Применение информационных технологий на уроках технологического воспитания

Эти материалы открывают  перспективу изменения традиционных представлений о связи цифровой и буквенной символик на первых этапах обучения математике. Однако они оставляют открытым вопрос о последовательности работы с данными текстовых задач: какую роль и какое место имеют буквенные данные при решении этих задач, действительно ли буквы должны вводиться лишь после систематической работы с цифровыми данными, как их сообщение, или при некоторых условиях оперирование числами-буквами может предварять использование цифровых данных и служить основой обучения школьников решению задач?

 

1.2. Трудности решения «косвенных задач и их связь с общим способом введения задач в обучении

При обычной методике обучения дети с первых недель пребывания в I классе решают серии текстовых задач — вначале на одно, а затем на два-три и более действий. Эти задачи разбиты на определенные типы по характеру имеющихся в них зависимостей и связей величин (задачи на получение суммы по двум слагаемым, на разностное отношение и т. д.). Особую трудность дети испытывают при освоении смысла этих зависимостей. Это обстоятельство отчетливо проявляется тогда, когда школьники сталкиваются с так называемыми «косвенными» задачами, в которых слова-признаки («прилетели», «улетели» и т. д.) могут иметь другое значение, чем раньше в прямых задачах. Учащиеся I-II классов с трудом решают косвенные задачи, хотя в них содержатся в принципе те же зависимости между величинами, что и в прямых.

Специалистам в области  начального обучения хорошо известно, что истоки трудностей решения косвенных задач коренятся в способах обучения решению прямых. Здесь дети систематически приучаются применять арифметические действия для описания непосредственно наблюдаемых или наглядно представляемых реальных изменений предметной ситуации (сложение — для описания непосредственно наблюдаемого наращивания конкретного количества предметов, вычитание — для описания «отсечения» некоторого количества предметов). Но подобная установка дает осечку при столкновении с косвенными задачами. Большинство методистов, указания которых широко используются в школе, полагает, что правила их решения совсем иные, чем в первом случае, и рекомендует обучать детей особым рассуждениям, специально приноровленным к отдельным видам косвенных задач.⁸ В одном из методических пособий при обсуждении вопросов обучения решению простых задач приводится косвенная задача («Около школы росли тополя. Осенью посадили еще 7 тополей и тогда их стало 20. Сколько тополей росло около школы до осенней посадки?») и дается следующее пояснение: «В этих задачах говорится об изменениях в числе предметов: к неизвестному числу их добавили столько-то, получилось указанное в задаче число предметов.

Ученик при разборе  задачи должен осознать этот процесс  изменения, который произошел в результате сложения двух чисел, и выбрать для решения обратное действие — вычитание, представив, например, что если отнять от 20 тополей (столько их стало) 7 тополей (столько добавили, посадили), то можно узнать, сколько тополей было раньше» В другом пособии рекомендуется использовать «наглядное объяснение», которое ясно показывает, что, например, уменьшаемое включает в себя вычитаемое и остаток, затем указывает что наглядного объяснения задач этого вида, однако, недостаточно. Необходимо приучать детей путем рассуждения и воображения восстанавливать описанные в задаче действия.

Практика показывает, что обучить требуемым рассуждениям довольно сложно. Это объясняется тем, что приходит. учить не одному общему, а многим частным рассуждениям, применимым к узкому кругу задач, а иногда только к одной из ни Универсального рассуждения, которое содержало бы в себе описание реальных действий над предметами, найти нельзя, так как и эти действия, и их предметы имеют свою специфику. Если дети с трудом усваивают нужные рассуждения, то за счет чего учителя все-таки добиваются определенного успеха? Дело в том, что почти все дети к косвенной задаче умеют дать числовой ответ, но от них требуется еще и «решение». Тогда появляется запись, в которой искомое, но уже подсчитанное данное, стоит не после знака равенства, а около знака арифметического действия, т. е. оказывается включенным в это арифметическое действие. Если взять приведенную выше задачу тополях, то вместо формулы 20 – 7 = 13 дети могут написать 13 + 7 = 20. Тогда учитель напоминает, что по правилам ответ должен стоять в конце записи, он должен «получаться» причем «получаться» из чисел известных, данных. После этого не так уж трудно придать решению требуемый вид, т. е. фактически «подогнать» его под ответ. Подобное наталкивание учеников на правильное решение мы наблюдали в школе много раз. Именно такой ход в обучении, опирающийся на количественную. определенность данных, приводит к определенному эффекту. 

