадкування різні в популяціях різних типів. У популяціях самозапильних рослин відбір відбувається між чистими лініями. У популяціях раздельнополих тварин і перекрестноопиляемих рослин закономірності успадкування підпорядковуються закону Харді-Вайнберга.

У науковому світі нечасто трапляється, щоб різні вчені незалежно  один від одного наткнулися на одну і ту ж закономірність, але все  ж таких прикладів досить, щоб  змусити нас повірити в існування «духу часу». До їх числа належить і закон Харді-Вайнберга (відомий також як закон генетичної рівноваги) - одна з основ популяційної генетики. Закон описує розподіл генів в популяції.

Уявіть собі ген, що має два варіанти - або, користуючись науковою термінологією, два алелі. Наприклад, це можуть бути гени «низькорослості» і «високорослої», як у випадку менделевської гороху, або наявність чи відсутність схильності до народження двійні. Харді і Вайнберг показали, що при вільному схрещуванні, відсутності міграції особин і відсутності мутацій відносна частота індивідуумів з кожним з цих алелей буде залишатися в популяції постійної з покоління в покоління. Іншими словами, в популяції не буде дрейфу генів.

2.2 Особи вчених

Годфрі Харолд Харді (1877-1947) - англійський  математик, народився в Кранлі, графство Суррей. Син вчителя малювання. Вивчав математику в Кембриджському та Оксфордському університеті. Мабуть, найбільшу популярність Харді принесли спільні роботи з Джоном Ідензор Літлвуд (1885-1977) і пізніше з індійським математиком-самоучкою Cрініваса Рамануджаном (1887-1920), який працював клерком в Мадрасі. У 1913 році Рамануджан послав Харді список доведених їм теорем. Визнавши геніальність юного клерка, Харді запросив його в Оксфорд, і протягом декількох років, що передували передчасної смерті Рамануджана, вони опублікували серію блискучих спільних робіт.

Вільгельм Вайнберг (1862-1937) - н Емецк  лікар, що мав велику приватну практику в Штуттгарті. За спогадами сучасників, допоміг з'явитися на світ 3500 немовлят, у тому числі принаймні 120 парам близнюків. На підставі власних спостережень над народженням близнюків і перевідкрили генетичних законів Менделя прийшов до висновку, що схильність до народження двуяйцевих (неідентичних) близнюків передається у спадок.

2.3 Закон Харді-Вайнберга

Закон Харді-Вайнберга сформулювали в 1908 р. Незалежно один від одного математик Г. Харді в Англії і  лікар В. Вайнберг в Німеччині. Закон Харді-Вайнберга свідчить, що процес спадкової наступності сам по собі не веде до зміни частот алелей і (при випадковому схрещуванні) частот генотипів за певним локусу. Більш того, при випадковому схрещуванні рівноважні частоти генотипів за даним локусом досягаються за одне покоління, якщо вихідні частоти алелів однакові в обох статей.

Рівноважні частоти генотипів  задаються творами частот відповідних алелів. Якщо є тільки два алелі, А і а, з частотами p і q, то частоти трьох можливих генотипів виражаються рівнянням:

(Р + g) ² = р ² + 2рg + g ²

А а АА Аа аа,

де буквах у другому рядку, що позначає алелі і генотипи, відповідають розташовані над ними частоти в першому рядку; в якому:

• р - частота зустрічальності алеля А;
• g - частота зустрічальності алеля а;
• g ² - частота зустрічальності генотипу аа;
• р ² - частота зустрічальності генотипу АА;
• рg - частота зустрічальності генотипу Аа. [1, с.111-112]

Таким чином, якщо схрещування  випадково, то частоти генотипів пов'язані з частотами алелів простим рівнянням квадрата суми. Наведена вище формула отримала назву рівняння Харді-Вайнберга.

Припустимо, що в популяції  р = 0,7 А, g = 0,3 а, тоді частоти зустрічальності  генотипів будуть рівні (0,7 + 0,3) ² = 0,49 + 0,42 + 0,09 = 1.

Цікаво, що в  наступному поколінні гамети з алелем А будуть знову виникати із частотою 0,7 (0,49 від АА + 0,21 від Аа), а з  алелем а - з частотою 0,3 (0,09 від аа + 0 , 21 від Аа), тобто частоти генів і генотипів залишаються незмінними з покоління в покоління - це і є закон Харді-Вайнберга. [1] Якщо є три алелі, наприклад, А1, А2 і А3, з частотами p, q і r, то частоти генотипів визначаються наступним чином:

(Р + q + r) ² = р ² + q ² + r ² + 2р q + 2 pr + 2 qr

A 1 A 2 А3 А1А1 А2А2 А3А3 А1А2 А1А3 А2А3.

Аналогічний прийом зведення в квадрат  многочлена може бути використаний для  визначення рівноважних частот генотипів  при будь-якій кількості алелів. Тут можна відзначити, що сума всіх частот алелей, так само, як і сума всіх частот генотипів, завжди повинна бути дорівнює 1. Якщо є тільки два алелі з частотами р і q, то р + q = 1, і, отже, (р + g) ² = р ² + 2рg + g ² = 1, якщо ж є три алелі з частотами p, q і r, то р + q + r = 1, і, отже, також (р + q + r) ² = 1 і т.д.

