Различные определения интеграла римана и практическое приложение интеграла в школьном курсе математики

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ

КГБОУ  СПО  «КАНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 050201 «МАТЕМАТИКА»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА РИМАНА И ПРАКТИЧЕСКОЕ      ПРИЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Овечкина Я.А.

студентка 205 группы.

 

Руководитель: Головкова В.С.

Преподавать кафедры математики

 

 

Допущена к защите:

_______________________________

 

 

Оценка:

_______________________________

 

 

 

 

Канск

2010

 

Содержание

 

Введение                                                                                                                                3             

Глава 1. Различные определения  интеграла Римана.

1.1 Определение определенного интеграла как предел интегральных сумм.       5

1.2 Определение определенного интеграла от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона – Лейбница)                                      7

1.3 Определение определенного интеграла через верхние и нижние суммы Дарбу                                                                                                                                   9  

1.4 Определение интеграла в школьных учебниках под редакцией Колмогорова А.Н., Мордковича А.Г., Башмакова М.И., Никольского С.М., Алимова Ш.А.   15 Глава 2. Применение определенного интеграла в ШКМ

2.1 Применение интеграла в разложении логарифмической функции в ряд Тейлора                                                                                                                           19

2.2 Использование интеграла при вычислении площади плоской области         21

2.3 Использование интеграла при вычислении объёма тела по площадям поперечных сечений                                                                                                         23

2.4 Использование интеграла при вычислении площади поверхности вращения                                                                                                                               25

2.5 Использование интеграла при вычислении длины дуги кривой                    26

Заключение                                                                    30                                                  Литература                                                                                                                             32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Понятие интеграла  является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс алгебры и математического анализа. Интегральное исчисление ─ раздел математики, в котором изучаются первообразные, интегралы функций и их применение. Интегральное исчисление дает аппарат для вычисления объемов тел, площади плоской области, площади поверхности вращения, длины дуги кривой.

Оформление  интегрального исчисления в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами Г.Лейбница, Я.Бернули, О.Коши, И.Ньютона, Г.Дарбу, Б.Римана. Ими сформированы основные положения интегрального исчисления и четко указан взаимообратный характер  операций дифференцирования, интегрирования и нахождения первообразной.

Глубокое и  прочное усвоение школьниками раздела  «Определенный интеграл и его применение» чрезвычайно важно для формирования их математической культуры. Вместе с тем формирование высокой математической культуры выпускников современной школы предполагает принципиально иную организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой формируются умения изучать математику самостоятельно и творчески, а, следовательно, создаются предпосылки к активному применению знаний об интеграле в разных предметных областях.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена необходимостью полноценного изучения интегрального исчисления в основной школе в связи с огромной значимостью и важностью этого материала для учащихся.

Исходя из вышесказанного, для исследования была выбрана тема «Различные определения интеграла Римана и практическое приложение в школьном курсе математики».

Проблемой исследования является поиск различных путей при введении понятия интеграла и изучении приложений.

Объект исследования – интегральное исчисление.

Предмет исследования – различные определения интеграла Римана.

Цель ─ изучить различные определения интеграла Римана, применение его в ШКМ.

Задачи исследования:

1. изучить и проанализировать научную и учебно-методическую литературу по теме исследования;

2. выявить различные определения интеграла Римана;

3. рассмотреть применение определенного интеграла в школьном курсе математики на определенных примерах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Различные определения интеграла  Римана.

 

1. Определение определенного интеграла как предел интегральных сумм

 

Рассмотрим  функцию f(х), определенную в каждой точке сегмента      [а, b]. Введем понятия разбиения сегмента [а, b], измельчения этого разбиения и объединения двух разбиений.

Определение 1. Будем говорить, что задано разбиение сегмента [а, b], если заданы точки х₁, x₂,..., х_п такие, что а= х₁<x₂<...<х_п  = b. Разбиение сегмента [а, b] будем в дальнейшем обозначать символом {х_k}.

Определение 2. Разбиение {х΄_k} сегмента [а, b] называется измельчением разбиения {х_k} того же сегмента, если каждая точка х_p разбиения {х_k} совпадает с одной из точек х_q разбиения {х΄_k}.

Определение 3. Разбиение {х_k} сегмента [а, b] называется объединением разбиений {х΄_k} и {х"_k} того же сегмента, если все точки разбиений {х΄_k} и {х"_k} являются точками разбиения {х_k} и других точек разбиение {х_k} не содержит.

Заметим, что объединение  двух разбиений является измельчением каждого из них.

Рассмотрим  на сегменте [а, b] функцию f(х), принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению {х_k} построим число, так называемую «интегральную сумму», , где x_k— некоторая точка сегмента [х_k-1, х_k]. Подчеркнем, что интегральная сумма зависит как от разбиения {х_k}, так и от выбора точек x_k на сегментах [х_k-1, х_k]. Если обозначить через Dх_k  разность х_k - х_k-1, то интегральную сумму, в дальнейшем часто обозначаемую просто через s, можно записать и так: .

Сегменты [х_k-1, х_k] иногда называют частичными сегментами, а точки   x_k — промежуточными точками.

Число d = mах Dх_k ─ диаметр разбиения {х_k}.

Определение 4. Число I  называется пределом, интегральных сумм при стремлении диаметра d разбиений {х_k} к нулю, если для всякого e >0 существует, такое число d =d (e )>0, что из условия d<e  при любом выборе промежуточных точек x_k следует неравенство | I -s | < e .

Легко убедиться  в том, что может существовать только один предел интегральных сумм s  при d®0.

Для обозначения предела интегральных сумм употребляют символ

.

Определение 5. Функция f(х) называется интегрируемой по Риману на сегменте [а, b], если для этой функции на указанном сегменте существует предел I  ее интегральных сумм s при стремлении диаметра d  разбиений {х_k} к нулю.

Число I  называется определенным интегралом Римана от функции f(х) в пределах от а до b и обозначается символом .Таким образом, по определению . Отметим, что число а называют нижним пределом интегрирования, а число b - верхним пределом интегрирования. Переменную x под знаком определенного интеграла можно заменить на любую другую переменную, т.е. справедливы равенства

  и т.д.

Выясним геометрический смысл интегральной суммы. Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции у=f(х), заданной на сегменте [а, b], двумя прямыми х=а и х=b, перпендикулярными к оси абсцисс, и сегментом [а, b] оси абсцисс (рис. 1). Очевидно, интегральная сумма , отвечающая выбранному разбиению {х_k} и данному обозначенному на

рисунке выбору точек x_k, представляет собой площадь ступенчатой фигуры, заштрихованной на этом рисунке.

Приведем простейший пример интегрируемой по Риману функции. Покажем, что функция f(х)=c=const интегрируема на любом сегменте [а, b], причем  . Действительно, при любом разбиении {х_k} и любом выборе  точек x_k на сегментах [х_k-1, х_k] справедливо равенство f(x_k)=c. Следовательно,

для любого разбиения {х_k} и любого выбора точек . Поэтому

2. Определение определенного интеграла от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона – Лейбница)

 

     Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой задаче уже здесь (пользуясь интуитивным представлением о площади плоской фигуры и откладывая точную постановку этого вопроса).

Пусть дана в  промежутке [а, b] непрерывная функция y=f(х) принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения.

Рассмотрим  фигуру АВСD (рис. 2), ограниченную кривой  y=f(х), двумя ординатами x=а и х=b и отрезком оси Ox; подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Желая определить величину площади  P этой фигуры, мы изучим поведение площади переменной фигуры AMND заключенной между начальной ординатой x=a и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке [а, b] значению x. При изменении x эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому отвечает вполне определенное ее значение, так что площадь криволинейной трапеции AMND,является некоторой функцией от  х; обозначим ее через P(x).

Найдем производную этой функции. С этой целью придадим x некоторое приращение Dx; тогда площадь P(x) получит приращение DP.

Обозначим через m и M, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(х)в промежутке [x, x+Dx] и сравним площадь DP с площадями прямоугольников, построенных на основании Dx и имеющих высоты  m и M. Очевидно,   mDx<DP<MDx,   откуда  .

       Если Dx®0, то, в следствии непрерывности, m и М будут стремиться к f(х), а тогда и  .

Таким образом, мы приходим к замечательной теореме (обычно называемой теоремой Ньютона и Лейбница): производная от переменной площади Р(х) по конечной абсциссе х равна конечной ординате y=f(х). Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой первообразную функцию для данной функции y=f(х). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при x=а. Поэтому, если известна  какая-либо первообразная F(х) для функции f(х) и по теореме P(x)=F(x)+C, то постоянную С легко определить, положив здесь x=а. 0=F(a)+C, так что С= - F(а). Окончательно Р(х) = F(х)-F(а).

В частности, для  получения площади Р всей криволинейной  трапеции АВСD  нужно взять x=b: Р(х) = F(b)-F(а).

Таким образом, формула Ньютона-Лейбница имеет вид:

 

3. Определение определенного интеграла через верхние и нижние суммы Дарбу

 

Утверждение, доказанное выше, дает нам основание рассматривать всюду в дальнейшем только ограниченные на данном сегменте функции (т.к. неограниченные функции заведомо не являются интегрируемыми по Риману).

Пусть f(х) - ограниченная на сегменте [а, b] функция и {х_k} произвольное разбиение этого сегмента. Так как f(х) ограничена на сегменте [а, b], то она ограничена и на любом частичном сегменте [х_k-1, х_k], а поэтому у функции f(х) существуют точная нижняя грань m_k и точная верхняя грань M_k на частичном сегменте [х_k-1, х_k].

Итак, пусть 

Определение 6. Суммы и   будем называть соответственно верхней и нижней суммами функции f(х) для данного разбиения {х_k} сегмента [а, b].

     Выясним геометрический смысл верхней и нижней сумм. Рассмотрим снова криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную отрезком [а, b] оси Ох, графиком неотрицательной непрерывной функции y=f(х)≥0 и прямым и x=a, x=b, перпендикулярными к оси Ох (рис. 3). Пусть дано любое разбиение {х_k} сегмента [а, b]. Число M_k в случае непрерывной функции y=f(х) является ее максимальным значением на частичном сегменте [х_k-1, х_k].  Поэтому верхняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную трапецию. Эта площадь заштрихована на рис. 3(а).