Но есть другой путь обучения решению  косвенных задач. Детей учат записывать по условию задач уравнение. Причем эта запись производится по тем же правилам, что и запись решения прямых задач, и поэтому не вызывает у детей сколько-нибудь значительных трудностей. Но для решения задачи мало составить по ее данным уравнение: в каждом уравнении нужно еще найти неизвестное. Для его определения на основе знания зависимости компонентов действий учащиеся имеют еще слишком маленький опыт. Как раз при решении задач, и косвенных задач в особенности, этот опыт накапливается и обобщается. Но поэтому здесь опять особое значение приобретает то самое «рассуждение», о котором говорилось выше, а вместе ним количественная определенность данных.

 

1.3. Характеристика умственной деятельности учащихся при арифметическом и алгебраическом способах решения задач

В чем принципиальная разница арифметического и алгебраического способов решения? Каков характер мыслительных операций при том или ином способе решения задачи?        

Текстовые задачи, обычно решаемые в  курсах арифметики (отчасти и алгебры), по характеристике Л. М. Фридмана, представляют собой словесные модели ситуации задач, в которых учащемуся необходимо найти значение некоторой неизвестной величины (или нескольких величин). Нахождение  этого значения возможно потому, что оно однозначно определяется другими известными и неизвестными величинами и их взаимными связями с неизвестной величиной. В задаче имеются все данные для решения, но неизвестны операции, которые должны к нему привести. Основная трудность заключается в определении пути решения, т. е. всех операций, необходимо  ведущих к выявлению неизвестной величины. При этом сложность фабулы, ее индивидуальность нередко скрывает математическую общность многих задач и вынуждает каждый раз строить особое рассуждение, приноровленное к данному случаю.⁹                                              

Арифметический способ решения, сущность которого состоит в расчленении составной задачи на простые, направляет анализ ее условия на выявление отношений между отдельными величинами, входящими в эти простые задачи, на установление математических операций, соответствующих этим отношениям и приводящих к решению простых задач.

Причем необходимо не только найти  значение величин, без которых невозможно решение простых задач (неизвестных  еще из условия и, может быть, не исковых), но и определить необходимость вычисления именно этих значений. В совокупности этот анализ направлен на постепенное приближение и, наконец, определение неизвестной величины. Таким образом, при анализе и решении задачи устанавливается последовательность пар чисел и операций, которые приводят к установлению неявно заданной зависимости между искомой и данными величинами. В методике это как раз и обозначается как процесс расчленения составной задачи на ряд простых («план задачи», «вопросы» и т. д.), каждая из которых включает лишь одно арифметическое действие с парой уже известных чисел. Ход всего такого анализа и соответствующего ему решения можно выразить в виде схемы:

аR₁b

cR₂d …mR_kn = x.

Трудность решения при  этом состоит в том, что ни операции (R_i), ни их порядок (показанный стрелками), ни их компоненты (а, b, c, d, …, m, n) неизвестны (некоторые компоненты хотя и даны в условии, но неизвестно их место). В начале решения задачи схема представляется как ряд многоточий, с расположенными кое-где «островками» величин и вопросом задачи (х). Каждое правильное действие сокращает неизвестную часть этой последовательности на один элемент. В схеме постепенно выясняются все ее элементы и она приобретает свой окончательный вид:

аR₁b

…,

аR₁b

cR₂d … mR_kn = x.

…………………………

аR₁b

cR₂d …,

Таким образом, только в  конце этого пути и после установления всех величин, входящих в схему (в том числе величин, составляющих последнюю пару), можно выразить искомое:

х = тR_(k) п.

