Применение информационных технологий на уроках технологического воспитания

Однако в этом случае алгебраический способ, значительно упрощая технику  и расширяя возможности решения  задач, не приобретает всей той общности, которая в нем заложена. Меняется модель задачи, полученная в результате анализа (уравнение вместо последовательности вопросов и операций), но сохраняется направленность самого анализа на частные виды зависимостей в разных задачах, а часто и на чисто внешние признаки этих зависимостей. Это может служить одной из причин тех срывов, которые имеют место при решении новых задач учащимися старших классов.              

Общность алгебраического  способа раскрывается значительно полнее, если при анализе сразу ориентироваться на то общее свойство всех задач, что они могут быть представлены в виде двух уравниваемых величин (или двух выражении одной и той же величины). В этом случае схема решения задачи выглядит так

F₁ (a, b, …, т, x) = F₂ (a, b, …, т, x).

Согласно этой схеме  вначале нужно установить некоторые  формы зависимости (F₁ и F₂) между известными (а, b, т) и неизвестными (х) величинами — формы, устанавливающие исходное равенство определенных величин между собой, на основе которого затем рассматриваются конкретные связи других величин. Эту главную особенность составления уравнения   четко   выразил   методист   С. С.  Бронштейн,    который    писал:

«... именно выбор основного соотношения  регулирует весь комплекс операций, известных  под названием составление уравнений. Первым действием является выяснение вопроса, какая величина, входящая в условие задачи, может быть равна другой величине, находящейся с первой во взаимной зависимости. Только после того, как сознательно или бессознательно, в четко оформленном виде или в смутно расплывчатом состоянии решен этот вопрос, протекают остальные этапы решения уравнения»¹².

Разные схемы анализа  и решения задачи, присущие арифметическому и алгебраическому способам, связаны и с разными путями обучения этим способам. Так, обучение арифметическому способу строится путем привития детям одного приема рассуждения за другим — усложняя задачи, увеличивая количество составляющих их «простых» задач, детей учат рассуждениям, обеспечивающим вычленение «простого» из «составного». Однако это вычленение может быть целенаправленным лишь в том случае, если в голове ребенка имеется общий замысел решения всей задачи, некоторое целостное представление об основной зависимости, связывающей «простые» задачи именно в данную, а не в какую-либо иную сложную задачу.

Анализ литературы, посвященной  рассматриваемым вопросам, показывает, что специальное обучение детей аналитической работе не сочетается здесь со столь же специальным обучением умению строить по тексту задачи представление о ее основной зависимости, строить общий замысел решения. Правда, методика содержит указания, согласно которым учащиеся перед записью самого решения должны составлять его план. Нередко этот план делается детьми сравнительно быстро и точно. Но чаще всего он представляет собой не способ выделения и фиксации основной зависимости и средство ее целенаправленной конкретизации, а выражение самой последовательности вычленения простых задач из сложной, краткую схему последовательности постановки вопросов и выполнения соответствующих действий. Целостное представление об основной зависимости как бы «выносится за скобки» и не находит своего материализованного представительства. Оно, конечно, каким-либо образом складывается и функционирует в реальной мыслительной деятельности учащихся, но, повторяем, специальным объектом усвоения с помощью особо выделенных средств в преподавании не выступает. Это целостное представление приобретается стихийно как побочный, косвенный продукт постепенного обобщения способов рассуждений при решении многих конкретных типов задач. Поэтому в умении выделять основную зависимость и строить о ней целостное представление, а, следовательно целенаправленно строить замысел решения, у большинства учащихся, как показывает опыт, наблюдается много пробелов. В нем оказываются выпавшими важные операции, — иными словами, ориентировочная основа этого умения далеко не совершенна. И это не частная недоработка методистов или учителей, а закономерное следствие принятого в качестве исходного пути обучения детей односторонне аналитическому вычленению простых задач из составной. Естественно, что умение ориентироваться на основную и определяющую зависимость формируется здесь как обобщение конкретных приемов рассуждения, совокупность которых и составляет арифметический метод.¹³ 

Теоретические представления  о такой форме обобщения, при  которой постепенно выделяются сходные, одинаковые, совпадающие или тождественные особенности многих частных предметов или приемов рассуждений, характерны для традиционных частных методик и их психологического обоснования. Именно эти теоретические представления создают своеобразную ситуацию при обсуждении порядка введения алгебраического способа решения задач в младших классах.

Сейчас уже многие методисты и психологи признают целесообразность введения уравнений. Однако, как было отмечено нами выше, чаще всего их предлагают вводить на основе и после формирования у детей арифметических приемов — как обобщение последних. В этом случае, с одной стороны, полностью сохраняется правомочность самого арифметического способа, с другой — пути его освоения. Введение же уравнений ограничивает его безраздельность лишь во времени, не меняя принципа соотношения между арифметическим и алгебраическим способами, одного принципа обобщения другим.

Свою работу мы строили, исходя из других теоретических предпосылок. Прежде всего, составление уравнения  с самого начала обучения вводилось  как единственный способ решения  текстовых задач и никаким  обобщением арифметического быть не могло. Введение такой схемы анализа и решения задачи было связано и с особым путем обучения. Составление уравнения предполагает выделение и фиксацию основной зависимости как предпосылку дальнейшего анализа условия задачи. В обучении же необходима особая начальная стадия, специально направленная на формирование у детей соответствующего умения. Дети должны овладеть умением обнаруживать две уравниваемые величины и записать их основную зависимость еще до выбора неизвестной величины и поиска других зависимостей, а затем руководствоваться знанием этой основной зависимости.

При выделении указанной  начальной стадии обучения систему последующих учебных заданий можно строить, опираясь на понимание детьми свойств основной зависимости, способов ее раскрытия и детализации, т. е. путем перехода от общих сведений ко всем более частным. Это иная форма обобщения и другой путь его формирования, применимость которого в учебной практике обосновывает В. В. Давыдов, а также ряд других авторов (А. М. Мышляев, П. Ф. Атутов, Т. В. Кудрявцев, В. В. Репкин и др.).

Таким образом, наше обучение составлению уравнений связано с другим путем обобщения, чем тот, который рекомендуется традиционной методикой, ориентирующей преподавание на арифметический способ решения задач с последующим переходом к алгебраическому. Вместе с тем попытка реализации этого пути предполагает, что алгебраизация состоит не просто в «надстройке» элементов алгебры над прежним курсом арифметики и не в процессе «уплотнения» сроков перехода к составлению уравнений, а в поисках принципиально и качественно своеобразного построения всего курса и соответствующей организации его усвоения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Последовательность ознакомления учащихся с алгебраическим способом решения задач

 

Раскрывая роль задач в математическом образовании и анализируя с психологической точки зрения арифметический и алгебраический способы решения, необходимо проанализировать задачи различных видов.

Изучение процесса решения  задач обнаруживает следующее: во всех случаях от школьников требуется выполнение двух основных умственных операций — анализа и отвлечения (абстрагирования).

Учащийся должен расчленить условие задачи на данные и искомое  и произвести выбор арифметического  действия, отвлекаясь от сюжетной стороны задачи и как бы переводя на математический язык соотношения между данными и искомым, которые описаны в тексте в житейских терминах.          

При переходе к решению  задач в два действия «зона» выбора для ученика расширяется: ему  нужно выбрать не только действие, но и пару чисел из нескольких данных в условии. Если же в составной задаче имеются только два числовых данных, то от школьника требуется выделить из условия промежуточное данное, при этом опять-таки выделение промежуточного данного определяется осознанием того, что нужно найти в задаче, т. е. определяется поставленным в ней вопросом.

Разберемся в тех  процессах, какие осуществляются при  использовании алгебраического  способа решения, предполагающего  составление уравнения в этих простейших случаях. Необходимо, прежде всего, выявить те возможные способы (и их психологический смысл), какие являются переходной формой от арифметического решения к решению с помощью составления уравнения. Такой переходной формой является составление числовой формулы (не после того, как выполнено решение и получен результат, а до решения, когда искомое еще не определено).

Рассмотрим использование  формулы на примере двух задач  в одно действие.

В прямой задаче: «Было 7 яблок, 4 яблока съели. Сколько яблок  осталось?» — искомым является количество оставшихся яблок и зависимость между данными и искомым выражается уравнением: х = 7 — 4, или (если вместо икса использовать знак вопроса, как это часто делается и сейчас)

7 — 4 = ?

В обратной задаче, выраженной в косвенной форме:

«Было несколько яблок, 4 яблока съели, 3 осталось, сколько было яблок?» — искомым является первоначальное количество яблок и зависимость выражается уравнением: х = 4 + 3.

Сравнивая арифметический способ решения в этом случае с  таким, который приближается к алгебраическому, мы должны обратить внимание на следующее обстоятельство: использование икса, на первый взгляд, не вносит ничего нового и специфического в процесс решения задачи, и в правой части уравнения мы по существу имеем дело с числовой формулой.

Но есть один существенный психологический момент, который  должен при этом учитываться.

Когда мы предлагаем ученикам написать до решения уравнение, перед  ними ставится специальная задача: найти искомое, обозначить иксом (или  вопросом) то, что в задаче неизвестно, что надо узнать. Осознание этого искомого (в первой задаче «сколько осталось яблок?», во второй — «сколько было яблок?») и определяет числовую формулу (в первом случае: 7 — 4, во втором — 4 + 3). Определение искомого становится, таким образом, специальной и притом центральной задачей.

Психологически очень  важно также, что от ученика не просто требуется повторить какую-то часть условия. Учащиеся ведь делают это постоянно, отвечая на вопрос учителя, «что спрашивается в задаче?», но нередко это превращается в пустое, формальное повторение конечного вопроса, которое не приводит к действительному осознанию искомого в противопоставлении его имеющимся данным. Иная психологическая ситуация при составлении уравнения: здесь нельзя ограничиться повторением части текста, а необходимо «поработать» над всем текстом, расчленив его на искомое и данные, а результат этой работы записать в расчлененном виде в левой и в правой части уравнения.

Использование икса имеет  в этом случае еще одно важное преимущество: оно должно ускорить процесс отвлечения от сюжетных несущественных сторон условия, направляя того, кто решает задачу, на поиски самого общего признака — «это неизвестно», «это нужно узнать».

В то же самое время  следует подчеркнуть, что составление подобного уравнения (даже в этой, самой простой форме) предполагает выработку у школьников умения «вчитываться» в условие, понимания смысла употребляемых понятий, умения ясно представить картину, какая описывается в задаче. А умение ясно представлять картину, описанную в тексте, приобретается при использовании арифметического способа решения задач. Таким образом, в этом отношении арифметика нужна для алгебры.

Значительное количество арифметических задач в два или  более действий решаются, как и  задачи в одно действие, чисто арифметическим путем.

Однако и в этом случае запись с использованием х привносит нечто новое в процесс  решения  задачи.

Покажем это на примере  решения задачи в два действия в I классе: «В одном бидоне 6 л молока, в другом — на 2 л больше. Сколько молока в обоих бидонах?» Решая эту задачу, дети нередко допускают ошибку, сливая два действия в одно, т. е. они прибавляют 2 л к 6 л и, получив этот результат, считают, что они уже ответили на конечный вопрос задачи. Что в этом случае может дать запись с помощью уравнения х = 6 + (6 + 2)?

Опять-таки здесь осуществляется отделение неизвестного, или искомого, от данных, при этом необходимость выписать данные должна способствовать выделению двух действий — как промежуточного, так и конечного.

Составление уравнения дает возможность ученику обозреть всю систему взаимозависимостей, выраженных в условии задачи, причем это делается до того, как выполнено числовое решение. В случае же, когда задача решается арифметически, без предварительного составления уравнения, нередко имеет место следующий факт: ученик поглощен решением частной задачи, его внимание направлено на вычисления и при этом упускается математическая структура задачи в целом и связанная с ней система взаимозависимостей.

Решение уравнений рассмотренных видов еще не требует овладения специальным алгебраическим аппаратом, поскольку с искомым не приходится производить каких-либо действий.

Среди задач, которые  мы приводили выше, была задача выраженная в косвенной форме (напоминаем условие: «Было несколько яблок, 4 яблока съели, 3 осталось, сколько было яблок?»). Решая ее, мы составили такое уравнение: х=4+3.   Можно,   однако,   составить   уравнение   и   по-другому:

х — 4 = 3. И это уравнение, хотя оно и предполагает действие с искомым, может быть решено без использования алгебраического аппарата — на основе знания зависимости между компонентами действий (в данном случае — на основе знания того, что уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность).

Аналогично этому может  быть составлено и решено уравнение для задачи на деление по содержанию: «На все платья пошло 12 м, на каждое платье — по 3 м. Сколько всего было сшито платьев?»

В этом случае через х обозначается количество платьев, и уравнение имеет следующий вид: 3х х=12.

Опять-таки уравнение легко может быть решено на основе знания, приобретаемого в курсе арифметики: один из сомножителей равен произведению, деленному на другой сомножитель.

Следует отметить, что  решение задач с помощью уравнений, предполагающих действие с искомым, как будто не упрощается по сравнению с решением арифметическим способом. С внешней стороны имеет место обратная картина: при решении арифметическим способом, например, задачи на деление по содержанию, рассуждение состоит из одного звена и соответственно сразу же выполняется одно действие—деление, в то время как при составлении уравнения рассуждение состоит из двух звеньев: вначале обозначается действие с искомым — умножение, а затем только записывается и выполняется деление.

Но так обстоит дело с чисто количественной стороной решения, что же касается психологической трудности, то в этом отношении арифметический способ решения несколько труднее, так как он предполагает качественно своеобразные ходы мысли, различные для разных задач: в этом случае, например, нужно сообразить, что будет сшито столько платьев, сколько раз содержится по 3 м в 12 м, а при решении косвенной задачи «про яблоки» нужно выбирать действие сложения, которое противоречит имеющимся в тексте терминам («съели», «осталось»), тесно связанным в прошлом опыте ребенка с действием вычитания. В отличие от этого решение задачи с помощью составления уравнения предполагает способ рассуждения, характеризующийся большим единообразием, мало варьирующий для разных задач: выделяется искомое, определяется его количественное отношение с другими данными и т. п. Ход составления уравнения при решении косвенной задачи отражает ход описанных в задаче жизненных действий: «Если х— первоначальное количество яблок, а 3 яблока съели, то надо от х отнять З».