Различные определения интеграла римана и практическое приложение интеграла в школьном курсе математики

2. Интеграл как  приращение первообразной.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона - Лейбница практически служит определением интеграла.

При этом подходе  не требуется специально выводить формулу  Ньютона - Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге все - таки приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.

 В учебнике  Ш. А. Алимова «Алгебра и  начала анализа» перед введением  понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x). Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.

Задачи приложений, приведенные в выше рассмотренных  учебниках, это наиболее распространенные примеры применения интеграла, однако, они не описывают и половины всех возможных приложений интеграла.

Глава 2. Применение определенного интеграла  в ШКМ.

 

2.1  Применение интеграла в разложении логарифмической функции в ряд    Тейлора

Чтобы разложить логарифмическую функцию в ряд Тейлора по степеням х, нужно, чтобы сама функция и все ее производные имели смысл при х=0; если же взять f(x)=ln x, то как раз f(0) и fⁿ(0) при всяком n лишены смысла. Рассмотрим логарифмическую функцию

f(x)=ln(1+x).                                                          (1)

Эта функция  и все ее производные определены при х=0.

Функция (1) определена для 1+х>0, то есть для х>-1. Разложим функцию (1) в ряд, используя возможность почленного интегрирования степенных рядов.¹

Возьмем производную функции (1): ; она может быть разложена в ряд Тейлора, так как дробь может рассматриваться как сумма геометрической прогрессии при (знаменатель прогрессии равен ─ t):

                                         (2)

Радиус сходимости этого ряда равен единице.

Проинтегрируем  этот степенной ряд почленно в  промежутке [0, х], где :

.

Полученный  ряд имеет такой же радиус сходимости, что и ряд (1). Итак,

                                                  (3)

Проверим, не сохраняется  ли равенство (3) и при х=±1. Очевидно, что при х=-1 теряется смысл функции ln(1+x), поэтому равенство (3) при х=-1 лишено смысла.¹

При х=1 сохраняется  смысл и функция ln(1+x), она обращается в число ln 2, и ряд                                                                              (4)

также имеет  смысл, так как он сходится. Остается проверить, имеет ли место равенство                                                         (5)                    Для проверки равенства (5) поступим следующим образом: производя деление единицы на 1+t  как многочлена на многочлен и остановившись на (n+1)-м шагу, получим: .

Интегрируем это  равенство в промежутке [0, 1]:

         (6)

Сумма первых n слагаемых в (6) является n-ой частичной суммой S_n ряда (4). Перепишем (6) в виде                                                                         (7)

и оценим интеграл в правой части, пользуясь тем, что  , так как 0≤t≤1:      .

Отсюда следует, что при n→∞ интеграл в правой части (7) стремится к нулю, а, следовательно, S_n→ln2, что и означает, что сумма ряда (4) равна ln2, то есть верно (5).

Итак, для -1<х≤1 справедливо разложение                                                                                   (8)

Логарифмическая функция (1) имеет смысл и при  х>1, но ряд, стоящий в правой части (8) при х>1, суммы не имеет; он расходится, так как его общий член не стремится к нулю.

2.2 Использование интеграла при вычислении площади плоской области.

Пусть XOY ─ декартова система координат на плоскости. Стандартной относительно оси ОХ областью D называется множество точек М (х, у), для которых a ≤ x ≤ b, y₁(x) ≤ y ≤ y₂(x), где y₁(x) и y₂(x)   ─   непрерывные функции на [a, b]. Геометрически это означает, что слева и справа область ограничена отрезками прямых х=а, х=b соответственно (может быть вырождающимися в точку); график функции у=y₁(x) является верхней, а график функции y= y₂(x) ─ нижней границей области D.

Аналогично стандартная относительно оси ОY область D есть множество точек М (х, у), для которых c ≤ y ≤ d, x₁(y) ≤ x ≤ x₂(y), где x₁(y) и x₂(y) ─ непрерывные функции на [c, d]. В этом случае область D сверху и снизу ограничена отрезками прямых у=с и у=d, слева и справа  ─ графиками функций х= x₁(y) и х= x₂(y) соответственно.²

Рассмотрим  частный случай стандартной относительно оси ОХ области D, когда у₁(х)≡0, а у=f(x) ─ верхняя граница. Такую область назовем криволинейной трапецией.

Пусть Д: a= x₀<x₁<x₂<…<x_i<x_i+1<…<x_n=b ─ разбиение отрезка [a, b].

Обозначим

  ,                                      ,

 

 ,                          .

     Тогда s_T и S_T  представляют собой площади фигур, составленных из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки [x_i-1, x_i], а высотами ─ соответственно наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на этом отрезке. Первая из этих фигур содержит внутри себя рассматриваемую криволинейную трапецию, вторая содержится внутри нее. Естественно требовать, чтобы площадь S_D криволинейной трапеции   D удовлетворяла соотношению    s_T ≤  S_D ≤  S_T  при любом разбиении Т.  Так как функция y=f(x)  непрерывна на  [a, b], то  

Определение 9. Площадью S_D криволинейной трапеции называется величина  
        .

Из определения следует, что  .

Площадь S_D стандартной относительно оси ОХ области (D= {(x, y) : a≤x≤b, y₁(x) ≤ y ≤ y₂(x)}) вычисляется по формуле   .

Площадь S_D стандартной относительно оси ОY области (D= {(x, y) : c≤y≤d, x₁(y) ≤ x ≤ x₂(y)}) вычисляется по формуле   .

Если область D можно разбить на конечное число областей U, 1≤ i ≤k,

без общих внутренних точек , то S_D площадь D равна сумме площадей   .

Пример 1. Найти площадь области, ограниченной линиями  у=х-1, у²=х+1.

Решение. Данная область является стандартной как  относительно оси ОХ, а именно , где 

так и относительно оси ОY:

. Площадь S_D данной области можно вычислить одним из двух способов:

1)

             

2)

2.3 Использование интеграла при вычислении объёма тела по площадям   поперечных сечений

Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для       известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела.  
Рассечём это тело плоскостями x = x₀ = a, x = x₁, x = x ₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x _n-1, x = x_n = b на n слоёв (a = x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на каждом из отрезков [x_i-1, x_i] возьмём произвольную точкуξ_i; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = x_i-1 и x = x_i приближённо равен объёму ∆V_i  цилиндрика с площадью основания S(ξ_i) и высотой : . Сумма объёмов ∆V_i  - объём ступенчатой фигуры – при стремится к искомому объёму V, поэтому .

 Если объём V получается в результате вращения кривой y = f(x), , вокруг оси Ox, то, очевидно, S(x)=πf²(x), поэтому .

Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой r=r(φ)  и двумя полярными радиусами φ=α и φ=β, вокруг полярной оси находится по формуле .

Пример 2: Найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг оси Ox.  
Решение. Эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении t от 0 до π, при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра t₀ , равное π, крайней правой точке соответствует значение t_k = 0. Формула для кривой, заданной параметрически, примет вид , поэтому . 

2.4 Использование интеграла при вычислении площади поверхности            вращения.

 

Поверхности вращения составляют один из простейших классов  поверхностей. Для таких поверхностей общее, весьма сложное, определение площади поверхности можно заменить более простым.

Пусть даны кривая Г: х=х(t), y=y(t), z=z(t), T₀≤t≤T₁, ,  , , и прямая l, являющаяся осью вращения.¹ Обозначим через S поверхность, полученную вращением Г вокруг оси l. Пусть τ: Т₀=t₀<t₁<t₂<…<t_k<t_k+1<…<…<t_n=T₁ ─ разбиение отрезка [T₀,T₁]; Г_τ ─ ломанная, вписанная в Г, соответствующая разбиению τ, S_τ ─ поверхность, полученная вращением Г_τ вокруг l.

Обозначим через  ρ = ρ(М)   расстояние от точки М до оси l.    Отрезок   γ_k = [M_k-1,M_k] ломанной Г_τ при вращении вокруг оси l образует поверхность S_k. В зависимости от угла, образованного отрезком γ_k с осью l, S_k является либо частью конической поверхности, либо частью цилиндрической поверхности, либо кольцом.

Если  ─ длина γ_k, а ─ площадь S_k, то

,

где ─ некоторая точка, лежащая на γ_k. Можно показать, что  

Тогда для площади  поверхности  S_τ  имеем

Определение 10. Площадью поверхности  S называется число  .

В наших предположениях о гладкости функции х(t), y(t), z(t) имеем формулу , где ρ(t) есть расстояние от точки М(х(t), y(t),  z(t)), лежащей на Г, до оси вращения l, а ds ─ дифференциал дуги Г.

Пример 3. Вычислить поверхность шара радиуса r. ³

Решение. Можно  считать, что шар получен вращением  вокруг оси Ох окружности .

Отсюда  ,

.

 Следовательно,  по формуле  , .

 

2.5  Использование интеграла при вычислении длины дуги кривой.

 

Определение 11. Дугой кривой Г назовем образ отрезка [T₀,T₁] при непрерывном биективном отображении  х=х(t), y=y(t), z=z(t),   и обозначим Г: {х=х(t), y=y(t), z=z(t), }.

Пусть τ : Т₀=t₀<t₁<t₂<…<t_k<t_k+1<…<…<t_n=T₁ ─ разбиение отрезка [T₀,T₁]. Каждой точке разбиения τ соответствует точка М_k=(х(t_k), y(t_k),  z(t_k)), 0≤k≤n, на кривой Г. Через Г_τ обозначим ломаную с вершинами М₀, М₁, …, М_n, а ее длину обозначим через .

Определение 12. Длиной дуги Г называется число

Заметим, что  одна и та же линия может быть образом разных отрезков при разных биективных отображениях, т.е. может быть разными способами параметризована. Так, например, возьмем на декартовой плоскости XOY полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1, лежащую в верхней полуплоскости. Эту линию можно представить как отображение  ,    -1≤х≤1, или как отображение х=cos t, y=sin t, 0≤t≤π, или как отображение  x=1-t,  , 0≤t≤2, и т.д. Вопрос о том, когда разные параметрические задания кривой определяют одну и ту же линию, здесь не рассматривается. ограничиваясь наглядными соображениями, отметим только, что длина дуги кривой есть ее внутренняя геометрическая характеристика не зависящая от способа ее параметризации.⁴

Пусть задана дуга кривой Г: {х(t), y(t), z(t), } и функции х(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [T₀,T₁], тогда длина Г вычисляется по формуле                                                                  (9)

Если хотя бы одна из функций х(t), y(t), z(t) не является непрерывно дифференцируемой на отрезке [T₀,T₁], но все функции х(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [T₀,T_1-ε] при любом ε, 0<ε<T₁-T₀, функция имеет непрерывную первообразную на отрезке [T₀,T₁], тогда как и при рассмотрении  определенного интеграла можно воспользоваться формулой (9) для вычисления длины дуги кривой Г, понимая интеграл в этой формуле как  
.

Пример 4. Рассмотрим полуокружность Г:  х²+у²=1, у≥0. Введем ее параметризацию  следующим образом:  х=х,  .   Тогда Г есть биективный образ отрезка [-1, 1]. Функция    не является дифференцируемой в точках х=1 и х=-1, но на отрезке [-1+ε, 1-ε] эта функция непрерывно дифференцируема для любого ε, 0<ε<1. Так как на [-1+ε, 1-ε], ,         и первообразная функции

 ─ функция arcsin x ─ непрерывная на [-1, 1], то длина данной кривой Г вычисляется следующим образом: 
.

Заметим, что можно рассмотреть такую параметризацию этой полуокружности Г: х(t), y(t), z(t), , что функции х(t) и y(t) будут непрерывно дифференцируемы на [T₀,T₁], например x=cos t, y=sin t,  .