При таком способе  существуют и преподаются специальные  приемы решения отдельных типов  задач, связанных общностью хода решения. Они запоминаются и применяются  всегда, когда нужно решить аналогичную  задачу. Анализ ее условий в этом случае ограничивается распознаванием типа и восстановлением в памяти порядка решения. Процесс обобщения хода решения протекает здесь в форме сопоставления и сравнения ряда задач и выделения общих им ходов. Однако само по себе хорошее умение «подводить задачу под тип» не обеспечивает решения задач всех типов, так как нельзя ни ограничить их количество, ни жестко детерминировать их выявление при сложном содержании задачи.                      

В задаче имеются некоторые  внешние опознавательные признаки, ориентировка на которые может привести к решению и без развернутого логического анализа. Такими признаками служат словесные указания на определенные действия («больше на ...», «меньше в ...» и т. д.), указания к задачам или рубрики задачников («задачи на сложение», «задачи в два действия», «задачи на нахождение неизвестного слагаемого», названия типов задач и т. п.). Ориентировка на такие признаки иногда складывается стихийно. Она облегчает решение сравнительно несложных задач и порой создает иллюзию такого умения. Вместе с тем эти признаки часто указываются в методических пособиях, и ориентация на них становится в школьной практике предметом целенаправленного обучения.¹⁰

Арифметический способ решения задач, как ему обучают  и как он применяется в школе, в силу своих особых свойств не может быть общим способом. Он представляет более или менее полную совокупность приемов рассуждения, каждый из которых применим для решения конкретного типа задач.

В последние годы внимание многих специалистов обращено к созданию обобщенных приемов решения задач. Большой интерес представляют работы Л. М. Фридмана и его сотрудников, в которых предложена особая форма моделирования условия задач — составление граф-схем. Как отмечает Л. М. Фридман, эти схемы могут вести как к арифметическому, так и к алгебраическому способу решения в зависимости от характера задач и соответствующего вида граф-схем. Так, «открытые» задачи (по терминологии Л. М. Фридмана) могут быть решены арифметическим путем, и составление уравнения здесь не обязательно. Алгебраический способ необходим при решении «замкнутых» задач, не имеющих открытых «входов».¹¹

Алгебраический способ обеспечивает общий подход, общий принцип в  анализе и решении задач (всех или по крайней мере достаточно широкого крута). Его отличие от арифметического способа прежде всего состоит в введении неизвестной величины и ее специального обозначения. Дело, конечно, не в формальном введении такого обозначения. Само по себе оно могло бы служит лишь более удобной формой фиксации вопроса. Фактически же введение х (это, конечно, не единственное выражение неизвестной) позволяет действовать с ним как с реальной величиной при анализе и моделировании условия задачи. Благодаря этому можно представить задачу в виде уравнения.

Под уравнением мы имеем в виду формулу типа F₁ (a, b, …, т, x) = F₂ (a, b, …, т, x), где установлены некоторые зависимости F₁ и F₂ между известными (а, b, с, ... т) и неизвестными (x) величинами. Величина, обозначенная х, еще не известна по своему конкретному числовому значению, но уже включена в формулу как «известная» по своему общему функциональному смыслу.

Составление уравнения отличается от арифметического способа не только введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и самим характером моделирования зависимостей задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде формулы уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и еще неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции х, позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним как с функционально определенным образованием.

Характер деятельности человека при алгебраическом способе решения задачи существенно другой, чем при арифметическом. Она направлена прежде всего не на вычисление конкретных значений величин, а на выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи. Одну из важных проблем психологического исследования как раз и составляет изучение различной структуры деятельности и ее ориентировочной основы при разных способах решения задачи.

В некоторых методических и психологических работах алгебраический способ рассматривается как обобщение арифметического. Действительно, при составлении уравнения, как и при арифметическом решении, можно (но далеко не обязательно) опираться на вычленение отдельных видов зависимостей. В специальном исследовании Л. П. Доблаева и в ряде других работ по теории и методике решения задач показывается, что составление уравнения может быть ориентировано на тип задачи, что приемам такого анализа и подведения задачи под тип дети легче учатся при наличии в условии задачи конкретных величин. В этом отношении арифметический способ способствует формированию алгебраического.