Орта мектепте математиканы оқытуда ғылыми таным әдістерін пайдалану

b>c(екінінші пайымдау),

a>c(жаңа пайымдау)

Зерттеу әдісі ретінде  традицияның мағынасы мынаған тіреледі: кейбір қатыстығы екі объектінің ұқсастығын анықтап, осы объектілердің басқа қатыстағы ұқсастығы туралы қорытынды жасау.

Традукциялық ой қорытындысының маңызды түрі – аналогия ( грекше analogia – ұқсастық). Бір-бірімен ұқсас заттар белгілі қатыста бір-бірімен үйлеседі, аналогиялас заттардың сәйкес бөліктері белгілі қатыста үйлеседі.

Аналогия бойынша ой қорытындысын жасауды төмендегі  схема бойынша көрсетуге болады:

1-сілтеме. А объектісінің a,b,c,x,…қасиеттері бар.

2-сілтеме В объектісінің a,b,c,… қасиеттері бар.

Қорытынды: В объектісінің х қасиеті бар шығар.

Аналогия бойынша ой қорытындысын жасауды қандай да бір  объектіні    ( модельді) қарастырудан білген білімді басқа шала зерттелген (көрнектілігі жоқ) объектіге белгілі  мағынада көшіреміз.

Жалпы алғанда, нақты  объектіге аналогия бойынша жасалған қорытындының мүмкін деген ғана мағынасы бар; олар ғылыми болжамның, индуктивтік талқылаудың қайнар көзінің бірі болып табылады, ғылыми жаңалықтар ашуда маңызды роль атқарады.

Кез келген ұқсастық аналогия бола алмайтыны түсінікті.

Жазықтықтағы тіктөртбұрыш кеңістікте қарастырылатын тік бұрышты параллелепипедке аналогиялас, өйткені тіктөртбұрыштың арақатынасы параллелепипедтің жақтарының арақатынасына ұқсас.

Тіктөртбұрыштың қарама-қарсы  қабырғалары өзара параллель, әрі  тең, сондай-ақ іргелес жатқан екі қабырғасы өзара перпендикуляр.

Тік бұрышты параллелепипедтің  қарама-қарсы жақтары өзара параллель, әрі тең, сондай-ақ жақтары табандарына перпендикуляр.

Тіктөртбұрыш пен параллелепипедтің  қасиеттерінде бірдейлік және ұқсастықтар  бар. Ондай қатыстар; параллельдік, теңдік және перпендикулярлық. Сөйтіп, екі объект арасында жалпы қатыстар болып шықты. Аналогия дәрежесі әртүрлі болады: толымсыз аналогия, математикалық дәлдігі бар аналогиялар кездеседі. Біз математикалық дәлдігі бар аналогияларды қарастырамыз.

 

1.Аналогия  түрлері

Аналогия екі түрлі  болады:

1. Объектінің кейбір қасиеттерінің ұқсастығы бойынша оның басқа да ұқсастығына қорытынды жасайтын қарапайым аналогия.
2. Құбылыс ұқсастығынан себеп ұқсастығын тудыратын таралған аналогия.

Аналогяның бұл екі түрі өз кезегінде:

а) Салыстырылатын объектілер белгілері біріне- бірі тәуелді болатын  қатаң аналогияға;

ә) Салыстырылатын объектілер белгілері бірін-біріне тәуелділігі  айқын емес түрде болатын босаң  аналогияларға жіктеледі.

Ғылыми – зерттеу  әдісі ретінде аналогия кейде дұрысқа жақын қорытындыға келтіруі мүмкін сондықтан нәтижелі тәжірибен қатал талқылау арқылы тексеру керек.

Ақиқат қорытындыға келтіретін аналогияның терең түрі – изоморфим.

Екі немесе бірнеше объектілер жүйесінің изоморфтылығының аша отырып, осы жүйенің біреуіне орынды кез келген сөйлемді басқасына көшіре аламыз. Бұл жағдайды объектілер жүйесінің біреуінің ғана тере зерттеп, оған изоморфты объектіні қайта зерттемей-ақ қоюға болады.

Мысал ретінде аналотикалық геометрияны алуға болады, себебі онда оқытылатын геометриялық фигуралар мен олардың қасиеттері сандық объектілерге қолданылатын аналитикалық қатыстарға келеді.

Аналогияға мысалдар.

1. Тіктөртбұрыштың диагоналының  квадраты екі өлшемінің квадраттарының  қосындысына тең:

d²=a²+b²

Бұған аналогиялас сөйлем: тіктөртбұрышты параллелепипедтің диагоналының квадраты параллелепипедтің үш өлшемінің квадраттарының қосындысына тең: d²=a²+b²+c²

2. Тіктөртбұрыштың ауданы S=a*b формуласымен есептелсе, тік төртбұрышты параллелепипедтің көлемі V= a*b*c формуласымен есептеледі.

