Применение информационных технологий на уроках технологического воспитания

Качественное разнообразие арифметических способов решения и единообразие алгебраических — это тот факт, с которым мы сталкиваемся в еще более яркой форме при решении типовых задач.

В этих случаях составление  уравнения способствует значительному  упрощению процесса решения задачи.

Это положение имеет  силу, в первую очередь, в отношении тех задач, где требуется сделать произвольное предположение, искусственно преобразовав условие. К этой категории относятся типовые задачи на сумму и кратное отношение, на уравнивание данных, на замену и др.

Так, например, мы решаем арифметическим способом задачу «на замену»: «Куплено 10 книг и 20 тетрадей за 2 лея. Книга дороже тетради в 8 раз. Сколько стоит книга и тетрадь в отдельности?» Приходится прибегнуть к искусственному приему, предположив, что были куплены только тетради, и, соответственно, делая вывод, что вместо 10 книг можно купить 80 тетрадей (этот ход мысли обычно затрудняет учеников, и они не могут его найти самостоятельно). После этого узнаем общее количество тетрадей (80+20=100), затем — стоимость каждой тетради (2 лея : 100) и т. д.

Применение алгебраического  способа решения не требует никакого искусственного допущения, в процессе составления уравнения отражаются имеющиеся в условии реальные соотношения: «Стоимость одной тетради— х, тогда стоимость одной книги х 8. Очень легко составить уравнение:

                          (х 8) 10+ х 20 = 200.

Можно предполагать, что и решение такого уравнения окажется вполне посильным для младших школьников, поскольку оно основано на использовании приобретенных ими ранее арифметических знаний:

                          х 80 + х 20 = 1200;   х 100 = 200;

                               х = 200 : 100;   х = 2 (б.).

В числе занимательных  задач тоже имеется немало таких, решение которых значительно  облегчается составлением уравнения. Мы рассмотрели задачи, в которых через х обозначалось всегда конечное искомое.

Итак, какие выводы можно  сделать на основе проведенного нами сравнительного анализа процесса решения задач двумя способами —арифметическим и с помощью составления уравнения? Весь этот материал показывает следующее: оба способа решения задач существенно дополняют друг друга, приводят к одной и той же цели, но разными путями. Путь алгебраический — не всегда самый короткий и экономный путь. Целесообразность применения того или иного способа зависит от характера задачи. В одних случаях оба способа примерно равнозначны и могут с одинаковой эффективностью привести к цели, в других — оказывается более эффективным один из них, причем преимущество может оказаться на стороне не только способа составления уравнений (как это обычно принято думать), но и на стороне арифметического способа решения. Последнее обычно имеет место в тех задачах, при решении которых полезнее обозначать иксом не последнее искомое, выраженное вопросом задачи, а промежуточное. В этих случаях нужно выполнять арифметические преобразования и составление уравнений уже в значительной мере теряет свой смысл.

Следует выделить три  основные категории арифметических задач в зависимости от того, какого типа уравнение может быть составлено для их решения: задачи первого вида предполагают составление уравнения, в левой части которого — искомое, обозначенное иксом, а в правой — числовая формула. Данное уравнение легко решается чисто арифметическим способом. Задачи второго вида приводят к уравнению, которое предполагает действия с искомым, но и в этом случае уравнение может быть решено арифметическим путем с использованием знаний о зависимости между компонентами действий и, наконец, задачи третьего вида также предполагают составление уравнений, требующих действий с искомым, но в этом случае уравнения могут быть решены только при условии овладения учеником специальным алгебраическим аппаратом (приведение подобных членов и пр.).

Выделение этих трех категорий  задач свидетельствует о том, что существуют различные переходные формы учебной деятельности между «арифметикой» и «алгеброй». Имеются все основания считать, что в начальном математическом образовании такие переходные формы должны занять очень большое место.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Введение буквенных формул при решении текстовых задач

Первый этап обучения

На протяжении ряда уроков учитель создавал такие условия, благодаря которым дети выделяли отношение целого и частей на предметных дидактических пособиях, а потом делали его объектом особого анализа. Так, учащиеся склеивали из нескольких полосок бумаги одну новую и, наоборот, одну полоску разрезали на несколько новых, выделяли в какой-либо данной им полоске ее часть, равную другой полоске. Аналогичным образом они выделяли часть некоторого объема воды или веса крупы и т. д. В результате выполнения этих заданий учащиеся обнаруживали, что любая величина может быть в одном случае охарактеризована как целое, в другом — как часть, что та или иная характеристика может быть дана величине только в том случае, когда она находится в определенном отношении с другими величинами. Сначала учитель указывал детям действия, позволяющие обозначать некоторую величину то как целое, то как часть. Затем дети сами выбирали и выполняли нужные действия.

