Применение производной к решению текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной в точке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b] график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (рис.1).

Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (рис.2), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δx и Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю

f '(x) ≥ 0

Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (рис.3), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные  значения и при стремлении Δx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е. f '(x) ≤ 0.

Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgφ,

и у возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (рис.3). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (рис.3).

В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b₁ (a<a₁<b₁<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a₁ ≤ х ≤ b₁ то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На рис.2 и рис.3 такими точками являются Р и Р₁.

Теорема 1. (Необходимое условие возрастания функции на данном промежутке.) Если функция у = f(x) на данном промежутке возрастает и имеет производную f’(x), то в любой точке х₀, принадлежащей этому промежутку, f’(х₀) ≥ 0.

По определению f’(x₀)= lim .

              Δ x→0

Так как нас интересует предел функции при х 0, то можно ограничиться рассмотрением только таких значений х (достаточно малых по абсолютной величине), при которых х₀+ х принадлежит данному промежутку возрастания функции.

Тогда при х > 0 имеем x₀+ х >x₀ и f(x₀+ x)>f(x₀), т.е. >0, а при х < 0 имеем х₀+ х<x₀ и т.е. f(х₀ + х)<f(x₀),т.е. >0.

Все рассматриваемые значения функции положительны.

Можно доказать, что если все значения функции на некотором  промежутке, содержащем данную точку а, положительны, то и предел ее в точке а не может быть отрицательным числом,  откуда и следует, что

f’(x₀)=lim ≥0.

    Δ x→0

Аналогично доказывается теорема, выражающая необходимое условие  убывания функции на данном промежутке.

Если функция у = f(x) на данном промежутке убывает и имеет производную, то в любой точке х, принадлежащей этому промежутку, f’(х) < 0.

Из наглядных  соображений мы ранее пришли к  выводу, что если во всех точках промежутка производная положительна, то функция на этом промежутке возрастает, а если во всех точках промежутка производная отрицательна, то функция убывает. К сожалению, приходится ограничиваться на уроке только формулировкой этих теорем, так как не рассмотрен ряд вопросов, необходимых для доказательства

 

2.2.Максимум и минимум функции

Определение 1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x₀ Тогда х называется точкой максимума (соответственно точкой минимума) функции f, если существует такое δ>0, что для всех х, удовлетворяющих условию | х |<δ, выполняется неравенство f(x₀+ x)≤f(x₀) (соответственно неравенство f(x₀+ x)≥ f(x₀))

Если существует такое δ>0, что для всех х≠0, таких, что | х |<δ, выполняется неравенство f(x₀+ x)<f(x₀) (соответственно неравенство f(x₀+ x)>f(x₀)), то точка х₀ называется точкой строгого максимума (соответственно строгого минимума).

Точки (строгого) максимума и минимума называются точками (строгого) экстремума.

Для точек строгого экстремума функции f и только для них приращение функции f=f(x₀+ x)-f(x₀) не меняет знака при переходе аргумента через точку экстремума х, т. е. при изменении знака х. Именно f <0 для точек строгого максимума и f >0 для точек строгого минимума независимо от знака достаточно малого x≠0.

Теорема 1. (необходимые условия экстремума). Пусть точка х₀ является точкой экстремума функции f , определенной в некоторой окрестности точки х₀ . Тогда либо производная f’ (х₀) не существует, либо f’ (х) = 0.

Это непосредственно  следует из теоремы Ферма, примененной  к интервалу (х₀-δ, х₀+ δ), где δ есть то δ, которое указано в определении точек экстремума.

Отметим, что  условие f’(х₀) = 0 не является для дифференцируемой в точке х₀ функции достаточным условием наличия в точке экстремума, как это показывает пример функции f(x) = х³ , которая в точке х = 0 имеет производную, равную нулю, но для которой эта точка не является точкой экстремума.

Определение 2.Точка функции у = f(x), в которой производная f’ (х₀) равна нулю или не существует, называется критической.

Замечание 1: (достаточные условия экстремума). Пусть функция f определена на интервале (а, b) и непрерывна в точке х₀ ϵ(a,b). Если функция f (строго) монотонно возрастает на интервале (а, х₀) и (строго) монотонно убывает на (х₀,b), то точка х₀ является точкой (строгого) максимума; а если функция f (строго) монотонно убывает на (a, х₀) и (строго) монотонно возрастает на (х₀,b), то точка х₀ является точкой (строгого) минимума.

Теорема 2 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀ ϵ(a,b), в которой она является, однако, непрерывной. Если производная f’ (х) меняет знак при переходе через точку х₀ (это означает, что существует такое число δ>0, что значения производной f’ на каждом интервалe (х₀ – δ, х₀) и (х₀, х₀ +δ) имеют один и тот же знак, а на разных — противоположный), то точка х₀ является точкой строгого экстремума.

При этом, если для х₀ – δ <x <x₀ выполняется неравенство f’ (х) > 0, а для х₀+ δ >x >x₀ — неравенство f’(x)<0, то х₀  является точкой строгого максимума, а если для х₀ – δ <x <x₀ выполняется неравенство f’(x)<0, а для х₀+δ >x >x₀ — неравенство f' (х)>, то точка х₀ является точкой строгого минимума.

Доказательство. Рассмотрим первый случай f’ (х) > 0 для х < х₀ и f’(х) < 0 для х > х₀, где х принадлежит окрестности точки х₀ , указанной в условиях теоремы. По теореме Лагранжа, f=f(x)-f(x₀) =f’ (ξ)(x - x₀), где ξ, лежит на интервале с концами х₀ и х.

Если х < х₀ , то х - х₀ < 0 и f’ (ξ)> 0, так как х < ξ < х₀. Если х > х₀ , то х - х₀ > 0 и f’ (ξ)< 0, так как в этом случае х₀ < ξ < х. Таким образом, всегда f<0, т. е. в рассмотренном  случае  точка х₀ является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай. Теорема доказана.

Из замечания, сделанного в конце предыдущего параграфа  следует, что, если функция имеет  во всех точках некоторой окрестности  данной точки х₀ производную одного и того же знака, кроме, быть может, самой точки х₀ , в которой производная либо равна нулю, либо вовсе не существует, однако сама функция непрерывна, т. е. если производная непрерывной функции «не меняет знака» при переходе через точку х₀, то эта точка заведомо не является точкой экстремума рассматриваемой функции (более того, функция в указанной окрестности строго монотонно возрастает или убывает в зависимости от того, положительна или отрицательна производная в точках х ≠ х₀).

Следует обратить внимание на то, что случаями, разобранными в теореме 3 и в сделанном после ее доказательства замечании, т. е. случаями, когда в некоторой окрестности данной точки х₀  производная с каждой стороны от этой точки сохраняет знак, не исчерпываются всевозможные ситуации: может случиться, что в сколь угодно малых тех или иных односторонних окрестностях производная функции меняет знак. В этом случае приходится применять другие методы для исследования точек на экстремум.

Введем еще одно понятие, полезное для дальнейшего.

Определение 2. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х₀. Точка х₀ называется точкой возрастания (убывания) функции f , если существует такое δ > 0, что при х₀ - δ< х < х₀ выполняется неравенство f(x)<f(х₀) (соответственно неравенство f(x)>f(х₀)), а при х₀ <x< х₀ + δ - неравенство f(x) >f( х₀) (соответственно неравенство f(x) < f( х₀ )).

Таким образом, точки  возрастания и убывания функции f характеризуются тем, что при переходе через них приращение функции f меняет знак, а именно с «—» на «+» в точке возрастания и с «+» на «—» в точке убывания.

Не следует  думать, что если функция определена на интервале, то всякая точка этого интервала является либо точкой экстремума функции, либо точкой возрастания, либо точкой убывания: могут существовать точки, не принадлежащие ни к одному из указанных типов.

Дадим теперь достаточные условия строгого экстремума, а также точек возрастания и убывания в терминах значений высших производных в точке х₀ .

 

2.3. Экстремум функции

Признаки существования  экстремума

Теорема 1. (необходимый признак): Если в окрестности 2δ точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема,

2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума. Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δx:, а правой в виде с+ Δx, где 0< Δx < δ. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с — Δx), а в правой f(c + Δx). Значения f(x) в окрестности 2δ точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δx, причем значение х = с/Δx неограниченно приближается к числу с, если Δx стремится к нулю.

По определению максимума  функции:

f(c- Δx)<f(c) и f(c + Δx)<f(c).

Отсюда: f(c-Δx)-f(c)<0 и f(c + Δx)-f(с)<0.

Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на — Δx и + Δx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:

(f(c —Δx)—f(с))/(-Δx))>0         (1);

(f(с + Δx)—f(с)/(+Δx))<0            (2)

Оба отношения (1) и (2) имеют один и  тот же предел при Δx → 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с определенную производную:

 

Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показывает, что f '(с) не  может быть положительной. Следовательно, f‘(c) = 0,

что и требовалось доказать.

 

Теорема 2. (достаточный признак). Если в окрестности 2δ точки х = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с положительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

Доказательство. Данная функция непрерывна в точке с, поэтому число f(c) есть общий предел для f(c x) и f(c+ x) при х 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0< x< ):

Данная функция f(х) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна, и вследствие этого ее значения f(c x) и f(c+ x) возрастают при стремлении х к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x₁ <x₂ f(x₁)<f(x₂)).

Другими словами, как f(c - х), так и f(c + х) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения х ≠ 0:

f(c x)<f(c) и f(c+ x)<f(c).

Но в таком  случае f(с) есть максимум функции f(x) в точке х = с.

Так же можно  доказать, что если в окрестности 2 точки х = с:

1. функция f(x) непрерывна,
2. производная f '(х) слева от точки х — с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции.