Различные определения интеграла римана и практическое приложение интеграла в школьном курсе математики

Аналогично  нижняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции (рис. 3(б)). Отметим, что число m_k этом случае является минимальным значением функции y=f(х)  на частичном сегменте [х_k-1, х_k].

 

 

 

 

 

Анализируя  геометрический смысл интегральной суммы, можно ожидать, что интеграл от интегрируемой по сегменту [а, b] функции y=f(х) должен равняться числу, которое следует принять за площадь соответствующей криволинейной трапеции. Но к этому же числу будут стремиться верхние и нижние суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю. Поэтому представляется вероятным, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхними и нижними суммами стремилась к нулю.

 Основные свойства верхних и нижних сумм.

Лемма 1. Пусть s (x_k, x_k) - интегральная сумма, отвечающая данному

разбиению {х_k}. Тогда при любом выборе промежуточных точек {x_k} всегда справедливы неравенства  s ≤ s ≤ S, где s и  S — соответственно нижняя и верхняя суммы, отвечающие тому же разбиению.

Доказательство. По определению чисел m_k и M_k  заключаем, что m_k<f(x_k)< M_k  для любого x_k из сегмента [х_k-1, х_k]. Умножая написанные неравенства на Dх_k и суммируя по всем k от 1 до n, получаем требуемое утверждение леммы.

Лемма 2. Пусть {х_k} - произвольное фиксированное разбиение сегмента       [а, b], e — произвольное положительное число. Тогда можно выбрать промежуточные точки x_k так, чтобы интегральная сумма s (x_k, x_k)  и верхняя сумма S удовлетворяли неравенству 0 < S -s (x_k, x_k) < e . Промежуточные точки h_k можно выбрать и таким образом, чтобы для интегральной суммы s (x_k, x_k) и нижней суммы s выполнялись неравенства   0 < s (x_k, x_k) - s < e.

Доказательство. Пусть {х_k} — фиксированное разбиение сегмента [а, b] и e>0. Докажем первое утверждение леммы. Поскольку , то для выбранного нами  e >0 найдется точка x_k сегмента [х_k-1, х_k] такая, что . Умножив эти неравенства на Dх_k и просуммировав по всем  k от 1 до n, получим 

Аналогично в силу того, что  , существует такая точка hÎ [х_k-1, х_k], что .

Последние неравенства после умножения на Dх_k и суммирования приводят к оценкам 

Следствие.    Для любого   фиксированного   разбиения {х_k} справедливы следующие соотношения:  . Точные верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным промежуточным точкам.

Лемма 3. При измельчении данного разбиения верхняя сумма может только уменьшиться, а нижняя сумма — только увеличиться.

Доказательство. Пусть {х_k} - данное разбиение, а разбиение {х¢_k} получается из него добавлением только одной новой точки . Легко видеть, что общий случай сводится к данному. Предположим, что лежит внутри [х_k-1, х_k]. Тогда в выражении для S слагаемое M_kDх_k заменится на , где

Точная верхняя грань  функции на части сегмента не превосходит  точной верхней грани функции  на всём сегменте. Поэтому  , и Так как все другие слагаемые в выражении для верхней суммы сохранятся, то мы доказали, что при добавлении точки верхняя сумма может только уменьшиться. Случай, когда к данному разбиению добавляется несколько новых точек, сводится к рассмотренному. Точно так же устанавливается, что при измельчении данного разбиения нижняя сумма мажет только увеличиться.

Лемма 4. Для двух произвольных и, вообще говоря, различные разбиений  сегмента [а, b] нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхней суммы другого разбиения.

Доказательство. Пусть {х¢_k} и {х²_k} — два произвольных разбиения сегмента [а, b], s¢, S¢, s², S² — верхние и нижние суммы этих разбиений соответственно. Обозначим через {х_k} объединение разбиений {х¢_k} и {х²_k}, а через S и s верхнюю и нижнюю суммы разбиения {х_k}. Заметим, что {х_k} является измельчанием как разбиения {х¢_k}, так и разбиения {х²_k}. Согласно утверждению леммы 3 справедливы неравенства   S¢ ≥ S,  S² ≥ S,  s¢ ≤ s, s² ≤ s.

Кроме того, в  силу леммы 1 получим, что s < S. Пользуясь свойством транзитивности для числовых неравенств и используя три подчеркнутых выше неравенства, заключаем, что s² ≤ S¢. Аналогично устанавливается, что s¢ ≤ S² .      Следствие. Множество верхних сумм, данной функции f(х), отвечающих всевозможным разбиениям сегмента [а, b], ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Действительно, любая верхняя сумма не меньше некоторой фиксированной нижней суммы, следовательно, множество верхних  сумм ограничено снизу. Аналогично проводятся рассуждения для нижних сумм.

В силу основной теоремы 1 существуют точная нижняя грань множества {S} и точная верхняя грань множества {s}.

Определение 7. Верхним интегралом Дарбу от функции f(х) называется число I^*, равное точной нижней грани множества верхних сумм {S}  данной функции f(х) для всевозможных разбиений сегмента [а, b]. Нижним интегралом Дарбу от функции f(х) называется число I_* равное точной верхней, грани множества нижних сумм {s} данной функции f(х) для всевозможных разбиений сегмента [а, b].

Лемма 5. Нижний интеграл Дарбу всегда не превосходит верхнего интеграла Дарбу, т. е. I^*≤ I_*.

Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим, что I^* > I_*. Тогда I^* - I_* = e >0.

Для указанного e, согласно определению числа I^*, найдется такое разбиение {х¢_k} сегмента [а, b], что для соответствующей верхней суммы S¢ будет выполнено неравенство S¢ < I^* +e /2 . Точно так же можно указать такое разбиение {х²_k} сегмента [а, b], что для соответствующей нижней суммы s²  будет выполнено неравенство s² < I_* + e /2 . Вычтем второе неравенство из первого. Получим S¢ - s² < I^* - I_* + e . Но I^* - I_* = - e , поэтому S¢ - s² <0, т. е.  S¢  < s² . Получившееся неравенство противоречит утверждению леммы 4. Таким образом, доказываемое утверждение справедливо, т. е. I^*≤ I_*.

Пусть , а {х_k} — произвольное разбиение

сегмента [а, b], и d - диаметр этого разбиения. Обозначим через {х¢_k} разбиение, полученное из разбиения {х_k} путем добавления к нему l произвольных новых точек. Пусть S и s - верхняя и нижняя суммы разбиения {х_k}, а S¢  и s¢  - верхняя и нижняя суммы разбиения {х¢_k}. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 6. Для разностей S - S¢   и s¢ - s  выполняются следующие неравенства: S - S¢ ≤ (M-m)ld, s¢ - s ≤ (M-m)ld.

Доказательство. Не ограничивая общности, проведем рассуждения лишь для случая, когда к точкам разбиения {х_k} добавляется только одна новая точка , и доказать, что в этом случае справедливы неравенства

 S - S¢ ≤ (M-m)ld, s¢ - s ≤ (M-m)ld..

Пусть добавляемая точка лежит внутри сегмента [х_k-1, х_k]. Тогда верхняя сумма S будет отличаться от верхней суммы S¢  только тем, что одно слагаемое M_k D х_k у суммы S заменится двумя слагаемыми M¢_k( - х_k-1)+M²_k(х_k - ) у суммы  S¢ .

Все остальные  слагаемые у верхних сумм S и S¢ будут общими. Отсюда следует, что 

Из последнего соотношения, учитывая, что в силу свойств точных граней, получим, что 

Доказательство  оценки для нижних сумм аналогично.

Определение 8. Число А называется пределом верхних сумм S при стремлении к нулю диаметра разбиения d, если для любого положительного числа e можно указать положительное число d  такое, что при условии d<d выполняется неравенство |S-A|<e.

Аналогично определяется предел В нижних сумм s при стремлении d к нулю.

Основная лемма Дарбу. Верхний интеграл Дарбу I^* является пределом верхних сумм S при стремлении диаметра d разбиении к нулю, т. е, . Аналогично _.

Доказательство.   Проведем доказательство первого утверждения леммы. Если функция  f(х) = с = соnst, то S=c(b-a)= I^* для любого разбиения. Поэтому . Если функция f(х) непостоянна, то . Фиксируем произвольное положительное число e. По определению числа I^* существует такое разбиение {х^*_k}, что верхняя сумма S^* этого разбиения будет удовлетворять условию S^*- I^*  < e /2. Обозначим через l число точек разбиения {х^*_k}, не совпадающих с концами сегмента [а, b].

Пусть {х_k} — произвольное разбиение сегмента [а, b], диаметр которого удовлетворяет неравенству d <d =e /[2l(M-m)], и пусть S — верхняя сумма этого разбиения. Произведем измельчение разбиения {х_k}, добавив к нему отмеченные выше l точек разбиения {х^*_k}. Полученное при этом разбиение обозначим символом {х¢_k}. По лемме 6 верхняя сумма S¢ этого последнего разбиения удовлетворяет условию  .

Но разбиение {х¢_k} можно рассматривать как измельчение разбиения {х^*_k}, к которому добавляются точки разбиения {х_k}, не совпадающие с концами сегмента [а, b]. Поэтому в силу определения 1 и леммы 3

, т.е.  .

      Выше было показано, что S^* - I^* < e /2, поэтому . Объединяя эти неравенства с установленными выше неравенствами получаем, что , если только d меньше указанного выше d. Следовательно,

Для нижних сумм доказательство аналогично.

1.4 Определение интеграла в школьных учебниках под редакцией Колмогорова А.Н., Мордковича А.Г., Башмакова М.И., Никольского С.М., Алимова Ш.А.  

Из анализа некоторых школьных учебников алгебры и начал анализа под редакцией Колмогорова А.Н., Мордковича А.Г., Башмакова М.И., Никольского С.М., Алимова Ш.А. выявлены следующие подходы к введению понятия определенного интеграла:

1. Интеграл как предел  интегральных сумм.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как  независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения конкретных задач, например, задачи о площади под кривой; задачи о работе силы и др. Затем, обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм.

Хотя данное определение  громоздко, но идея метода наглядна (геометрическая интерпретация - площадь криволинейной трапеции). Вместе с определением интеграла получают и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла используют формулу Ньютона - Лейбница, которую при данном подходе необходимо доказать.

    В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.

Среди применений интеграла в данном учебнике выводится  формула для нахождения работы переменной силы, формула вычисления массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача о нахождении кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Причем задачи делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.

     В учебнике Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа» при введении понятия «Определенный интеграл» рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении приводятся к одной и той же математической модели. При чем говорится о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x):

1) разбивают  отрезок [a; b] на n равных частей;

2) составляют  сумму S_n=f(x₀)Дx₀+f(x₁) Дx₁+…+f(x_k) Дx_k+…+f(x_n-1) Дx_n-1;

3) вычисляют полученную сумму.

Автор учебника поясняет, что в курсе математического  анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b].

В учебнике М. И. Башмакова «Алгебра и начала анализа» тема «Интеграл и его применение»  выделена в отдельную главу. Автор  дает следующее определение интеграла: «Пусть дана положительная функция f, определенная на конечном отрезке [a; b]. Интегралом от функции f на отрезке [a; b] называется площадь её подграфика». Далее показывается, как вычислить эту площадь с помощью интегральных сумм и делается вывод, что интеграл равен пределу интегральных сумм. Иллюстрируется этот метод на задаче о нахождении объема лимона и нахождении работы по перемещению точки.

В учебнике Никольского  С. М. «Алгебра и начала анализа» рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной  трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Однако, автор учебника приводит очень скупую систему упражнений, при чем не использует в практических задачах и половины тех формул, которые были ранее выведены.