Например,  на 3-м уроке соответствующей темы проходила следующая работа:

Учитель (демонстрирует две мензурки с разным объемом воды в них, затем воду из первой мензурки переливает во вторую).  Чем является вода, перелитая из первой мензурки? (Показывает на воду второй мензурки.)

Ученик. Она — часть всей этой воды (подходит к столу, «охватывает»  руками воду), часть этого целого.

Учитель. Можно ли воду в первой мензурке сделать целым?

Ученик. Можно. Для этого  ее нужно разлить на две части  в какие-нибудь банки.

Учитель. Только на две части?

Ученик. Не обязательно  на две, можно и на три, можно на сто частей.

С целью проверки понимания  учащимися относительности категорий «целое» и «часть» им были предложены контрольные задания. В первом из них требовалось из всех имеющихся на парте полосок выбрать те, которые могут быть обозначены как целое. Большинство детей указало всю совокупность полосок. На последовавший затем «провоцирующий» вопрос: «И эта самая маленькая полоска может быть названа целым?» — учащиеся ответили утвердительно, сославшись на то, что и эту полоску «можно разделить на десять, на сто, на сколько угодно частей».

Во втором задании учитель предъявлял учащимся банку с водой и просил определить, может ли эта вода быть «частью». Все дети отвечали утвердительно и в качестве доказательства доливали банку до верху «другой частью воды». Но на вопрос: «А может ли эта полная банка воды быть частью?» — одни учащиеся не могли дать никакого ответа, другие утверждали, что «не может, потому что лить больше некуда», а остальные (немногим больше половины класса) эту возможность все-таки видели, правда, несколько ограниченно: «Надо перелить эту воду в какую-нибудь другую посуду и долить потом». Показательным в последнем случае является тот факт, что для ряда учащихся житейское понятие «целая (полная) банка» и математическое «целое» уже не совпадают. Даже неверный ответ обосновывается не тем, что банка «полна», а тем, что будто бы данный объем воды нельзя поставить в определенную связь с другим. «Целое» здесь не тождественно «полному», «целое» — это совокупность частей.

Такое же понимание целого обнаружилось и при выполнении третьего задания. Учитель предложил отнести к целому или части воду, целиком наполняющую стакан. Опыт предыдущего задания помог всем детям решить, что «эта вода может быть и целым и частью». Но тогда учитель потребовал определить, чем является эта вода в настоящее время, а не чем она может стать в результате некоторых действий. Учащиеся все равно возвращались к прежнему объяснению. Итак, чтобы полный стакан воды оценить как целое, эти учащиеся мысленно разбивали его объем на части.                          

Подобным образом дети были введены в предмет будущего изучения — отношение частей и целого. Но пока оно выступало для них в форме отношения реальных величин. Абстрагирование этого отношения осуществлялось на последующих уроках при построении графических моделей.           

Первым шагом к этому было использование в качестве величины, «превращающейся» то в целое, то в  часть, длины нарисованной полоски (рис. 1).       а                     b

 

                 Рис. 1

                    с

Ее уже нельзя  фактически сгибать, но можно было делить на части линиями, можно было к этой полоске пририсовывать  другие. Затем учащиеся с помощью  таких полосок должны были рассказывать о других величинах, например, об объеме воды, разливавшейся в несколько сосудов, и т. д. Отношение частей и целого, указанное на предметах, дети должны были изобразить графически.

Характерно, что вначале  отдельные учащиеся старались передать графически не только наличие, например, определенного количества частей в целом, но и их внешние особенности. Так, если это отношение демонстрировалось на воде, налитой в узкие мензурки, то эти дети и полоски «вытягивали» вертикально; если вода находилась в широких банках, то в тетрадях появлялись широкие прямоугольники. В целях превращения графического изображения из копирующего рисунка в абстрактную модель отношения учитель предлагал при выполнении этих заданий чертить круги, треугольники и другие фигуры. Учащиеся легко приняли это предложение и тут же «изобрели» несколько своих форм чертежа. С помощью учителя был выделен наиболее простой способ изображения отношения в виде отрезков прямой линии.