3. -2 – теріс сан, демек, -х-теріс сан. Шынында осылай ма?

4. формуласына қарап, деп жазуға болады ма?

5. m мен n – натурал сан болса, онда

Осы негізде p мен q кез келген нақты сан болса, онда

6. a+b=c

   a²+b²=c²

   a³ +b³=c³. Осы дұрыс па?

7.(a+b)¹=a+b,

   (a+b)²=a²+2ab+b²,

   (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³,

    (a+b)⁴= a⁴+4a³b+

………………………………………….

   8. Жазықтықтағы түзуге кеңістіктегі жазықтық ұқсас.

9. Жазықтықтағы биссектрисаға  кеңістікте биссекторлық жазықтық  сәйкес келеді.

10. Шеңберге жүргізілген  жанамаға сүйеніп, шарға жанама  жазықтық анықтамасын беруге  болады.

 

 

 

2.Математиканы  оқытуда аналогияны пайдалану  жолдары

 

Аналогияны математикада, сондай-ақ оқыту үрдісінде пайдалану  мәселелерімен Д.Пойа, П.М.Эрдниев, В.В.Репьев, т.б. айналысты.

Толымсызиндукция сияқты, аналогия да оқушының тапқырлығын дамытумен  бірге, кейде атүсті қорытынды жасауға  келтіреді. Екі жағын да мұғалім өз жұмысында ескеріп отырғаны жөн.

Аналогияның пайдалы  жағы:

Ұғым анықтамасын тұжырымдауда; фигура қасиеттерін тұжырымдауда; нүктелердің  геометриялық орнын есептеуде;теоремаларды дәлелдеуде; есептің шығару әдістерін іздестіруде қолданады.

Аталған мүмкіндіктерге жеке-жеке тоқталайық.

Планиметриядан кейбір анықтамалар:

• жазықтықта берілген бір нүктеден бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің жиыны шеңбер деп аталады;
• шеңбер центрінен өтетін хорда диаметр деп аталады;

Осы анықтамаларға сәйкес стереометрияда:

• кеңістікте берілген бір нүктеден бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің жиыны сфера деп аталады;
• шар центрінен өтетін хорда диаметр деп аталады;
• ең үлкен хорда шар диаметрі деп аталады анықтамалары беріледі.

Сонымен, планиметрияның шеңбер, шеңбер диаметрі, дөңгелек диаметріне ұқсастырылып, стереометрияның сфера, сфера диаметрі, шар диаметрі ұғымдарының анықтамалары беріледі.

Осы сияқты:

1. Жазықтықтағы бұрыш анықтамасына сәйкес екі жарты жазықтықтың арасындағы бұрыш анықтамасы.
2. Екі түзудің параллелдігінің анықтамасы бойынша екі жазықтық пен түзудің параллелдігі анықтамасы.
3. Кесінді ұзындығының анықтамасы бойынша аудан, көлем ұғымдары енгізіледі.

Фигура қасиеттерін  тұжырымдау. Аналогиялас тұжырымдардың ұқсас қасиеттері болуы әбден мүмкін. Әуелгі кезде осындай қасиеттерді тұжырымдауға оқушыларды төселдіреді. Ол үшін қандай фигуралар және олардың  қандай қасиеттері аналогиялас екеніне көңіл аударып үйретіледі, соңынан жаттығулар жасалады. Сондай-ақ байқалған аналогия қате екенін көрсететін мысалдар талданады.

Мәселен,

1. Санның 3- пен 9- ға бөлінгіштік қасиетін пайдаланып, санның 27- ге бөлінгіштігін аналогиялауға болады. «Егер санның цифрларының қосындысының 27- ге бөлінсе, онда сан 27- ге бөлінеді». Алайда бұл қате. Мәселен, 272, 745 сандары 3 пен 9-ға бөлінетіні рас, алайда 27-ге бөлінбейді.
2. Мұғалім: Тіктөртбұрыштың ұзындығын 2 есе арттырсақ, ал енін     2 есе кішірейтсек, оның ауданы қалай өзгереді?

• Оқушы: өзгермейді.

• Мұғалім: табанын 20% арттырсаң, ал енін 20% кемітсек ше?
• Оқушы: өзгермейді.
• Мұғалім: бұл қате аналогия, себебі есеп шарты бойынша

x=a+0,2a,

y=b-0,2b

Сонда

S=xy =(a+0,2a)(b-0,2b)=ab-0,4ab

Сонымен, тік төртбұрыштың ауданы 4%-ке кемиді.

3. себебі дер

Қысқарады. Бұл жерде lg15, lg3 тұтас символ екенін оқушы ескермегендіктен  қысқартылады.

4. Қосу мен көбейтудің ортақ қасиеттері болуынан оқушылар қате аналогияға келеді:

а) дегеннен шығады.

