Орта мектепте математиканы оқытуда ғылыми таным әдістерін пайдалану

a _k+1 = a _k + d=a₁+ (k-1) d=a₁+kd

яғни

a _k+1=a₁+kd

Демек, бастапқы формула  ақиқат болғаны.

2. b_n тізбегі – геометриялық прогрессия. Математикалық индукция әдісімен b_n=b₁q^n-1

екенін дәлелдеңдер.

Шешуі.

1. Егер n=1  болса,онда  b₁=b₁q⁰=b₁*1=b₁, b₁=b₁ болады.Демек, формула дұрыс.
2. Формула еркімізше алыгған n=k натурал саны үшін дұрыс болсын,яғни

a_k=a₁q^k-1 теңдігі орындалсын.

     Келесі наткрал сан n=k+1 үшін формулысының дұрыстығын дәлелдейік. Геометриялық прогрессия анықтамасын және индуктивтік жоруымызды ескеріп, мына арақатысты жаза аламыз:

a_k+1=a_kq

Сонымен,

a_k+1=a₁*q^k=a₁*q^(k+1)-1

Дәлелдеу керегі осы еді.

Демек, геометриялық прогрессияның жалпы мүшесінің формуласы кез келген натурал сан үшін ақиқат екен.

          Математикалық индукця әдісін  пайдаланғанда оқушыларда мынадай қате түрлері кездесіп қалады:

1. n=1, 2, 3, 4   дербес мәндері үшін пікірді тексереді де қояды. Бұл шығару әдісін ғана меңзейді. Екінші сатыны тастап кетуге болмайтынын еске ұстаған жөн.

       2. Екінші сатыны тексергенде n=k болсын деп дұрыс жорығанымен, осындағы k орнына k+1 санын қойып, қайта ұйғарым жасайды.Сөйтіп, екінші кезеңнің дәлелдеу керек бөлігін тастап кетеді. Оқушылардың математикалық индукция әдісін еркін пайдалана алмай қиналуы «егер...,онда» тіркестерін жиі қолданудан болады. Мұғалім керек деп тапса, бұл сөздерді ауыстырып отыруы қажет-ақ.

          Қазір пайдаланып жүрген толымды маематикалық индукция әдісін алғаш рет Блез Паскаль (1623-1662) өз еңбегінде қолданған. Бұл әдісті Яков Беркулли (1654-1705) кейінірек қайта ашты.

          Дедукция. Латынша – deduction –шығару деген сөз. Кең мағынада – дедукция белгілі ой тізбегі бойынша бұрынғы сөйлемдерді пайдаланып, жаңа сөйлемге, қорытындыға келу.

Кейде дедукцияны жалпы  талқылаудан, дербес қорытындыға көшіруді көрсететін дедукциялық ой қорытындысы  деп теанықтайды. Мұндай анықтама индукция мен дедукцияның бір-біріне кері үрдіс екенінен туған. Дедукция мен тндукция мазмұны түрліше болғанымен, өзара тығыз байланысты, қолданылуында бірін-бірі толықтырып отырады.

Егер үшбұрыштың   a,b,c   мен a_1,b_1,c₁ сәйкес қабырғалары, әрі a=a₁, b=b₁, c=c₁ болса, онда (a,b,c) = (a₁,b₁,c₁) болады. Үшбұрыштардың теңдігі дедукциялық қорытынды. Керісінше: екі үшбұрыш өзара тең болса, онда осы үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары өзара тең болады десек, соңғы қорытынды индукция болады:

(a,b,c) = (a₁,b₁,c₁ ) a=a₁, b=b₁, c=c₁

Математикалық теорияны баяндау дедукциялық  негізде іске асса, математикалық  фактіні зерттеуде екеуі қатар пайдаланылады.

Бастауыш сыныптар математикасында оқушының жас ерекшелігіне байланысты, ақыл-ойының дамуына сәйкес көбіне индукция пайдаланылса,

IV сыныптан бастап, дедукция мен индукция қатар пайдаланыла бастайды.

          Дедукцияны  оқыту үрдісінде пайдалану үшін  мұғалім оны сипаттаушы белгілерді білу қажет. Олар:     

а) дедукция көмегімен объектіге немесе сыныпқа тән қасиет көлемі басқа объекті мен сыныпқа тән екені анықталады;                                                                                     б) оның көмегімен жалпыдан  жекеге не оның бөлімшесіне көшуге болады;                          в)дедукция көмегімен тура пікірден тұжырымнан айқын қорытынды жасалынады.                                                                                                                                         Әрине, есте болатын нәрсе, математикалық пікірлерді дәлелдеуге бұрын дәлелденген  өзара байланысты  пікірлер жиыны нәтижесінде болады.  Мысал үшін вертикаль бұрыштардың теңдігін дәлелдеуді алайық.                      

Вертикаль бұрыштардың суреті салынады.

<1, <2 –вертикаль бұрыштар, бұлармен <3 іргелес бұрыш болсын.Бізге <1+<3=2d.   <2+<3=2d  ,екені белгілі.Олай болса <1+<3=<2+<3 <3=<4;                  <1=<2.  Мұны дәлелдеуге  төрт тұжырым пайдаланады.Оларды силлогизм дейміз. Дәлелдеуге силлогизмдерді пайдалансақ,сынып даярлығына  байланысты  оның кейбір  тұжырымын тастап  кетуге  де, айтпауға да болады.                                                         Силлогизм (грекше  sillogismos – санап шығу, түгендеу)-тұжырымдап анықталған ортақ атауы  бар екі пайымдаудан, қорытынды деп аталатын үшінші пайымдау алынатын ой қорытындысы.   Қорытындыға ортақ атау енбейді. 

Дұрыс екі тұжырымның нәтижесінде үшінші дұрыс тұжырым алынса, силлогизм болады. Мысалы: 1- сілтеме.  Қазақстанның барлық азаматы оқуға құқылы. 2-сілтеме. Омаров – Қазақстанның азаматы.                                                 Қорытынды.Омаров-оқуға құқылы.                                                                                           Пайымдау логикасында жаңа пайымдау  туатын  тұжырымды сілтеме,  ал  одан туындайтын  жаңа тұжырымды қорытынды деп атайды. Әрине ,олар  пайымдаулар болады.                                                                                                                        Жалпы пайымдау. Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас.                                                      Дербес пайымдау.Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас.                                                                        Қорытынды пайымдау. Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас болатынын дәлелдеу керек.                                                                                                                               Қорытынды жасау үшін сілтемеде  де  жалпы атау болуы тиіс.                                                  Дедукциялық ой қорытындысы мынандай көріністі береді.                                                     1.Жалпы жағдайдан одан шағындау  жалпы жағдайда  көшудегі ой қорытындысы ретінде:                                                                                                                   1-сілтеме.Жалпы пайымдау.Егер өзара жай сандар болса, онда (,)=1.                                      2-сілтеме. Дербес пайымдау. (13,17)=1                                                                                       Қорытынды .Жаңа дербес  пайымдау  13 пен 17 өзара жай сандар.                                       2. Бір жалпы  жағдайдан екінші  жалпы жағдайда көшудегі ой қорытындысы ретінде:                                                                                                                                            1-сілтеме.Жалпы жағдай. Бір кезде бірде-бір жұп сан тақ сан бола алмайды.                  3. Жекеленген ой қорытындысынан дербес қорытынды жасау ретінде:                                  3 саны-жай сан, 3 саны - натурал  сан.  Кейбір натурал сандар-жай сан болады. Толымсыз индукция мен аналогиядағыдай дедуктивтік талқылау арқылы  жасалған қорытындыға келмейміз. Сондықтан , математикалық сөйлемдерді дәлелдеуге  дедукция  кең  қолданылады. Оның үстіне  математиканың өзі аксиоматикалық негізде құрылған.                                                                                                                   Теореманың  дедуктивтік  дәлелдемелері қадамдардың  логикалық  тізбектілігінде ғана емес, олардың әрқайсысының белгілі математикалық ахуалға,  бұрын  қаралған  қағидаларға, мәселелерге негізделетінінде.                              Сонымен , дедукция деп пікірді қатал негіздеуді айтады екенбіз.                                         Шынында да, тереомаларды дәлелдеуге  синтездік және кейбір анализдік әдіс қолданады.Синтездік әдіс деп бұрын дәлелденген сөйлемнен жаңа теорема дәлелдеуін  шығаруды, ал  анализдік әдіс деп дәлелденетін  сөйлемді бұрыннан  белгілі пікірге  келтіруді айтамыз.                                                                                               Математикалық индукция да индукцияға жатады, өйткені ол да дәлелдеу  әдістерінің бірі.                                                                                                                             Математиканы оқытуда дедукцияны пайдалану.                                                                   Жоғарыда біз математикалық баяндауда дедукциялық жүйені пайдаланатынын  айтқанбыз.  Қабырғалары сәйкес  параллель не перпендикуляр болып келген бұрыштар туралы теореманы дәлелдеуге  барлық жағдайды  қарастыратынын, яғни Аристотель  индукциясын пайдаланатынын, ескерту керек, онсыз есеп шықты не теореманы дәлелденді деуге болмайды. Бұл алгебрада дәреже қасиеттерін жалпылауға  қолданылады. Сондықтан, мұғалім барлық жағдай қарастырылды ма? деп сұрап немесе қайшылыққа келтіретін мысалдар көрсетіп отыруы керек.                                                                                                                                  Математиканы оқытуда дедукцияны пайдалануды үйрету А.А.Столярша алғанда: 1) дедуктивтік дәлелдеуге үйретуге; 2) жаңа сөйлемді қосу арқылы  дедуктивтік жүйені кеңейтуге үйретуге тіреледі.                                                                       Басқаша айтқанда, тәжірибе жолымен, толымсыз индукциямен, басқа да табу әдісімен алынған нәтижені  түрлендіре отырып, реттелген арақатыспен жүйеге түсіру. Сөйтіп, бұрынғы теорияны кеңейту.                                                                                     а) Бірінші қағида Не?,  Қайдан?, Қалай?, сұрақтарымен іске  асырылады. Не? Сұрағының мазмұны кең. Мәселен, не берілді? Не белгісіз? Не дәлелдеу керек? Дәлелдемекші  сөйлем қалай тұжырымдалады?  Сөйлемді басқаша тужырыдауға бола ма? Белгілі мен белгісіздің байланысы неде? Теореманың шарты мен қорытындысы неде? Осы жерде біраз қиындық болады. Теореманы Егер, онда құрылысына түсірсек, мәселе біраз оңайлайды.  Сөйлемнің ондаға дейінгі бөлігі  теорема  шартын, ал  ондадан кейінгі  бөлігі теорема қорытындысын  көрсетеді. Мәселен, Вертикаль бұрыштар өзара тең сөйлемін, егер бұрыштар вертикаль болса онда олар  өзара тең болады құрылысына  өзгертсек, теорема шарты мен  қорытындысын табу  оңай.                                                          Теорема шарты; егер бұрыштар вертикаль болса.                                                                   Теорема қорытындысы: олар өзара тең болады.                                                                                    б) Қандай? –дәлелдемекші ой қай тұжырымнан, сілтемеден шығады? Бұл жерде теорема шарты мен қорытынды  мазмұнынын ой елегінен өткізіп, бұрыннан  белгілі, бірақ пайдаға асатын  ұғымдар мен сөйлемдерді еске түсіреміз. Олар түрлі көзқарастан өрбитіндіктен теореманы дәлелдеу  түрлі әдіспен өтуі мүмкін.                                                                                                                                                                                                                                                         В)Қалай?- дәлелдемекші сөйлем бұрыннан белгілі сөйлемнен қалай шығады?  Дегенге келтіру.

 

 

 

 

6. АНАЛИЗ БЕН СИНТЕЗ

 

Анализ бен синтез таным теориясының,  психиологияның, осыдан да математиканы оқыту әдістемесінің  негізгі  мәселелерінің бірі.                                            Олар диалектикалық бірлікте өмір сүріп, пихолог С.Л. Рубинштейнге айтсақ, анализ, синтез арқылы іске асады. Осыдан  да оларды

 

Анализ

        

Синтез

 

Схемасы арқылы көрсетуге болады.

Математиканы оқытуда анализ бен  синтезді бір кезде пайдалана  алу үшін олардың мағынасын түсіндірейік.

1. Анализ  деген  не?

Анализ (грекше analygis –жіктеу, бөлшектеу ,талдау)- оқып  үйренетін, зертттейтін объектіні (қасиетке , қатысқа, белгіге )  ойша не іс  жүзінде  бөлшектеу, зерттеу әдісі. Бөлік жеке –жеке зертттеліп ,кейін  себептері бірлікте, бүтін ретінде  қаралады.                                                                                                                   Жіктеу арқылы пайда болған  тізбек  сөйлемі (р₁ р₂   р_n) бұрыннан белгілі аксиомаға, анықтамаға , бұрын дәлелденген теоремаға келеді.                                                 Тізбектің соңғы сөйлемі (р_n)  дәлелдемекші пікір болып шығады. Әрине , тізбектің сөйлемі,  өзара белгілі қатыста болатыны айқын.                                                Фигура не ұғым  анализден өтпесе, оны танылды  деуге болмайды.                                       Әрине , фигураны  оқығанға  дейін   ол  туралы  біліміміз   болады.                                   Дөңес  көпбұрыш,   тұйық  фигура,   жазықтық  бөлігі, тұйықталған   сынық , қабырғалары санаулы,  екі  қабырғасының ортақ бір нүктесі бар  деген  сияқты.                        Ендігі  мақсат , осы мағлұматтардың ішінде ерекше  сипаттың параллелограмға тиістісін іріктеп алу, басқаша айтқанда , оның  қасиеттерін білу.                                                                                                                                               Олар:  1) қарама –қарсы  қабырғалары параллель,  қарама –қарсы  қабырғалары тең,  дөңес төртбұрыш;                                                                                                                   2)  диоганальдары қиылысу нүктесінде  қақ бөлінеді, диоганаль параллелограмды тең екі үш  бұрышқа бөледі.                                                              Анализ түрі объект  түріне және алға қойған  мақсатқа   бай ланысты.                                     Кеиде бүтінді бөліктерге  жіктеп , бөліктерді  жеке –жеке тану немесе түгел тану  мәселесі қойылады.Сөйтіп бүтіннің қасиеті танылады.                                                      Объект туралы баста біліміміз болғандықтан , анализ бен синтез астарласып  келеді.                                                                                                                                                 Белгісізден белгіліе қарай жүретін ой өрісін  де  анализ деп түсінеміз.                                              2. Синтез  мазмұны                                                                     Синтез (грекше sintheos- біріктіру , құрастыру , теру )  -анализ просесінде бөлшектенген объектінің бөліктерін, өзара әсер  мен  байланысын анықтап,  біріктіру.                                                                                                                                                     Сондай-ақ  анализ бен синтез жалпылау , дерексіздеу ,  салыстыру және  аналогиялармен астарласа жүреді. Тәжірибе мен бақылау да, табу әдісі  оған  өз көмегімен  тигізеді.                                                                                                                           Оқушылардың өздерін қатыстыра отырып , оның  математикалық қызметін  ұйымдастыру материалды саналы  түсінуге  мүмкіндік береді .                                           Сөйтіп , анализ  бен синтездің қайтымды  бірлігі, теореманы , теңбе- теңдікті , теңсіздікті дәлелдегенде ,  салу  есептерін шығарғанда  геометриялық  орындарды  іздегенде , теңдеу құрып есеп шығарғанда,  күрделі  есептерді қарапайым  негізгі  есептерге  келтіргенде ,ұғымдар  арасындағы қатынастарды  анықтағанда қолданылады.                                                                                                       Оқушыларды   дәлелдеуге  үйретуде  дәлелдеу керегі не?  Дегеннен  яғни белгісізден  бастап , бұрыннан  белгіліге  қарай  аустыруды үйретеміз.                                  Сөйтіп,  қандай тұжырымнан,  не сілтемеден   шығады?  Деген  негіздеу  екі  жолмен:  жоғарыдан  төмен  қарай  және  төменнен  жоғары  қарай  өтеді. Бұл бір-біріне  кері  екі   процестің  дәлелдеуде  қолданылуын   мысалмен   көрсетейік.                                                                                                                                               Анализ  бен синтезде  пайдалану.         1. Егер а 0, b 0,  болса,  онда                     Дәлелдеудің белгісізден бастау  әдісі  бойынша  жоғары дан  төмен  қарай және төменнен  жоғары қарай, яғни қорытындыдан  негізге  қарай  жылжимыз.

Төменгі  саты (мәселен, II)  оның  алдындағы (I)  сатының тікелей нәтижесі  болғандықтан ,   алдымен  силлогизм  қорытындысын (II)  дәлелдеу  керек.   Осындай  бірте-бірте төмендеу арқылы  дәлелдеуді  талдаймыз.Енді анализ  бен  синтезге көшу  арқылы  процесті  аяқтау  ғана қалды.  Ол үшін төменнен (негізден)  жоғары  (қорытындыға)  қарай  жылжимыз.                                                                   Сөйтіп, дәлелдеу      схемасы бойынша өтеді.Неден бастайтынымыз белгілі болғандықтан ,   дәлелдеуде анализді  қолдану ( ) оңай, ал  синтезді  пайдалану  қиын ,  өйткені  неден бастайтынымыз белгісіз.                                                         Сондықтан,  мұғалім  бұл   жағын  ескергені жөн.                                                                Кейде тәжірибесі   аз  мұғалімдер:                       екенін дәлелдеу  үшін  (а-в)² 0   теңсіздігінен бастайды .Бұл оқушылардың белсенділігін  тудыру  орнына , оларды  селқостыққа  бастайды.

 

Айтылатын ой мына схемада  келтірілген.

 

Жоғарыдан төмендеу	I Теңсіздікті  мүшелеп 4ав-ге бөліп,       бөліндіден квадрат  түбір  табу
Дәлелдеу керегі  Теңсіздіктің  екі жақ бөлігін де квадраттап,  мүшелеп 4-ке бөлеміз	Теңсіздіктің сол  жақ  бөлігін екі      II санның қосындысының квадраты        ретінде жазу
Теңсіздіктің сол  жақ  бөлігін  квадраттайық	III  Теңсіздікке (IV) мүшелеп аb-ні             қосу
4ав-ні теңсіздіктің  сол жақ бөлігіне  көшіреміз   және  ұқсас мүшелерін біріктіреміз	Теңсіздіктің (V) сол жағын               IVквадраттау
Теңсіздіктің  сол  жақ бөлігін  екі санның айырмасының  квадраты түрінде  жазамыз.Бұл ақиқат  сөйлем: теріс емес екі санның айырмасының квадраты  оң сан болады.	Кез-келген  екі сан үшін  ақиқат  Vтеңсіздікті (V)  жазу. Төменнен жоғарылау

 

2.   Аталған мәселелердің теоремаларды  оқытуда алдымен анализ бен синтездің пайдаланылуын нақты   жағдай  үшін , мәселен,  параллеограммның қасиетін  дәлелдеуге қарастырайық. 

 

 

 

Теорема

 

Тура теорема                                                        Кері теорема

 

Берілгені:                                                              Берілгені:

          AB II CD                                                                  AB = CD

AD II BC                                                                  AD = BC        

Дәлелдейтініміз:                                                  Дәлелдейтініміз:

AB=CD, AD=BC                                                  AB II CD, AD II BC

Анализ:                                                                 Анализ:  

 

Мұғалім:      Біз  AB  және   CD                      Мұғалім:

кесінділерінің        өзара         тең                     AB II CD, AD II BC.

екенін    көрсетуіміз   керек.  Бұл                      Бізге екі кесіндінің параллельдік-

кесінділер қандай фигуралардың                      тің қандай белгісіне сәйкес                             

элементтері        болып        тұр?                      келеді?

 

Оқушы: Үшбұрыштардың                               Оқушы: Екі параллель түзуді                                                                            

қабырғалары.                                                      үшінші бір қиюшы деп аталатын

 

Мұғалім: Дұрыс. Тек есте                                түзу қиғанда, пайда болған сәйкес

болатын нәрсе, өзара тең                                  бұрыштар шамасы өзара тең болса,

үшбұрыштардың сәйкес қабыр-                     ондай кесінділер өзара параллель

ғалары тең. Бұл қай үшбұрыштар?                  болады.

 

Оқушы:                                                  Мұғалім: осы айтқанды пайдалана

                                                                             Алу үшін сызбаны кім толықты-

Мұғалім: Бұл үшбұрыштардың                        рып көрсетеді? Көрсетілген бұ-              

Тең екенін қалай дәлелдейміз?                         рыштардан теңдігін қалай дәлел-

                                                                             дейміз?