Теория вероятности и математическая статистика

определяется  геометрически через длину этого  отрезка.

Рассмотрим  случайную величину х, которая может принять конечное число

n различных значений с вероятностями Р Р .

Например, если мы бросаем один раз игральную  кость, то случайной величиной х будет выпавшее количество очков,

т.е.k=6, , Р Р Р .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Математическое ожидание.                          

     Математическим ожиданием E(x) для случайной величины x,

которая может принимать значения x и только такие значения с вероятностями Р(x )=Р ,называют число, которое определяется равенством

     i=k       i=k

     E(x)=∑xi·Рi, ∑ Рi=1,

Рi≥0, i=1,.,k                        (10.1)

     i=1      i=1     

Например, в случае с игральной костью математическое ожидание количества очков x, которое выпадет, будет согласно (10.1)

Числом E(x)=(1/6)∙(1+2+3+4+5+6)=(1/6)∙21=7/2=            (10.2)

       Смысл понятия математического ожидания раскрывается в законе больших чисел. Этот закон проявляется следующим образом. Если сделать подряд очень большое число n независимых испытаний при одинаковых условиях, и таких, что каждый раз осуществляется одно из значений рассматриваемой случайной величины х, то с вероятностью очень близкой к единице, то есть практически наверняка и с большой степенью точности будет выполняться приближенное равенство

     (x(1)+x(2)+.+x(n))/n ≈ E(x)                         (10.3)

Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных

аксиомах  теории вероятностей и многократно  подтвержден на практике.

Пусть некоторая  случайная величина х* является суммой случайных величин

                                        (10.4)

тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий Е(х )

                                   (10.5)

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Дисперсия случайной величины.                       

     Дисперсией D(x) случайной величины х называют

число, которое  определяется по формуле

     D(x)=E(x–E(x))                                (11.1)

Поэтому дисперсия D(x) случайной величины х, которая может принимать значения с вероятностями Р ,.Р

определяется, как число                           i=k                   i=k             j=k

     D(x)=∑(x –E(x)) ∙P =∑(x – ) ∙P                  (11.2)

     i=1                       i=1      j=1  

        Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем

следующее число

     D(x)=

=(1/6)∙((1-7/2)

+(2-7/2) +(3-7/2)

+(4-7/2) +(5-7/2)

+(6-7/2)

)=(1/6)∙(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)∙(35/2)=35/12  (11.3)

       Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных

величин .

       Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины

не зависит  от того, какое значение принимают  другие случайные величины . Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является

суммой  дисперсии случайных величин 

                                   (11.4)

        Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.

                            

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Закон больших чисел.                            

       В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву. Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения случайной величины х, для которых выполняется условие

                                       (12.1)

Из выражения  для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее неравенство

     Р Р Р             (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых

выполнено неравенство.

        Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний.

Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины . Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы

                                           (12.3)

этих  случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство

     Р

     ·Р                               (12.4)

       Так как случайные величины

независимы, то дисперсия их суммы равна сумме  их дисперсий. Кроме того, все дисперсии равны друг другу и все математические ожидания тоже равны друг другу . Поэтому из (12.4) получаем неравенство

     Р                            (12.5)

Введем  число ε=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

     Р                          (12.6)

Отсюда  для противоположного события

                                           (12.7)

из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева

         Р                           (12.8)

      Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:

Для любого сколь угодно малого положительного числа ε и числа

β<1 найдется такое число N, что при числе испытаний n>N, будет справедливо неравенство

       Р                          (12.9)

       В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа  N

наименьшее  из натуральных чисел, удовлетворяющих  неравенству 

, то есть

                                             (12.10)

        Это означает следующее. Какие бы числа

и мы ни выбрали,

если  сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N

, то среднее  значение случайной величины  будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на ε с вероятностью большей,

чем β.

       Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее значение случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с вероятностью, приближающейся к единице.

                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Испытания по схеме Бернулли.                        

       Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть производится n испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное событие Ai с вероятностью Рi,i=1,.,n. Все события Аi

независимы  в совокупности. То есть вероятность  события Аi не зависит от

того, осуществляются или нет события Аj,j=1,.,n, j i. Рассмотрим здесь такой частный случай, когда все вероятности Р i равны друг другу и равны p,0‹p‹1. То есть

          Р(Аi)=p, P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1,.,n    (13.1)

       Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка

в i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной

единице. Событие Аi состоит в том, что точка

оказывается в четверти круга, вписанного в квадрат  и имеющего радиус равный единице (см.раздел7). Согласно (7.2) имеем

     Р(Ai)=p=                                    (13.2)

Справедливо следующее утверждение.

     Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по

схеме Бернулли. Пусть события Аi осуществились в m испытаниях.

Для любых  чисел  и найдется такое натуральное число N, что при числе испытаний n>N будет справедливо неравенство

     P(|m/n–p|< )>                                         (13.3)

В самом  деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину .

       Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется событие Аi, и принимает значение равное нулю, если событие Аi не осуществляется, т.е. осуществляется противоположное событие Аi*. Вычислим математическое ожидание Еi и дисперсию Di случайной величины . Имеем

     p q=p                                      (13.4)

     p

p p

q q

∙p+p

∙q=p∙q∙(q+p)=p

∙q∙1=p∙q  (13.5)

Так как  в нашем случае

                                                  (13.6)

то из закона больших чисел (12.9),(12.10) получаем неравенство

(13.3), если  только

                                       (13.7)

      Это и доказывает теорему Бернулли.

Например, если мы хотим проверить теорему  Бернулли на примере вычисления числа π с точностью до

с вероятностью большей, чем  , то нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом 7, т.е. получить согласно текущему разделу неравенство

     P(|m/n–π/4|<0.01)>0.99                                      (13.8)

Для этого  согласно (13.7) достаточно выбрать число

                                   (13.9)

с большим  запасом.

         Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной в

следующем разделе. Получилось

     4∙m/n=3.1424                                   (13.10)

         Мы знаем, что число π=3.1415925626.. То есть действительно

получилось  число с точностью по крайней  мере до 0.01.

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Метод Монте-Карло.                             

        Испытания по схеме Бернулли составляют основу вычислительного метода, который предложил Фон-Нейман для расчета сложных процессов.

        Например, для расчетов при создании атомной бомбы. Этот метод он назвал методом Монте-Карло в честь города, в котором идет игра в рулетку.

        Суть этого метода состоит в том, что подбираются такие испытания по схеме Бернулли, в которых вероятности событий Аi и определяют интересующую вычислителя величину. Простейший пример вычисления по методу Монте-Карло и приведен в разделах 13,14 для числа π. Особенно удобно вычислять методом Монте-Карло площади и объемысложных фигур и тел.

                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Стрельба по вепрю.                             

     Задача 16.1.:

     Три охотника стреляют по вепрю. Известно, что первый охотник попадает в цель с вероятностью 0.7. Второй – с вероятностью 0.5. Третий – с вероятностью 0.3. Результат стрельбы каждого из них не зависит от результатов стрельбы других. Все три охотника дали один залп.

     Какова вероятность, что в вепря попали 2 пули?

     Решение:

     Назовем попадание первого охотника событием А1, попадание второго –

А2, попадание третьего – А3. Для того, чтобы попали две пули необходимо и достаточно, чтобы осуществилось одно и только одно из следующих трех несовместных событий:

     В1-первый попал, второй попал, третий промазал, В1=А1 А2 А3*

     В2-первый попал, второй промазал, третий попал, В2=А1 А2* А3

     В3-первый промазал, второй попал, третий попал, В3=А1* А2 А3