Теория вероятности и математическая статистика

очка  равна 1/36.

      Несколько событий A1,A2,.,Ak называются независимыми в совокупности,

если Р(∩Ai)=Р(A1)·Р (A2)·.·Р(Ak). Важно заметить, что из попарной

независимости всех событий Аi и Aj, i=1,.,k, j=1,.,k, i j, вообще говоря, не следует независимость событий A1,A2,.,Ak в совокупности. В этом можно убедиться на конкретном примере.

       Подчеркнем еще раз, что физической основой для теории вероятностей является следующее статистическое свойство устойчивости частот. Буквой А

обозначим случайное событие, связанное с  некоторым повторяющимся опытом. Пусть опыт повторяется n* раз при одинаковых условиях.

       Пусть *– число появлений событий А. Относительная частота

появления событий А определяется формулой

      (2.3)

       Если неограниченно увеличивать число повторений опыта

, то относительная  частота  будет устойчиво приближаться к некоторой фиксированной величине Р (А) и отклоняться от нее тем меньше и реже, чем больше n*. Эта величина и является вероятностью P события А. Если в

теории  вероятность Р(А) определена правильно, то оказывается, что теоретическое число Р(А) совпадает с описанным выше практическим пределом. Это обстоятельство и позволяет численно оценивать вероятность случайного события в теории.                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Формула Бейеса.   

      Пусть мы знаем вероятности событий А и В: Р(А) и Р(В). И

пусть мы знаем условную вероятность события А по В: Р(A|B). Как

найти условную вероятность P(B|A). На этот вопрос отвечает формула

Бейеса.

     Р(B|A)=P(A|B)·P(B)/P(A)                           (3.1)                

       Разумеется этой формулой можно пользоваться только при условии, что Р(А) 0.

      Формула Бейеса выводится из следующих равенств

     Р(В А)=Р(В|A)·P(A)                             (3.2)

     Р(A B)=Р(A|B)·P(B)                              (3.3)

       Причем Р(В А)=Р(A B)                                 (3.4)

так как  пересечение событий В и А очевидно не зависит от

порядка, в котором записаны А и В, т.е. В А=A B. В случае Р(А)=0 принимаю обычно, что Р (В|A) есть величина неопределенная.

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Формула полной вероятности.                         

      Пусть имеем полную группу из n попарно непересекающихся событий . То есть

     ,                               (4.1)

     , ,                          (4.2)

       Пусть мы знаем условные вероятности некоторого события А по Еi:

Р(А|Ei) и вероятности Р(Ei), i=1,.,n.

Справедлива следующая формула полной вероятности для события А

     Р(А)=Р(A|E1)·P(E1)+.+P(A|En)·P(En)                      (4.3)

Доказательство  этой формулы вытекает из следующих  равенств

     P(A)=P( )=P(A ( Ei))=P(A E1)+.+P(A En)=

     =Р(A|E1)·P(E1)+.+P(A|En)·P(En)                             (4.4)

Из элементарной формулы Бейеса (3.1) и формулы полной вероятности (4.3)

вытекает  следующая более полная формула  Бейеса

     Р(Еi|A)=P(A|Ei)·P(Ei)/(Р(A|E1)·P(E1)+.+P(A|En)·P(En))   (4.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Пример задачи для формулы  полной вероятности.                

     Задача 5.1.

     Пусть имеем три урны с шарами. В первой урне 7 белых и 3 черных

шара. Во второй урне 7 белых и 7 черных шаров. В третьей урне

3 белых и 7 черных шаров. Наугад выбрали одну урну. Из этой урны

наугад  вынули шар.

Какова  вероятность, что вынули белый шар?

     Решение:

Пусть событие А – вынули белый шар, событие Ei – вынули шар из 

i-той урны, i=1,2,3. Вероятности P(Ei)

полагаем  равными, т.е. Р(Ei)=1/3. Вероятность Р

(A|E1)=7/10, вероятность Р(А|E2)=7/14=1/2, вероятность Р

(А|E3)=3/10. Таким образом по формуле полной вероятности (4.3) имеем

     Р(А)=Р(A|E1)·Р(E1)+Р(A|E2)·Р(E2)+Р(A|E3)·Р(E3)=

     =(1/3)·(7/10+5/10+3/10)=(1/3)·15/10=1/2                   (5.1)

     Ответ:         Вероятность вынуть белый шар равна ½.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Пример задачи для формулы  Бейеса.                      

     Задача 6.1.

        Пусть имеем те же урны с теми же наборами шаров, как и в задаче (5.1). Снова из выбранной наугад урны выбрали наугад шар. Оказалось, что вынули черный шар. Какова вероятность, что его вынули из третьей урны?

     Решение:

Пусть В – событие, состоящее в том, что вынули черный шар. События

Ei те же, что и в решении задачи (5.1). Интересующая нас вероятность есть

условная  вероятность Р(E3|B). По формуле Бейеса (4.5)

имеем

     Р(Е3|B)=P(B|E3)·P(E3)/(P(B|E1)·P(E1)+P(B|E2)·P(E2)+P(B|E3)·P(E3))  (6.1)

У нас: Р(Ei)=1/3, i=1,2,3, P(B|E1)=3/10,

P(B|E2)=1/2, P(B|E3)=7/10.

Таким образом, получаем

     Р(Е3|B)=(7/10)·(1/3)/((1/3)·(7/10+5/10+3/10))=(7/10)/(15/10)=7/15      (6.2)

     Ответ:         Вероятность того, что вынули шар из третьей урны, при

условии, что шар оказался черным равна 7/15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Геометрические вероятности.                         

      Как сказано выше, вычисление вероятности на основе несовместимых равновозможных событий по формуле (2.1) называют обычно классическим определением вероятности. Однако применяют и другие способы вычисления вероятностей. Рассмотрим здесь геометрический способ вычисления вероятностей. При этом способе случайные события трактуются как такие события, которые осуществляются, когда случайная точка попадает в ту или иную область на некоторой прямой или на плоскости или в пространстве. Поясним это подробнее на примере плоскости.

Достоверное событие 

представляется  некоторой областью на плоскости. При этом полагается, что случайная точка обязательно попадает в эту область, т.е. обязательно _{. .}

Невозможное событие  представляется пустым множеством точек, т.е. таким множеством точек, которое не содержит ни одной точки. Т.е. случайная точка никак не может оказаться точкой из этого пустого множества. Каждое случайное событие А из рассматриваемой алгебры событий L представляется некоторой областью , т.е. областью , которая содержится в области . Случайное событие А осуществляется тогда и только тогда, когда случайная точка ,

т.е. тогда  и только тогда, когда точка  попадает в область . При такой трактовке объединение событий представляется областью

, которая  складывается из точек, каждая  из которых лежит хотя бы  в одной из

областей  и . Пересечение событий представляется

областью  , которая является общей частью областей и .

Противоположное событие А* представляется областью , которая является дополнением к области до области .

См. например фиг.7.1.-7.4.

    

 

                                    Фиг.7.1.                                   

                                    Фиг.7.2.                                   

    

 

    

 

                                    Фиг.7.3.                                   

                                    Фиг.7.4.                                   

    

 

        Предполагая, что для каждой области при любом событии А из алгебры событий L можно определить площадь S этой области полагают вероятность события А равной

       Р(А)=S /S                                     (7.1)

        Смысл этого определения состоит в том, что для шансов попадания случайной точки в ту или иную точку из области

не отдается никакого предпочтения. Например, пусть область есть квадрат со стороной единица. Событие А состоит в том, что случайная

точка попадает в четверть круга с радиусом, равным единице, и вписанного в квадрат . См. фиг.7.5.

    

 

                                    Фиг.7.5.                                   

Тогда по формуле (7.1) получаем

         Р(А)=π/4                                       (7.2)

Аналогичные построения делаются, когда за основу берутся области на прямой или области в пространстве. При этом только в случае прямой площади заменяются суммарными длинами соответствующих отрезков, составляющих . А в случае пространства вероятности оцениваются через суммарные объемы соответствующих областей, составляющих .

                

 

 

 

 

 

 

8.Пример задачи на геометрическую  вероятность.                

     Задача 8.1.

     Мария и Иван хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1

часа  пополудни. Они люди безалаберные и  каждый из них появится на месте  встречи в свой случайный момент времени

или соответственно из отрезка .

Они условились, что каждый пришедший ждет своего товарища в течение 15

минут или  до момента времени t=1, если от момента прихода до момента

времени t=1 остается меньше 15 минут.

Какова  вероятность, что Мария и Иван встретятся?

     Решение:

Сделаем следующее построение. Введем прямоугольную  систему координат X0Y.

Полагаем х= , y= . Тогда точка с координатами х и у соответствует приходу Марии в момент х= и приходу Ивана в момент y= . Достоверному событию соответствует на плоскости ХОУ квадрат : Событию А, которое осуществляется тогда и только тогда, когда Мария и Иван встретятся соответствует область , которая состоит из точек, лежащих в квадрате и к тому же удовлетворяющих условию

, т.е.  : См. фиг.8.1.

    

 

                                    Фиг.8.1.                                   

По формуле (7.1) получаем

     Р(А)=S /S =1–2∙(1/2)∙(3/4) =1–9/16=7/16      (8.1)

     Ответ:         Вероятность встречи Марии и Ивана равна 7/16.

                             

 

9. Случайные величины.                             

     Очень важным в теории вероятностей является понятие случайной величины x. Это величина, для которой тот факт, что она принимает то или иное значение, является случайным событием. Например, когда компьютеру на одной из версий языка Pascal, дается команда x=random(1000)/1000, то

компьютер выдает случайным образом значение случайной величины х,

0≤x≤1. При этом вероятность Р(A) события A={α≤x≤β, 0≤α≤β≤1}

определяется  равенством

     Р(А)=Р(α≤x≤β)=β–α                         (9.1)

Иначе говоря, здесь как раз вероятность  того, что случайная величина х

принимает то или иное значение в пределах отрезка {α≤x≤β,0≤α≤β≤1},