Применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Значит, , где

4) На этом этапе для функции надо найти .Воспользуемся алгоритмом из п. 1. Имеем:

Критических точек нет. Найдем стационарные точки. Приравняв  производную нулю, получим

Заданному отрезку  принадлежит лишь точка

Осталось вычислить  значения функции  в точке и на концах отрезка, т. е. в точках 0 и 2R:

Значит,     

5) В задаче спрашивается, какое сечение должна иметь балка наибольшей прочности. Мы выяснили, что ширина х прямоугольника, служащего осевым сечением наиболее прочной балки, равна .  Найдем высоту:

Значит, , а потому

Ответ. Сечением балки должен служить прямоугольник, у которого отношение высоты к ширине равно

Замечание. Квалифицированные мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт, но, разумеется, они принимают указанное отношение равным 1,4 (приближенное значение иррационального числа как раз равно 1,4).

 

Задача 4.

Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать V литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

Решение: 1) Оптимизируемая величина — площадь поверхности бака, поскольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим эту величину буквой S.

2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Объявим независимой переменной сторону квадрата, служащего основанием бака; обозначим ее буквой х. Ясно, что . Других ограничений нет, значит, . Таковы реальные границы изменения независимой переменной: .

3) Если h — высота бака, то , откуда находим

На рис. 3 изображен прямоугольный параллелепипед, показаны его измерения. Поверхность бака состоит из квадрата со стороной и четырех прямоугольников со сторонами и . Значит, .

Итак,

4) На этом этапе для функции, надо найти . Для этого нужна производная функции:

На промежутке (0; +∞) критических точек нет, а стационарная точка только одна: S’=0 при .

Заметим, что при  выполняется неравенство , а при выполняется неравенство . Значит, — единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на заданном промежутке, а потому, согласно теореме, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

5) В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна

Ответ: 

Задача 5.

Найти углы равнобедренного  треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине т медианы, проведенной к его боковой стороне.

Решение: Сделаем чертеж: на рис. 4 изображен равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС) AM = m — медиана.

1) Оптимизируемая величина — площадь S треугольника 
ABC.

2) Положим B = x. По смыслу задачи 0 < х< π.

3) Выразим S через m и х. Можно воспользоваться формулой S= AB*BC*sin x, но для этого надо выразить АВ (а значит и ВС) через m и х.

Положим АВ = у, тогда BM= BC= y; применим к треугольнику ABC теорему косинусов:

;

т.е. т² = у² + у² — ;

откуда находим

Имеем, далее,

4) Для функции нужно найти наибольшее значение в интервале (0, π).

1. Имеем

2. Так как 5 - 4 cos х > 0, т.е. знаменатель дроби, выражающей S', нигде не обращается в 0, S' существует всюду. Найдем точки, в которых S' = 0. Из уравнения 5 cos x— 4=0 находим cos x= , т.е. x=arccos (мы сразу учли, что нас интересуют только точки из интервала (0; π).

3. Поскольку внутри интервала (0; π) функция S (х) имеет только одну критическую точку функция у = 5 cos x — 4 в интервале (0; π) убывает, а в точке х =arccos обращается в 0. Значит, левее этой точки функция положительна, а правее — отрицательна, т.е. знаки производной S’ (x) при переходе через точку arccos меняются так, как показано на рис. 5. Это значит, что х = arccos — точка максимума функции S (х) и, следовательно,

S (arccos ) = у_наиб.

5) Вернемся к исходной  геометрической задаче. Наибольшее значение площади находить не требуется, нужно было найти углы треугольника, имеющего наибольшую площадь. Эти угла таковы:

arccos ; ;

 

Задача 6.

Найти наибольшую площадь  прямоугольника, вписанного в параболический сегмент, заключенный между параболой у=х² и прямой .у = 3х:(рис. 6).

Решение. 1) Оптимизируемая величина — площадь S прямоугольника ABCD.

2) Заметим, что прямоугольник полностью определяется секущей, проведенной параллельно прямой у = 3х. В самом деле, если такая секущая l проведена, то из точек С и D ее пересечения с параболой у = х² достаточно опустить перпендикуляры на прямую y = 3x и вписанный прямоугольник ABCD будет построен. Уравнение прямой l таково: у = 3х - а, где а < 0, но чтобы эта прямая была на самом деле секущей, т.е. пересекала параболу в двух точках, нужно, чтобы уравнение 3х-а = х² имело два корня, т.е. чтобы дискриминант квадратного уравнения

х²-3х + а = 0 (1)

был  положителен. Из соответствующего  неравенства 9 - 4а > 0 находим а<2,25.

Вот теперь можно сделать  наш выбор: независимой переменной будем считать параметр а в уравнении секущей у = Зх - а, причем реальные границы изменения этой независимой переменной таковы: 0<а<2,25.

3) Выразим площадь S прямоугольника ABCD через а. Для этого надо найти длины отрезков CD и AD. Обратимся за помощью к рисункам 6 и 7.

Рис. 6   Рис.7

Из треугольника CDP находим , здесь х₁ и x₂ — корни уравнения (1).

Далее, AD (см. рис. 6) = ОН (рис.7) = OFcosa = a cosa. Значит, S = AD * CD = а(x₂ –х₁)

Из уравнения (1) находим

Значит,

4) Для функции нужно найти наибольшее значение в интервале (0; 2,25).

1.