Егер үшбұрыштың барлық қабырғалары тең болса, онда бұрыштары  да тең болады. Бұл тұжырым ақиқат па? Мұны дұрыс алтыбұрыш үшін тұжырымда да дұрыстығын тексер.

3. Нүктелердің гнометриялық орнын іздестіру

Планиметрияда:

• берілген кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны осы кесіндісінің ортасынан перпендикуляр жүргізілген түзу болады.
• берілген түзуден бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны осы түзуге параллель болатын түзу. Ол екеу болады.

Стереометрияда бұған  аналогиялас сөйлемдер :

• берілген кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны осы кесіндісінің ортасынан перпендикуляр жүргізілген жазықтық болады.
• берілген жазықтықтан бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны осы жазықтыққа параллель болатын жазықтық. Ол екеу болады.
• кеңістікте (жазықтықта) АВ кесіндісінің ұшынан қашықтықтарының квадраттарының айырмасы тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орны осы кесіндісінің ортасынан өтетін перпендикуляр жазықтық  (түзу) болады. Осы сөйлемнің дұрыстығын дәлелдеңдер.

 

4.Аналогияны  пайдаланып есептер шығару

 

Теоремаларды дәлелдеуде, есептің шығару әдісін іздестіруде  аналогияны пайдалана алу үшін:

• берілген есепке аналогиялас есепті таңдауды үйрету керек;
• қосымша есепті шығарғаннан кейін, талқылауды берілген есепке  көшіру керек.

Мәселен, стереометрия есептерін шығаруда планиметрия есептерін пайдалану керек. Ол үшін жаттығуға аналогиялас есептерді алып, оларды қатар шығару пайдалы келеді.

Мысалы,

1. Қабырғаларды a, b және с болып келген үшбұрышты іштей-сырттай сызылған шеңбер радиусы r-ді есептеп табу керек.
2. Қабырғалары a, b және с болып келген үшбұрышты іштей сызылған шеңбер радиусы r-ді есептеп табу керек.

 

 

Әуелі 2- есепті шығарсақ қана, бірінші есепті ұқсас шығаруға болады.

Қосымша есепті шығару                     Негізгі есепті шығару

                       

               немесе                                                                 немесе

 

                                         

 

 

3. Трапеция ауданы                        Қиық конустың орта қимасының

табандарының қосындысының                        периметрін жасаушысына көбейт-

жартысын биіктігіне көбейт-                           кенге тең.

кенге тең:                                                            Аудан – орта қима периметрі,

                                                  х жасаушы.

Аудан – орта сызық, х  биіктік.

Осы анлогияны пайдаланып, мына есепті шығар:

Тік қиық конустың бүйір  бетінің ауданын төменгі табанның радиусы R, жоғарғы табанының r, биіктігі h бойынша есептеп табу керек.

 

 

 

Аналогияны  пайдалануда кететін қателер

және қарсы  мысалдар

 

Мұғалім есептегі дұрыс  аналогияны қолдап, қате аналогияны не өзі, не оқушының көмегімен ашып, қарсы мысалдар келтіру арқылы білімді толықтырып отыруы керек.

Мәселен, оқушының -2-ге қарап, -х-теріс сан деуі аналогиядан  кеткен қатесі. Ол үшін 3-ке 2;3; -2;-3 мәндерін беріп, -х-тің таңбасын зертттеу керек. Оқушыны бірден кейін серпіп тастамай, оны әуелі қолдап (х=2, х=3), кейін ойының жалпы жағдайда теріс екендігіне  (х=-2, х=-3) көзін жеткізу керек те, қорытындыны өзіне не басқаға жасатуы тиіс.

Қорытынды:

-х={оң сан, х<0 болса}

-x={теріс сан, х>0 болса}.

 

1. Оқыту әдістерін топтау туралы

 

Оқыту әдістерін топтауға да бірегей көзқарас жоқ. Кейде оны білім көздеріне (С.О.Лордкипанидзе, Н.М.Верзилин, Е.Я.Голант), дидактикалық мақсаттарына  (Б.П.Есипов) байланыстары жіктейді. Мұны біз дәстүрлік жүйе дейміз. Дәстүрлік жүйе қарапайым, әрі кең тараған.

Оқытудың дәстүрлік жүйесі даяр білімді меңгеруге бағыттайды. Мұғалім материалды әртүрлі дидактикеалық жабдықтарды пайдаланып баяндайды, ал оқушы оны қабылдайды, кітаптар оқиды, сұрау бойынша айтып береді. Бұл жағдайда оқушының оқу қызметі өнімсіз (репродуктивті) болып, тек даяр жинақталған білімді меңгереді. Көп жағдайда дәстүрлік жүйенің әсері аз, өйткені ол оқушының ойлау қызметін жандандырмайды.