Теория вероятности и математическая статистика

     Так как события попадания для разных стрелков независимы, то вероятности попадания равны произведению вероятностей. Поэтому

     Р(В1)=Р(А1)∙Р(А2)∙Р(А3*)=0.7∙0.5∙0.7=0.245

     Р(В2)=Р(А1)∙Р(А2*)∙Р(А3)=0.7∙0.5∙0.3=0.105

     Р(В3)=Р(А1*)∙Р(А2)∙Р(А3)=0.3∙0.5∙0.7=0.105

Интересующее  нас событие С=В1 В2 В3. Так как события В1,В2 и В3 несовместны, то вероятность объединения равна сумме вероятностей событий Вi,i=1,2,3              

     Р(С)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0.245+0.105+0.105=0.455                (16.1)

     Ответ:         Вероятность, что попали 2 пули равна 0.455.

 

     Задача 16.2.:

     Те же охотники дали залп по другому вепрю. Известно, что попали 2 пули.

Какова  вероятность, что попал первый охотник?

     Решение:

     Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(А1|С)

события А1 при условии, что произошло событие С. По формуле

Бейеса  имеем

     Р(А1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P(C)                    (16.2)

    

По определению условной вероятности P(C|A1) (3.1) и(3.2) имеем

P(C|A1)∙P(A1)=Р(С А1)                           (16.3)

 Но событие С А1

происходит тогда и  только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых событий

     С2=А2 А3* А1                                       (16.4)

     С3=А3 А2* А1                                       (16.5)

То есть имеем

     (С А1)=(А2 А3* А1) (А3 А2* А1)                (16.6)

     Р(С А1)=Р(А2 А3* А1)+Р(А3 А2* А1)=0.5∙0.7∙0.7+0.3∙0.5∙0.7=

        =0.245+0.105=0.35                                  (16.7)       

      Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности Р

(A1|C) получим значение

     Р(A1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P

(C)=0.35/0.455=0.769                           (16.8)

     Ответ:         Вероятность того, что попал первый охотник при условии,

что попало в вепря две пули равна 0.769.

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Решение задач о встрече методом Монте-Карло.                

       Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1. по встрече из раздела 8.

     Задача 17.1.:

     Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1

часа  пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный  момент времени или соответственно или из отрезка .

Каждый  пришедший ждет своего товарища в  течение 20 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1

остается  меньше 20 минут.

      Какова вероятность, что они все трое встретятся?

     Решение:

     Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаем

х= ,у=

,z= . Тогда точка с координатами х,у и z соответствует приходу Марии в момент времени х= , Ивана – в момент у= и Петра – в момент z= . Достоверному событию Ω соответствует в пространстве XYZ куб

       Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все встретятся соответствует тело . Это тело состоит из точек, лежащих в кубе и к тому же удовлетворяющих условиям

     |x–y|≤1/3, |y–z|≤1/3, |x–z|≤1/3                             (17.1)

Поэтому

     Р(А)=                                                 (17.2)

Здесь есть объем куба , есть объем тела . Вычислить объем тела

     |x–y|≤1/3,|y–z|≤1/3,|x–z|≤1/3  (17.3)

затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло  по схеме Бернулли. При этом будем работать со случайными величинами , которые принимают значение равное единице, когда точка оказывается в теле ,

и принимают значение равное нулю, когда точка оказывается вне тела . Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел (см.разделы 7 и 12) полагаем

     P(A)=                                (17.4)

Здесь n – число испытаний по бросанию точки в куб , m –

число попаданий  в тело . Равенство (17.4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью, если число испытаний n достаточно велико.

      Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000 дали следующий результат

     Р(А)= 0.259                                         (17.5)

     Ответ:         Вероятность Р(А) того, что Мария, Иван и Петр все встретятся равна 0.259.

     Задача 17.2.:

Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в задаче 17.2. является таким.

Какова  вероятность, что встретятся по крайней  мере двое из трех?

     Решение:

     Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из трех.

     Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только в случае события В искомая вероятность Р(В) определяется формулой

     Р(B)= m/n                                   (17.6)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

     |x–y|≤1/3) ( (17.7)

где запятая  заменяет логическую связку and. Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.6) означает число попаданий точки  в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

     Р(В)= 0.964                                (17.8)

     Ответ:         Вероятность Р(В), что встретились по крайней мере двое из трех равна 0.964.

     Задача 17.3.:

Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в задаче 17.3. является таким.

     Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?

     Решение:

     Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из трех.

Повторим  построения по аналогии с построением  для задачи 17.2. Только в случае события С искомая вероятность Р(С) определяется

формулой

     Р(С)= m/n                                   (17.9)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

     |x–y|≤1/3,|y–z|>1/3,|x-z|>1/3)

                                    (                                   

    

     (17.10)

где запятая  заменяет логическую связку and.

Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.9) означает число попаданий точки

в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат

     Р(C)= 0.520                               (17.11)

     Ответ:         Вероятность Р(C), что встретились двое и только двое из трех равна 0.520.

     Задача 17.4.:

     Условия задачи 17.4. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.4. является таким.

Какова  вероятность, что не встретились  никто из трех?

     Решение:

      Назовем событием D событие, что не встретится никто из трех. Повторим

построения  по аналогии с построением для  задачи 17.3. Только в случае события D искомая вероятность Р(D) определяется формулой

     Р(D)= m/n                                  (17.12)

      Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

     |x-z|>1/3),(      (17.13)

где запятая  заменяет логическую связку and.

Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.12) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат

     Р(D)= 0.037                               (17.14)

     Ответ:         Вероятность Р(D), что не встретятся никто из трех равна 0.037.

     Задача 17.5.:

Условия задачи 17.5. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.5. является таким.

       Какова вероятность, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся?

     Решение:

     Назовем событием Е событие, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события Е искомая вероятность Р(Е) определяется формулой

     Р(Е)= m/n                                   (17.15)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

     |x–y|≤1/3,|х–z|≤1/3,|у-z|>1/3)

                                    (                                   

    

     (17.16)

где запятая  заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.15) означает число попаданий точки в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

     Р(Е)= 0.182                               (17.17)

     Ответ:         Вероятность Р(Е), что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся равна 0.182.

Проверка  результатов

     Р(А)+Р(С)+Р(Е)=Р(В)                       (17.18)

     0.259+0.520+0.182 0.964                       (17.19)

               Р(В)+Р(D)=1                                   (17.20)

     0.964+0.037 1                                  (17.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

      Теория вероятностей возникла в середине 17 в. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).

      Следующий (второй) период истории теории вероятностей (18 в. - начало 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812) и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время был разработан способ наименьших квадратов.

Третий период истории теории вероятностей (2-я половина 19 в.) связан с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в 18 в. ряд трудов по был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии). Со 2-й половины 19 в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставили и решили ряд общих задач в теории вероятностей, обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова.