Применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений

mgv t = (B_oSav)² t/R => mg = (B₀Sa)²v/R => v = mgR/(B_oSa)² = 16mgR/(B₀πd²a)².

 Ответ: v = mgR/(B₀Sa)² = 16mgR/(B₀ πd²a)².

Задача 12. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из к=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС Е=2 В и внутреннее сопротивление r₀ = 0,4 Ом. Батарея включает п групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится т последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях т, п будет получена максимальная J во внешнем R(cm. рис. 13).

Рис. 13

Решение:

При последовательном соединении аккумуляторов Е_гр = т*Е; r_гр = r₀*т; а при параллельном соединении одинаковых r_бат = r₀m/n; E_бam = m *Е,

По закону Ома J = mE/(R+ r₀m/n) = mEn/(nR + r₀m) Т.к. к - общее число аккумуляторов, то к = тп;

J = кE/(nR + r₀т) = kE/(nR + кr₀/п);

Для нахождения условия  при котором J тока в цепи максимальная исследуем функцию J = J(n) на экстремум, взяв производную по n и приравняв ее к нулю.

J'_n=(kE(R—kr₀/n²))/ (nR + кr₀/п)² =0;

n² = kr/R;

п= =4;

т=к/п = 36/4 = 9;

при этом J_max = kЕ/(nR + mr₀) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А; Ответ: п = 4, т = 9.

 

Задача 13. На какой высоте следует повесить электрическую лампочку в классе, чтобы в точке М пола, отстоящей на расстоянии l от вертикальной проекции этой лампочки на пол, была наибольшая освещенность.

Решение:

Выберем за независимую переменную высоту лампочки над полом h (рис.14). Тогда и .

Функция, подлежащая исследованию, представится в следующем виде:

, где 0<h<+ .

Находим производную:

l^'_h=0 при l²-2h²=0,то есть при . Так как l’>0 при и l’<0 при , то наибольшая освещенность будет при 0,7 l

 

 

 

 

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время  получило всеобщее признание то, что  успех развития многих областей науки  и техники существенно зависит  от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.

Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и  прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.

Решение экстремальных  задач способствует углублению и  обогащению наших математических знаний. Через задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.

Таким образом, в своей  работе я показала применение производной к решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Для этого мне потребовалось изучить научно-методическую литературу по теме, проработать теоретическую часть материала и прорешать текстовые задачи на данную тему.

 

IV. Список литературы:

1. Егерев, В.К. 100х4 задач для поступающих в ВУЗы: учеб. пособие / В.К. Егерев, А.Г. Мордкович. – М, 1993. – 262 с.
2. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ: В 2-х т. / Л. Д. Кудрявцев. – М: Высшая школа, 1973. – 609 с. – 1 т.
3. Беляева, Э.С. Экстремальные задачи: учебн. пособие/ Э.С. Беляева, В.М. Монахов. – М.: Просвещение, 1997.
4. Возняк, Г.М. Прикладные задачи на экстремумы: учебн. пособие/ Г.М. Возняк, В.А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985.
5. Гнеденко, Б.В. Введение в специальность математика / Б.В. Гнеденко. – М: Наука, 1991.
6. Шилов, Г.Е. Математический анализ./ Г.Е. Шилов. – М.: Лань, 2002. - 877 с. – 2-е изд., стереотипное.
7. Давыдов, Н.А. Сборник задач по математическому анализу / Н.А. Давыдов, П.П. Коровкин, В.Н. Никольский. – М.: Просвещение, 1973. -253 с. – 4-е изд., дополненное.