Щоб зрозуміти сенс закону Харді-Вайнберга, можна навести простий приклад. Припустимо, що даний локус містить один із двох алелів, А і а, представлених з однаковими для самців і самок частотами: р для Проте й q для а. Уявімо собі, що самці і самки схрещуються випадковим чином, або, що те ж саме, гамети самців і самок утворюють зиготи, зустрічаючись випадково. Тоді частота будь-якого генотипу буде дорівнює добутку частот відповідних алелів.

Імовірність того, що деяка певна особина має генотипом АА, дорівнює ймовірності (р) отримати аллель А від матері, помноженої на ймовірність (р) отримати аллель А від батька, то є р помножити на р. дорівнює р ^2.

Цілком аналогічно ймовірність  того, що певна особина має генотипом аа, дорівнює g ^2. Генотип Аа може виникнути двома шляхами: організм отримує алель А від матері і а від батька, або, навпаки, алель А від батька і алель а від матері. Імовірність того й іншого події дорівнює рg, а значить сумарна ймовірність виникнення Аа дорівнює 2рg.

2.4 Основні  положення закону Харді-Вайнберга

Тепер можна довести справедливість трьох тверджень, що містяться в законі Харді-Вайнберга:

1. Частоти алелів не змінюються від покоління до покоління. Це можна легко показати. Частота алелю А в потомстві відповідно до таблиці 1 дорівнює сумі частоти генотипу АА і половини частоти генотипу Аа, тобто дорівнює р. ² + рg = р (р + g ) = Р (оскільки р + g = 1). [1]
2. Рівноважні частоти генотипів задаються зведенням в квадрат суми частот алелей і не змінюються від покоління до покоління. Так як частоти алелів у потомства залишаються такими ж (р і g), якими були у батьків, то й частоти генотипів в наступному поколінні також залишаються незмінними і рівними р ^2, 2рg і g ^2.
3. Рівноважні частоти генотипів досягаються за одне покоління. При цьому в таблиці не йдеться про частоти генотипів в батьківському поколінні. Якими б вони не були, частоти генотипів нащадків будуть р ^2, 2рg + g ^2, якщо частоти алелів однакові у самців і самок і рівні р і g. [1, с.114]

2.5 Застосування  закону Харді-Вайнберга

Одне з можливих застосувань  закону Харді-Вайнберга полягає  в тому, що він дозволяє розрахувати  деякі з частот генів та генотипів у випадках, коли не всі генотипи можуть бути ідентифіковані внаслідок домінантності деяких алелів. Альбінізм у людини обумовлений досить рідкісним рецесивним геном. Якщо аллель нормальної пігментації позначити - А, а аллель альбінізму - а, то генотип альбіносів буде аа, а генотип нормально пігментованих людей - АА і Аа. Припустимо, що в якоїсь людської популяції частота альбіносів становить 1 на 10 000. Відповідно до закону Харді-Вайнберга, частота гомозигот аа дорівнює q ^2; таким чином, q ² = 0, 0001, звідки q = 0, 01. З цього випливає, що частота нормального алеля дорівнює 0, 99. Частоти генотипів нормально пігментованих людей становлять р ² = 0, 99 ² = 0, 98 для генотипу АА і 2р q = 2 х 0,99 х 0,01 = 0,02 для генотипу Аа.

Групи крові системи АВО можуть служити прикладом локусу з трьома алелями. Одне цікаве наслідок із закону Харді-Вайнберга полягає в тому, що рідкісні алелі присутні в популяції головним чином у гетерозиготному, а не в гомозиготному стані. Розглянемо наведений приклад з альбінізму. Частота альбіносів (генотип аа) дорівнює 0, 0001, а частота гетерозигот - 0, 02. Частота рецесивного алеля а у гетерозигот становить половину частоти гетерозигот, тобто 0, 01. Отже, в гетерозиготному стані знаходиться приблизно в 100 разів більше рецесивних алелей а, ніж у гомозиготному.

У загальному випадку, якщо частота  рецесивного алеля в популяції  дорівнює q, частота рецесивних алелей в гетерозигота становить pq (половина від 2р q), а у гомозигот - q ^2. Ставлення першої частоти до другої одно р q \ q ² = р \ q. Ця величина при малих значеннях q приблизно становить 1 \ q. Таким чином, чим нижче частота алелі, тим більша частка цього алеля присутній в популяції в гетерозиготному стані. Наприклад, частота рецесивного гена алькаптонуріі становить приблизно 0, 0001. Частота людей, які страждають алькаптонуріей, дорівнює q ² = 0, 000001, тобто 1 на 1 млн., тоді як частота гетерозигот дорівнює 2р q, тобто близько 0, 002. Отже, число генів алькаптонуріі в гетерозигота приблизно в 1000 разів більше, ніж у гомозигот.

Можна уявити собі, що якийсь введений в оману диктатор, одержимий евгеническими  ідеями «поліпшення раси», вирішив  елімінувати з популяції альбінізм. Оскільки гетерозиготи не відрізняються від гомозигот за домінантним аллелю, його програма повинна грунтуватися на знищенні або стерилізації рецесивних гомозигот. Це призведе лише до дуже незначного зниження частоти рецесивного алеля в популяції, так як більшість алелів альбінізму містяться в гетерозигот, а значить, не виявляються. Тому в наступному поколінні частота альбінізму буде майже такою ж, як у попередньому. Буде потрібно вести відбір протягом дуже багатьох поколінь, щоб значною мірою знизити частоту рецесивного алеля.

Зворотна ситуація виникає в даний час в людській популяції щодо рецесивних летальних захворювань, які навчилися тепер лікувати. Прикладом може служити фенілкетонурія. Частота цього алелю становить 0,006. Навіть якщо б усі гомозиготи виліковувалися і розмножувалися настільки ж ефективно, як і нормальні люди, частота гена фенілкетонурії зростала б дуже повільно, а частота гомозигот з цього гену - ще повільніше. Якщо всі індивідууми, стадающие даним захворюванням, будуть виліковуватися, то частота гена фенілкетонурії за одне покоління змінитися від 0, 06 до 0, 006036 (q 1 = q + q ^2). Зрозуміло, якщо виліковуються не всі хворі або якщо у вилікувалися кількість дітей в середньому менше, ніж у здорових, то частота алелі у хворих на фенілкетонурію буде збільшуватися ще повільніше.

3. Обмеження закону Харді-Вайнберга

3.1 Ідеальні  умови для закону

Повною мірою закон  Харді-Вайнберга застосуємо до «ідеальної популяції», яка характеризується наступними ознаками:

• нескінченно великі розміри;
• необмежена панміксія;
• відсутність мутацій;
• відсутність імміграції особин із сусідніх популяцій;
• відсутність природного добору.

У природних популяціях ні одне з цих умов не дотримується, тому і закон Харді-Вайнберга носить умовний характер. Тим не менше він реально відображає тенденції в характері розподілу частот тих чи інших алелів та генотипів.

3.2 Частоти  алелів (Верн Грант)

Генофонд локальної популяції зазвичай містить крім мономорфних різні поліморфні гени. У кожному даному поколінні алельних форми поліморфних генів представлені з деякою певною частотою. Так, наприклад, ген А, що має два алелі, А і а, може бути представлений в генофонді одного покоління в співвідношенні 70% алелів А і 30% алелів а. Які в такому випадку будуть очікувані частоти алелів у наступному поколінні? [3]

У популяції диплоїдного організму  ці алелі містяться в гомозиготних і гетерозиготних генотипах АА, аа і Аа, які зустрічатимуться в певних співвідношеннях в будь-якому даному поколінні. Вони служать батьківськими генотипами для наступного покоління. У зв'язку з цим виникає питання: які очікувані співвідношення генотипів в другому і в наступних поколіннях?

Очікувані частоти алелів та генотипів  можна визначити за законом Харді - Вайнберга. Цей закон діє за таких умов. Передбачається, що популяція досить велика, для того щоб помилки вибірки не робили істотного впливу на частоти в послідовних поколіннях. Популяція ізольована, імміграція відсутня, складові популяцію особини вносять рівне число функціонуючих гамет; іншими словами, різні генотипи розмножуються однаково успішно. І нарешті, передбачається, що в популяції переважає випадкове схрещування. Випадкове схрещування, або панміксія, можна з рівним успіхом визначати в термінах особин або в термінах гамет. Якщо мати на увазі особин, то випадкове схрещування відбувається в тих випадках, коли особини з різною генетичної конституцією схрещуються незалежно від своїх генотипів. Наприклад, самка з генотипом АА може схрещуватися з самцями АА, Аа або аа, не проявляючи ніякого переваги до самцям якогось одного типу.

Панміксія можна визначити точніше, якщо виходити з наявності у гаметную фонді безлічі гамет. У цьому сенсі випадкове схрещування означає, що будь-яка жіноча гамета з однаковою ймовірністю може бути запліднена чоловічий гаметою будь-якого типу і що ця ймовірність прямо пропорційна частоті чоловічих гамет даного типу в гаметную фонді. Коротше кажучи, гамети, що несуть різні алелі, з'єднуються в пари пропорційно їх відносним частотах в гаметную фонді. Особи, що складають популяцію в кожному даному поколінні, являють собою в такому випадку твори різних пар гамет, випадково витягнутих з гаметную фонду попереднього покоління.

У популяції, відповідної зазначеним вище умовам, відповідно до закону Харді - Вайнберга, частоти алелів залишатимуться постійними з покоління в покоління, і при випадковому схрещуванні в одному поколінні генотипи досягнуть рівноважних частот, які збережуться надалі. Наприклад, закон сталості частот алелей ми проілюструємо кількісним прикладом. Припустимо, що популяція якогось диплоїдного виду, поліморфного за геном А, у вихідному поколінні містить різні генотипи у наступному співвідношенні: 60% АА, 20% Аа і 20% аа. Простежимо за алелями А протягом двох поколінь.