Применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Содержание

I. Введение

II. Основная часть

1. Производная функции

1.1.  Понятие о производной функции

1.2.  Касательная к кривой

1.3.  Геометрический смысл производной

1.4. Таблица элементарных производных. Правила дифференцирования

2. Изучение функций с помощью производной:

2.1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

2. Максимум и минимум функций
3. Экстремумы функции.
4. Нахождение экстремума при помощи второй производной
5. Наибольшее и наименьшее значение функции.

3. Задачи на оптимизацию.

3.1. Рекомендации по решению текстовых задач

3.2. Алгебраические задачи

3.3. Геометрические задачи

3.4. Физические задачи

III. Заключение

IV. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. ВВЕДЕНИЕ

Понятие производной  – одно из важнейших математических понятий, используемых в физике и в технике. Помимо прекрасной иллюстрации практического применения математики, оно дает богатейшую возможность понять, как возникшее в связи с потребностями практики математическое понятие начинает играть важную роль в развитии математической теории и затем оказывается приложимым к решению задач, на первый взгляд далеких от тех, которые первоначально привели к возникновению этого понятия.

Цель данной работы: показать применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений.

Чтобы достичь цели работы, потребуется решить следующие задачи:

1. изучить научную и научно-методическую литературу по теме.
2. проработать теоретическую часть материала.
3. подобрать и прорешать текстовые задачи на данную тему.

Изучение темы «Производная и ее применение» очень тесно связано с изучением темы «Функции и пределы». Понятие скорости прямолинейного движения и задача вычисления этой скорости, используемая как пример задачи, приводящей к понятию производной, вначале рассматриваются как иллюстрация практического использования понятия предела функции. Само определение производной основано на понятии предела функции.

Метод отыскания точек максимума  и минимума функции и ее промежутков  монотонности с помощью производной, значительно облегчает исследование функций. Кроме применения производной к вычислению скорости и ускорения прямолинейного движения рассматриваются и другие примеры использования понятия производной для определения и вычисления скорости протекания тех или иных процессов из различных областей науки техники (скорость растворения вещества, протекания химической реакции, изменения температур, изменение силы тока и т.д.). Наряду с исследованием функции с помощью производных при построении их графиков решаются задачи с практическим содержанием, в которых максимум и минимум функции, обнаруженные с помощью производной, используются для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции.

 

1. Производная функции

1.1. Понятие производной

Поставим своей задаче определить скорость, с которой изменяется величина в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересует всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y = f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y = f(x),непрерывную на отрезке [а; b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+ х; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, х – его приращение. Приращение х; аргумента обусловливает приращение у функции, причем:

∆y = f(x + ∆x) - f(x).       (1)

Найдем отношение приращения у функции к приращению х аргумента:

        (2)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке [х, х+ х].

Будем теперь неограниченно приближать х к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление х к нулю вызывает стремление к нулю у, отношение (2) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (2) имеет вполне определенный предел (утверждать, что определенный предел отношения всегда существует нельзя), обозначим его символом f’(x).

= f’(x)       (3)

C физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.

Определение: производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное значение скорости изменения функции f(x).Тогда скорость f’(x).есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функции f(x).

Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at есть линейная функция Q’=b+2at.

Производная функция  обозначается так: 1) у данной функции  ставится штрих на том месте, где  обычно помещается показатель степени, или 2) перед обозначением данной функции ставится символ d/ dx. Производные часто встречаются в технике и естествознании.

 

1.2. Касательная  к кривой

Возьмем на прямой АВ (рис. 1) точку С и проведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол γ между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.

Вообразим, что на кривой АВ (рис. 1) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на рис. точка M'), существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.

 

Определение: Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.

Точка С называется точкой прикосновения или касания.

Следствие: Угол φ (рис.1.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть предел угла α, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Действительно, угол γ между касательной СТ и секущей СМ равен разности α – φ:

α — φ = γ.

По определению касательной, угол γ — бесконечно малая величина, а поэтому φ — limα.    (4)

Теорема: Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Доказательство: Угловой коэффициент касательной:

tgφ = tg(limα),

так как, по предыдущему, φ = limα.

Исключая случай φ = π/2, в силу непрерывности тангенса имеем: tg(limα) = lim tgα.

Поэтому tgφ = lim tgα.

Для СМ (рис. 2) имеем: tgα=(f(x+Δx) -f (x))/Δx

Переходя к пределу  при Δx→0 (точка М при Δx→ 0 неограниченно приближается к С, а угол  α→φ), имеем:

Следовательно,         (5)

 

1.3. Геометрический смысл производной

Теорема, выражающая геометрический смысл производной:

 Если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:

1) в этой  точке имеется касательная к  графику функции,

2) угловой  коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

Доказательство: По  условию, существует предел отношения Δy/Δx. Но отношение Δу/Δx есть тангенс угла секущей СМ (рис. 2.).

Δy/Δx=tgx      (6)

Значит, согласно условию, существует

Из равенства (6) следует: α=arctg(Δy/Δx).

Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:

Но, по условию,                       существует и равен числу f '(х). Поэтому

 

Полагая arctg f '(x)=φ, получаем:

 

Следовательно, существует предел α. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен                      Такая прямая есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой коэффициент tgφ = f '(x).

Замечания:

1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х₁, у₁) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tgφ = f '(х₁).

2. Если касательная в точке (х₁, y₁) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол φ, то производная f '(x)>0, так как tgφ >0 (рис.3); б) тупой угол φ, то производная   f '(х₁)<0, так как tgφ<0 (рис.3). Если касательная параллельна оси Оx (рис.4), то угол φ=0, tgφ=0 и f '(х₁) = 0.

Когда касательная перпендикулярна  оси Ох, то стремление α к π/2 может дать один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tgφ= + ∞ (рис.3) или tgφ=- ∞ (рис.3), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на рис.3 в точке С «слева» tgφ = +∞, а «справа» tgφ= - ∞). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.

Заметим, что бесконечные  производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f(x).

3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если ее производная f '(х) конечна в каждой точке промежутка.

4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (рис.4). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.

 

 

 

 

 

 

Прямая, проходящая  через  точку  касания  перпендикулярно  к касательной, называется  нормалью  к   кривой. Согласно  условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x₁).

 

 

 

Использование производных в физике:

1) при движении тела  пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.

v=

;

2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (рис.6) вокруг оси Ох, угол поворота его есть функция времени t:

;

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

=d / dt

3) при охлаждении тела температура T тела есть функция времени t,

T=f(t);        Рис. 6

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/ dt;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение , как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры dt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение l/ t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+ t]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

a= ;

 

1.4. Таблица элементарных производных. Правила дифференцирования

Функция	Производная
c (с - const)	0
x	px , p R
e	e
ln x
a	a ln a, a>0
log x
sin x	cos x
cos x	- sin x
tg x
ctg x
arcsin x
arccos x
arctg x
arcctg x

 

Общие правила  дифференцирования:

(cu)’=cu’

(u v)’=u’ v’

(uv)’=u’v+uv’

 

2. Изучение функций с  помощью производной:

2.1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

Будем считать, что рассматриваемая  функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b.

Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке  отрезка производную, равную нулю. В  полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.