У чертежа как средства изображения отношения есть многие собственные конкретные характеристики: определенная последовательность стыковки частей, зрительно сравнимая величина каждой части, то или иное количество частей и т. д. Учащимся давались такие задания, в которых они должны были отвлекаться то от одной этой характеристики, то от другой, тем самым переводя их в ранг несущественных.

С самого начала работы с  полосками элементы выраженного  в них отношения обозначались буквами. Благодаря этому постепенно снималась необходимость в конкретных словесных описаниях величин. Так, вместо слов «длина этой полоски», «объем воды в этой мензурке», «количество кубиков в этой кучке» можно было говорить «величина а». С помощью чертежа и буквенных обозначений у детей формировалось умение во всех предметах сразу выделять такое их свойство, как величина, которая, в свою очередь, может характеризоваться отношением целого и частей.

В этот период работы дети по заданию учителя переходили не только от предметов к чертежу, но, наоборот, по заданному в чертеже  отношению конструировали его предметную модель. Связь графической и предметной моделей уяснялась учащимися в процессе изменения одной из них в соответствии с изменениями другой. Приведем пример такой работы.

Учитель (ставит на стол банку с крупой). Здесь а крупы. Целое это или часть?

Ученики.   И не целое  и не часть. Вы с этой крупой еще  ничего не делали. Она может стать  и целым и частью.

Учитель (рассыпает крупу в три стакана). Что теперь скажете про крупу а?

Ученики. Эта крупа а состоит из трех частей, а – это целое.

Учитель. Нарисуйте в тетрадях полоски, по которым было бы видно все это. Обозначьте а дугой.

Учитель (после обсуждения чертежей ссыпает всю крупу снова в банку). Сколько здесь крупы?

Ученики. В этой банке а крупы.

Учитель. Обозначьте это  полоской. Она должна быть длиннее или короче, чем первая?

Ученики. Она должна быть такая же, потому что у нас было а и сейчас тоже а. (Чертят полоску.)

Учитель (рассыпает крупу в два сосуда). Покажите это на чертеже.

Ученики (делят полоски; три человека делят полоску на три части, остальные делают верно).

Учитель. Покажите крупу а.

Ученики (показывают два стакана вместе).

Учитель. Из скольких частей она состоит?

Ученики. Из двух.

Учитель (вновь ссыпает крупу в банку). Начертите полоску, говорящую про эту крупу.

Ученики (чертят полоску той же длины, что и две первые).

Учитель (рассыпает крупу в три стакана, причем умышленно и явно просыпает часть крупы на стол). Расскажите про мои действия чертежом.

Ученики (один человек к прежней полоске присоединил еще одну, пять человек выполнили задание верно, показав четыре части, остальные разделили полоску на три части).

Учитель. Витя, подними  по очереди все части.

Ученик (поднимает три стакана).

Учитель. В этих стаканах все а?

Ученики (отвечают те, кто правильно выполнил задание). Нет, в а входит еще и та крупа, которая просыпана. (Все исправляют чертеж.)

В описанных  случаях, строя графические модели отношения, дети учились сохранять в чертеже «полноту» предметного целого, учились точно показывать сменившиеся и сохранившиеся элементы.

Умение правильно выделять все элементы формулы проверялось в таких заданиях, когда учитель предлагал учащимся самим составить формулу целого, состоящего из определенного количества частей.

Основная задача этого  периода работы состояла в том, чтобы научить детей умению описывать зависимости между частями и целым в виде буквенных формул.

Второй этап обучения.

Для подведения учащихся к самой идее наличия задачи была организована работа с особыми образованиями, получившими условное название текстов. В них не было неизвестного, а, следовательно, и вопроса. На первом же уроке учащиеся должны были один из таких текстов («В коробке было а красных карандашей и b синих, а всего карандашей в коробке было с») описать всеми известными способами; чертежом, схемой и тремя формулами. Тем самым в содержании текста было обнаружено отношение целого и частей. Затем учащиеся должны были составить свои тексты, сохраняя в них уже выделенное отношение. При этом главной опорой для учащихся служил чертеж. Он помогал, во-первых, привлечь в содержание текста необходимое количество величин и, во-вторых, поставить эти величины в определенную связь. Вначале были случаи составления текстов, искажающих заданное отношение.