Методика работы над составной задачей

Не следует путать такие  понятия, как: решение задач различными способами; различные формы записи арифметического способа решения  задачи (по действиям, выражением, по  действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными  арифметическими способами. В последнем случае речь идет о  возможности установления различных связей между данными и искомыми, а, следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи. 

В начальном курсе обучения дети также знакомятся с графическим способом.   Опираясь только на чертеж легко дать ответ на вопрос задачи. Иногда решение задачи графическим способом связано не только с построением отрезков, но и с измерением их длин. Графическая модель – наиболее удачная опора для построения  мысленной модели задачи: с одной стороны, она достаточно конкретна, воспринимаема зрительно,  с другой – полностью отражает внутренние связи и количественные соотношения в задаче. [8;200.]

В числе способов решения задач можно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического  способа решения, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание, схема моделирует только связи и отношения между  данными и  искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство). Тем не менее, моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить на вопрос задачи.

Также выделяют логический способ решения  –   это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.

Решить задачу практическим методом –  значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. д.). Не всякая задача решается практически. В, частности, задачи на движение и на работу, в которых речь идет о больших - расстояниях или длительных временных интервалах, невозможно решить практически.

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; арифметический и практический; и т. п. в этом случае считают, что задача решаетсякомбинированным (смешанным) методом. [15;650.]                                                                                                                                                                                                                                                                              

Таким образом, задача - это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Она состоит из условия и вопроса. Существуют различные классификации задач: по характеру связей между элементами задачи, по количеству действий которые необходимо выполнить для решения задачи и др. В качестве основных способов решения составных задач в математике различают арифметические и алгебраические способы.

1.2. Этапы  решения  задачи         

 Процесс решения  каждой арифметической задачи  осуществляется поэтапно, независимо от способа решения.

Рассмотрим возможный  план работы учащихся над  задачей:

1.Анализ текста задачи;

2. Схематическая запись условия;

3. Поиск решения; составление  плана решения;

4.  Осуществления плана решения задачи;

5. Проверка полученного ответа.

Этот план может  существенно меняться, если задача решается устно или составлена по иллюстрации.

1.Анализ текста задачи. Основное назначение этапа – осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условие и требования, назвать данные и искомые, выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные).

На этом этапе  решения задачи используют  следующие приемы.       

  Прочитаем, например, такую задачу: По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч от идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за это время собака?

Разобраться в  содержании этой задачи, вычленить  условие и требование ее можно, если задатьспециальные вопросы по тексту и ответить на них. 

1. О чем эта задача? (Задача  о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)

2. Что требуется  найти в задаче? (В задаче требуется  найти расстояние, которое пробежит  собака за все это время.)

3. Что означают слова 'за все это время'? (В задаче говорится, что собака бегает между мальчиками  'с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'. Поэтому слова 'за все это время' означают 'за все то время с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого'.)

4. Что в задаче  известно о движении каждого  из участников его? (В задаче  известно, что: 1) мальчики идут в  одном направлении; 2) до начала  движения расстояние между мальчиками  было 2 км; 3) скорость первого мальчик,  идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; 5) скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движения всех участников одинаково: это время от начала движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчиков, т.е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)

5. Что дальше  известно? (В задаче неизвестно, в  течение, какого времени второй  мальчик догонит первого, т.е.  не известно время движения  всех его участников. Неизвестно  также, с какой скоростью происходит  сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.)

6. Что является  искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения? (Искомым  является значение величины - расстояния, которое пробежала собака за  общее для всех участников время движения.)

Большую помощь в осмыслении содержания задачи и  создания основы для поиска решения  задачи оказывает переформулировка текста задачи – замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но и более явно их выражающим.[4;с. 161] Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбиением текста на смысловые части. Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание  не  существенной,  излишней  информации; замена  описания некоторых  понятий  соответствующими  терминами  и,  наоборот, замена некоторых  терминов  описанием  смысла  соответствующих  понятий; переорганизация  текста  задачи  в  форму,  удобную  для  поиска  решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно переформулировать следующим образом: 'Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (первая часть задачи). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время ходьбы мальчиков - это время, в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость бега собаки 8 км/ч. Время бега собаки равно времени ходьбы мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака'

2. Схематическая запись условия

Составление по условию задачи чертежа, схемы, рисунка  и т. д., т.е. интерпретация условия  задачи – не самоцель. Она выполняется  (учителем, или учащимися под руководством учителя, или самими учащимися – в зависимости от их подготовки, от сложности задачи) только тогда, когда ученики не могут решить данную задачу. Рассмотрим несколько видов интерпретации условия.

К р а т  к а я  з а п и с ь  у с л о в и я  з а д а ч и. не существует какой- либо определенной формы краткой записи условия.  Критерием эффективности краткой записи являются признаки: краткая запись наглядно представляет связи между  величинами и соответствующими числовыми данными задачи; по ней ученик способен самостоятельно воспроизвести условие задачи[4;с. 163].

Учитель должен соблюдать разумную меру в использовании  символов для краткой записи условия  задачи (скобок, стрелок  и т. д.). Такая символика  - это язык, усвоение которого требует от учащихся затрат времени и сил, а возможности его весьма ограничены.

В краткой записи условия отсутствуют  многие несущественные  элементы, содержащиеся в тексте задачи. Поэтому ученику легче выявить ее математическое содержание.

В средних и  старших классах навыки краткой  записи условия задачи, приобретенные  учащимися в начальной школе, используются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии.

Ч е р т  е ж   п о   у с л о в и ю    з  а д  а ч  и .   Многие задачи можно иллюстрировать чертежом.   Он  в большей степени, чем краткая запись условия, приближает учащихся к математическому содержанию модели. Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения  значений величины, а так же  при решении задач, связанных с движением. В последнем случае принято изображать отрезком расстояние, пройденное движущимся телом, стрелкой – направление движения, флажком или столбиком - " пункты"  на пути, движущегося тела. При это надо соблюдать указанные в условии отношения: большее расстояние изображать большим отрезком. [1;с.178]

Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение схематически изображает соответствующую жизненную  ситуацию.

Еще более наглядно содержание задачи можно представить иллюстрацией, в которой условие задачи интерпретируется с помощью разрезного наглядного материала, схематического или образного  представления объектов, рассматриваемых в задаче. Она помогает создать яркое представление той  жизненной ситуации, которая описывается в задаче, что в  дальнейшем послужит отправным моментом для выбора действия.

Навыки выполнения краткой записи условия задачи,  чертежей по условию задачи, приобретенные учащимися в начальной школе, будут полезны им и при решении математических задач в средних и старших классах.    

3. Поиск решения; составление  плана решения.

Цель данного  этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Решение задач – сложная интеллектуальная деятельность. Описать ее содержание в полном объеме невозможно, даже если иметь в виду деятельность, осуществляемую младшим школьником. [4;с.166.]

На этом этапе  ученики должны выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа, установить связи между данными и искомым и на этой основе выбрать соответствующие арифметические действия.

По существу поиск решения задачи начинается уже при анализе текста задачи и не заканчивается даже тогда, когда  ответ получен и проверен. Идея нового способа решения может прийти тогда, когда, казалось бы, получен исчерпывающий ответ на вопрос задачи.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является достаточно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, которые помогают осуществлять этот этап.

Одним из приемов  поиска пути решения задачи является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь). [15;с.427].

Аналитический метод. Анализ – логический прием, состоящий в расчленении исследуемого объекта на составные элементы и исследовании каждого из них в отдельности. Он может использоваться многократно.

Разбор  задачи от вопроса  к данным - это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными. Для их нахождения подбираются два других, и так продолжается процесс подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин. В результате такого разбора учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, расчленяют ее на простые задачи и составляют план ее решения.

Синтетический метод. Синтез – логическая операция установления связи между составными частями исследуемого объекта и изучения его как единого целого. Исследуемый объект называется в требовании задачи, а его элементы описываются в условии. Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается следующий вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи.

Аналитико-синтетический  метод.  Значительно чаще, используется на практике, чем аналитический и синтетический методы. Он сочетает элементы и анализа и синтеза. Так при решении сложной задачи она с помощью синтеза разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.

Обучение учащихся начальных классов рассмотренным  методам поиска решения задач  сводится к обучению их правильному формулированию вопросов, соответствующих аналитическому или синтетическому методу.

При разборе  задачи нового вида учитель должен в каждом отдельном случае поставить  детям вопросы так, чтобы навести  их на правильный или осознанный выбор арифметических действий.

Очень важно  чтобы вопросы не были подсказывающими, а вели бы к самостоятельному нахождению пути решения задачи.

Разбор задачи заканчивается составлением плана  решения.

План решения  – это объяснение того, что узнаём, выполнив то или иное действие, и указания по порядку арифметических действий.

Часто при введении задач нового вида ученики затрудняются самостоятельно составить план решения, тогда им  помогает учитель.