2. Внутри интервала (0;2,25) производная S' определена и обращается в нуль при 9 - 6а = 0, т.е. при а = 1,5
3. а = 1,5 - единственная критическая точка рассматриваемой функции внутри заданного интервала, причем это - точка максимума (при а < 1,5 имеем S’ > 0, а при а > 1,5 – S’ < 0), значит, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

5) Осталось ответить на вопрос задачи:

Ответ: наибольшая площадь вписанного прямоугольника равна кв.ед.

Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60°. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник МВК, если точка М лежит на апофеме пирамиды, а ВК — высота основания пирамиды, не пересекающая апофему?

Решение. ТР = 2R, ATO = 60°. Пусть АВ = ВС= СА = а (рис. 8). Тогда АО =a /3,

AD = BK=a /2,

 ТО = AO*ctg60°=a /3*1/ = а/3, OD=a /6,

А0²= ТО*OР = TO(2R - TO),

a²/3 = a(2R-a/3)/3, а = 3R/2. Р^ис-⁷-

S_AMBK = BK*LM*1/2, BK = const, S_AMBK =f(LM),

Пусть MD = x, тогда MN = x cos NMD;

Из ONL: LN = ON cos30° ( ONL = 30°);

ON = OD-ND, 

ND=x sin NMD==x /

 

 

 

Если LM'(x)=0, то 8х/7+2(а/4 – З х/(2 ))(-3/2 ) = 0, 8х/7 - 5а/4 + 9х/14 = 0,

25х/14 = 3а/4 ,

х = 21a/50 .     

MN = (21a/50 )*(2/ ) = 3а/25, LN = а/4 - (3/2 )*(21a/50 ) = 4а/25,

 

Ответ: 9 R²/80.

 

Задача 8. Найти на АВ такую точку С, чтобы сумма длин отрезков МС и NC была минимальна.

М  N

 

A  x  С l -x  B

 

Рис.9.

Решение: Примем точку А за начало координат на прямой и обозначим координату точки С через х. (рис.9) МС= и NC= , а потому f(x)=MC+NC= + .

Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), вычислим ее производную и приравняем к нулю:

.  (1)

Не решая полученного  уравнения, заметим, что  = sin , = sin . Поэтому равенство (1) означает, что sin = sin , откуда = (острые углы равны, если равны их синусы). Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет наименьшей, если угол падения равен углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча света. Значит, луч свет «выбирает» при отражении путь экстремальной длины.

 

3.4. Физические задачи

В физике производная  применяется  в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 9.Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома (рис.10). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка х м, а площадь y м² , тогда: у = (60-2х)х = 60х - 2х²

Значения х и у не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2х> 0, а 0<х<30.

Площадь у есть функция х, определим промежутки ее возрастания и убывания: у'=60- 4х.

у'>0, и функция возрастает, когда х<15; у<0, и функция убывает, когда х>15.

Если ширинах =	0	5	10	15	20	25	30
то площадь у =	0	250	400	450	400	250	0

Кривая (рис. 11) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15),а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь  участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2х = 60 — 30=30 (м).

Задача 10. Три резистора сопротивлениями R_l, R₂, R3 соединены параллельно. Сопротивление R_l в 9 раз больше сопротивления R₂. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления  резисторов, при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.

Решение: При параллельном соединении резисторов эквивалентное сопротивление по формуле: 1/ R_экв=1/ R₁+1/ R₂+1/ R₃

выразим R₃ через R₂:

R₃ = R— R₁—R₂=R—10R₂; тогда 1/ R_экв = (10R-91R₂)/(9R₂(R-10R₂));

Задача сведена к  определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную  от f(1/ R_экв) пo R₂ u преобразуем ее:

(1/ R_экв)'=-910(R₂-R/7)(R₂—R/13)/(9R²₂ (R-10R₂)²);

В интересующем нас интервале только одна точка R₂ = R/13 в которой эта производная меняет знак с "—" слева на "+"справа. Поэтому в точке R₂ = R/13 достигается минимум функции 1/ R_экв и максимум функции R_экв, при этом

R₁ = 9R/13; R₂ = 1R/13; R₃ = 3R/13;

R_экв.max = 9R/169

 Ответ: 9R/169.

Задача 11. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону В = В₀ (1 + аН), где а = const (рис. 12).

Решение. Пусть п - нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.

Ф = BS = В₀(1 + aH)S, где S = πd²/4 - площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая  в кольце, E=-Ф'(t)=- (В₀(1 + aH)S)' = -B₀SaH'(t).

Производная H'(t) = v_H- это проекция скорости кольца на ось Н. Таким образом, Е_i =-B₀Sa(-v_H).

Так как скорость кольца направлена против оси Н, то v_H = - v, где v - модуль скорости кольца и E_i = B_oSav. По кольцу протекает индукционный ток

J = E_i/R = B_oSav/R.

В результате в кольце за промежуток времени t выделяется количество теплоты Q = J²R t.

На высоте H₁ кольцо обладает механической энергией

W₁ = mgH₁ + mv² /2,

на высоте Н₂ : W₂ = mgH₂ = mgH₂ + mv² /2

(v = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии

W₁ = W₂ + Q => mgH₁ = mgH₂ + J²R t => mg(H₁ - H₂) = (B_oSav/R)²R t =>

mg(H₁ - H₂) = (B₀Sav)² t/R (2)

Разность (H₁ - H₂) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H₁ - Н₂ = v t, и уравнение (2) примет вид: