Методика работы над составной задачей

В качестве п  о д г о т о в и т  е л ь н ы х у п р  а ж н е н и й  к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы  и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:

1)  Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?

2) Брат и сестра  купили тетради по одинаковой  цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что  брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 9 руб. Отсюда можно  заключить, что три тетради стоят 9 руб., значит, можно узнать, сколько стоит одна тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

После  подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав знакомую задачу на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и в другом случае надо записать кратко в таблице или выполнить рисунок и после того коллективного составления плана записать решение (лучше отдельными действиями с пояснениями). 

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида. По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям.

Итак,  задачи на нахождение неизвестного по двум разностям – задачи, которые включают две переменные величины и  одну постоянную, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

2.4. Задачи  на движение

 

Задачи, связанные  с движением, рассматриваемые  в начальных классах, включают в себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи  по существу математических зависимостей между величинами, входящими в задачу,  структуре и их моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера рассмотрим пару задач и их решения:

1.А) Из двух  городов, находящихся на расстоянии  280 км, выехали одновременно две машины. Через сколько часов машины встретятся, если скорость первой машины 60 км/ч, второй – 80 км/ч.

Б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинак4овых деталей. За сколько часов они могут  это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60 деталей, а второй 80 деталей?

Приведем арифметические и алгебраические способы решения  этой пары задач:              

280:(80+60)=2                       (80+60)*х=240

2.А) За 6 часов  рабочий изготовил 120 одинаковых  деталей. Сколько деталей он изготовит за 3 часа?

Б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет  за 3 ч, если будет идти с той же скоростью?

Эту пару задач  можно решить тремя способами:

1-й способ                   2-й способ                   3-й способ

1) 120:6=20                  1)6:3=2                        6ч=380 мин

2) 20*3=60                   2) 120:2=60                 3ч=180мин                                       

                                    1)360:120=3                                                                         

2)180:3=60

Как видим, структура, модели и способы решения как  арифметические, так и алгебраические полностью совпадают. Но задачи связанные  с движением, традиционно  выделяют в особый тип, так как эти задачи имеют свою особенность. Особенность состоит в том, что они построены на основе функциональной зависимости между величинами: скоростью, временем и расстоянием.

Подготовительная  работа к решению задач связанных  с движением, предусматривает: обобщение  представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения  представлений детей  о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (машина, человек, ит.п.) может двигаться быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаться друг к другу (двигаясь на встречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и  т.п. обозначают либо черточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелкой.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так  организовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость  своего движения пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояние по 10 м, чтобы удобнее было находить, какой путь прошел каждый ученик. Учитель предлагает идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что расстояние, которое прошел ученик за минуту, называют его скоростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель называет скорости некоторых видов транспорта.

Раскрытие связей между величинами: скорость – время – расстояние  ведется по такой же методике, как и раскрытие связей между другими  пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи:

если известны расстояние (S) и время (t) движения, то можно найти скорость (v) действием деления;    v=S:t

если известны скорость (v) и время (t) движения, то можно  найти расстояние (S)действием умножения;   S=v*t

если известны расстояние (S)и скорость  (v), то можно найти время (t) движения действием деления    t=S:t.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе  и задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление,  на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над  этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде  чертежа, так как чертеж помогает правильно представить жизненную задачу, отраженную в задаче.

Так же как и  при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразование и составление задач.

Среди составных  задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения. До введения задач на встречное движение важно провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные ученики. Например, два ученика-пешехода начинают двигаться одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены, и что каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на улице за движением автомашин, пешеходов, велосипедистов и т.п. Расширить представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит 'вышли одновременно' пешеходы, автомашины и т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы ученики твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые задачи. При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на одном уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном выходе пешеходы, велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость каждого и время движения до встречи. 

Ознакомление  с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три  взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решении. На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач. На этом этапе эффективны упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.

Таким образом, специфика этих задач обуславливается  введением такой величины, как  скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают не отношения между величинами, а  процесс движения и во многом облегчают поиск решения.    

 

 
 
 
 
 
 
 

2.5. Моделирование  в процессе обучения решению  составных задач

 

Использование моделирования имеет два аспекта. Во-первых, моделирование является тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. [16;с.45]

В психолого-педагогической и методической литературе под моделированием понимается построение моделей с целью их изучения или получения новых знаний об объектах. Под моделью понимается мысленно или специально созданная структура, которая отражает в упрощенной и наглядной форме все основные связи и соотношения между элементами задачи, т.е. отражает содержание конкретной задачи. 

Неотъемлемой  частью решения любой составной  задачи является построение ее модели, исследование которой служит средством  для получения ответа на требование задачи.

В процессе решения  текстовой задачи обычно выделяют три этапа математического моделирования:

I. Построение математической модели: анализ задачи и перевод условия задачи на математический язык, т.е. выделение исходных данных и искомых величин, описание связей между ними.

II. Решение задач в рамках выбранной математической модели: нахождение значения выражения, выполнение арифметических действий, решение уравнений и неравенств.

III.Интерпретация результатов: перевод полученных решений на естественный язык, получение значений искомых величин.

IV. Модернизации модели. Этот этап, как правило, является необязательным. Однако в некоторых случаях полезно в учебных и познавательных целях произвести анализ выполненного решения, в результате которого можно установить, нет ли другого, более рационального решения, какие выводы можно сделать из полученного решения, можно ли задачу обобщить и т.д. (см. приложение 6)

Первый этап, связанный с выявлением зависимостей между искомыми и данными, а также  данных между собой, является наиболее сложным и часто вызывает затруднения. Для облегчения процесса решения задачи и скорейшего нахождения пути решения от словесной модели ситуации, описанной в задаче, сначала переходят к вспомогательной модели, а уж затем к математической.

Под вспомогательной моделью понимается такая форма фиксации задачи (наглядная интерпретация задачи), которая отражает все ситуации, рассматриваемые в задаче, связи и отношения между величинами, а также данные и искомые задачной ситуации.

Построение вспомогательных  моделей в процессе решения задач  выступает как средство наглядности, помогающее упростить рассматриваемые в задаче ситуации с целью поиска пути ее решения. При этом задачная ситуация преобразуется таким образом, что все ее элементы, отношения между данными и искомыми, входящими в задачу, представлены в легкообозримой форме.  В процессе построения вспомогательной модели происходит переформулировка задачи и появляется идея, которая может привести к решению, т.е. к математической модели.  В качестве вспомогательных моделей могут выступать схематизированные и знаковые модели.

Схематизированные модели подразделяются на вещественные (предметные) и графические.Вещественные модели обеспечивают физическое действие с предметами: палочками, пуговицами, полосками бумаги и т.д. К этому виду моделей относят и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче. Графическими моделями являются: рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (схема).[2;с.23]

Рисунки могут изображать реальные предметы (людей, животных, растения, машины и т. д.).  Наусловном же рисунке изображается реальные предметы условно, в виде различных фигур: квадратов, кружков, прямоугольников и т. п.

Чертеж представляет собой также условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и соблюдением определенного масштаба.

Чертеж, на котором  взаимосвязи и взаимоотношения  передаются приблизительно, без точного  соблюдения масштаба, называется схематическим чертежом, или схемой.