Различные определения интеграла римана и практическое приложение интеграла в школьном курсе математики

Приведем некоторые частные случаи формулы (9).

1.Если кривая  Г лежит в плоскости XOY, т.е. z(t)≡0, то

2.Если кривая  Г лежит в плоскости XOY и является графиком непрерывно дифференцируемой  функции у=у(х),  , то   .

3.Если плоская  кривая Г задана в полярной  системе координат как график  непрерывно дифференцируемой функции r=r(φ),  , то

.

 Если кривая Г замкнута, т.е. х(Т₀)=х(Т₁),  у(Т₀)=у(Т₁),  z(Т₀)=z(Т₁), то Г есть биективный образ не отрезка [T₀,T₁], а промежутка (T₀,T₁). Все рассуждения и формулы для вычисления  длины данной этой замкнутой кривой остаются без изменения.

Пусть задана дуга кривой Г: х(t), y(t), z(t), , и функции х(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [T₀,T₁]. Рассмотрим функцию   ─ длину части кривой Г от начальной точки М₀=(х(Т₀), у(Т₀), z(Т₀)) до точки М=(x(t), y(t), z(t)). Дифференциал функции s(t) называется дифференциалом дуги  кривой Г и обозначается ds.

Если задана дуга кривой Г: х(t), y(t), z(t), , и функции х(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [T₀,T₁], то  ,  .

    Если  кривая Г лежит в плоскости XOY, т.е. z(t)≡0, то  .

Если кривая Г лежит в плоскости XOY и является графиком непрерывно дифференцируемой  функции у=у(х),  , то   , .

Если плоская  кривая Г задана в полярной системе  координат как график непрерывно дифференцируемой функции r=r(φ), , то .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Известно, какую  важную роль играет применение определенного  интеграла. С его помощью вычисляются  объемы тел, площади плоской области, площади поверхности вращения, длины  дуг,  работа переменной силы, масса стержня, центр масс и многое другое. Тем самым определяется очень важное место в математике, которое занимает понятие определенного интеграла. Этим и определяется актуальность выбранной темы. Новизна данной работы заключается в выявлении различных подходов к определению определенного интеграла и рассмотрении применения определенного интеграла в школьном курсе математики.

В процессе выполнения курсовой работы проанализированы учебники «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» следующих авторов: Колмогоров А.Н., Мордкович А.Г., Башмаков М.И., Никольский С.М., Алимов Ш.А. и выявлены два подхода к определению определенного интеграла.

По учебникам  авторов Колмогорова А.Н., Мордковича А.Г., Башмакова М.И., Никольского  С.М. определенный интеграл рассматривается как предел интегральных сумм, после чего рассматривается применение интеграла на определенных задачах по вычислению площади под кривой, работы силы. Интеграл как приращение первообразной рассматривается только в учебнике Ш.А. Алимова. В качестве примеров применения интегралов приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождение работы силы.

При выполнении работы определены возможности реализации различных подходов к определению  определенного интеграла в общеобразовательных  и профильных классах.

Во второй главе  показано применение определенного  интеграла при нахождении объемов тел, площади  поверхности вращения, площади плоской области, разложении логарифмической функции в ряд Тейлора. Примеры решены с подробными комментариями, что дает возможность использования данной курсовой работы учителями математики для проведения факультативных занятий в классах с углубленным изучением математики и студентами при прохождении педагогической практики, так как в ней рассмотрены особенности изучения определенного интеграла по разным источникам, а также обоснованы решения задач по данной теме.

В ходе выполнения работы достигнута цель и решены поставленные задачи, т.к. проанализирована учебная  и научная  литература и систематизирован материал. Раскрыты возможности применения определения определенного интеграла  при решении задач в школьном курсе математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1. Баврин И.И., Матросов В.Л.. Общий курс высшей математики. М. Просвещение, 1995 г.
2. Баранов И.А., Богатырев Г.И.. Математика для подготовительных курсов техникумов, М. Наука, 1982 г.
3. Башмаков М.И.. Алгебра и начала анализа 10-11. М. Просвещение, 1992 г.
4. Бохан К.А.. Курс математического анализа, М. Просвещение, 1966 г.
5. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г.. Математический анализ: интегральное исчисление. Ч.2, М. Наука, 1979 г.
6. Гусак А.А.. Высшая математика. Т.1, Минск, ТетраСистем-С, 2001 г.
7. Егорова И.А., Бохан К.А.. Курс математического анализа. М. Просвещение, 1972 г.
8. Ильин В.А., Позняк Э.Г.. Основы математического анализа. М. Наука, 2000 г.
9. Крамор В.С.. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. М. Просвещение, 1990 г.
10. Кудрявцев А.Д.. Математический анализ. Т.1, М. Просвещение, 1970 г.
11. Курант Р.К.. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. Просвещение, 1967 г.
12. Натансон И.П.. Краткий курс высшей математики. С-П, 2001 г.
13. Никольский С.М.. Элементы математического анализа. М. Наука, 1989 г.
14. Понамарев К.К.. Специальный курс высшей математики. М. Высшая школа, 1974 г.
15. Тарасов Н.П.. курс высшей математики. М. Наука, 1973 г.
16. Фихтенгольц Г.Н.. Основы математического анализа. Ч.2, С-П, 2001 г.
17. Цыпкин А.Г.. Справочник по математике. М. Наука, 1984 г.
18. Шипачев В.С.. Сборник задач по высшей математике. М. Высшая школа, 1993 г.