Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі

Б.э.д. V ғасырда, Пифагор мектебінде кесінді үзындығын дәл өлшеу үшін оң рационал сандардың жеткіліксіз болатындығы тағайындалды. Кейінірек, осы мәселенің шешілуіне байланысты I иррационал  сандар  пайда  болды,  ал     XVI  ғасырда  ондык ■ бөлшектердің енгізілуіне байланысты нақты сандарға қарай қадам жасалды. Нақты санның қатаң тұрдегі анықтамасы меы нақты Цсандар жиынының қасиеттері XIX ғасырда түжырымдалды. '       Нақты сан ұғымы сандар қатарындағы ең соңғы ұғым емес. Сан ұғымын кеңейту прцесін одан әрі жалғастыра беруге болады және бұл процесс жалғасады да - мүны математиканың және басқа да ғылымдардың дамуы талап етуде. Мәселен, комплекс сандар теріс сандар сияқты, математика ғылымының іштей дамуына, атап айтқанда алгебралык теңдеулерді шешу тәжірибесіне байланысты пайда болды. Тарихи тұрғыдан алғанда, комплекс сан ұғымы XVI ғасырда екшші дәрежелі теңдеулерді шешу мәселесінен келіп шыққан. Комплекс сандар нақты сандар сияқты мөлшерді сипаттағанымен, нақты сандар терминдерінеде құрастырылған есептерді шешуде оларды қолданудың пайдасы тиеді. Таза математикалық есптерді шешу барысында да комплекс сандарды қолдану маңызды болып саналады. Мәселен, куб теңдеулерінің нақты түбірлерін табу комплекс сандарға амалдар колдануды талап етеді. Комплекс сан деп ^^(мұндағы а,Ье К, ал / - қандай да бір символ) тұріндегі өрнекті түсінеді. Барлық комплекс сандар жиынын С деп белгілейді. Сонда 2=а+Ыкомшіскс сандардағы «з-ны оның нақты бөлігі Ь санын жорымал белгі деп атайды. Комплекс санды жазықтықта вектор тұрінде немесе нүкте тұрінде кескіндеп көрсетуге болады.

Сан ұғымын жалпылау барысында қазіргі кезде гиперкомплекс сандар ұғымы келіп шықты. Гиперкомплекс сан ұғымы комплекс санға қарағанда неғүрлым кең ұғым. Гиперкомплекс сандардың қарапайым мысалы физика мен техникада, атап айтқанда электр және элкетро-техника теориясында қолданылатын векторлық алгебраның дауына себепші болған кватерниондар болып табылады. Сондай-ақ, самолет қанатының прфилін (пішінін) анықтау мен самолет теориясының негізгі заңдылықтарын қорытындылауда комплекс сандарлың қолданылуын ерекше атап айтуға болады.

Сан жайындағы жаңа түсініктердің пайда болумен бірге осы жаңа сандық объектілерге амалдар қолдану ережелерін негіздеу

қолға алынып отырылды. Алайда, сандар және оларға қолданылатын амалдар жайындағы жинақталған мәліметтер математикалық теория ретінде XIX гасырдыд скіиші жаргысында, көптеген көрнекі математиктер математиканы негіздеу мәселесімен айналыса бастағанда ғана бір жүйеге келтірілді.

Қазіргі кезде әр тұрлі сандық жиындарды мына ретпен қарастыру қабылданған: натурал сандар (Ы жиыны),    бүтін сандар (2 жиыны), рационал сандар (С> жиыны), нақты сандар (К. жиыны), комплекс сандар (С жиыны)

Алгебра жалпы ұғым ретінде. Біз жиындармен, пікірлермен, предикаттармен, саыдармсн және т.б. жүрпзшетш операциялармен таныспыз. Демек бұл, операцияларды табиғаты әралуан кез-келген объектілермен жүргізуге болатындығын және бұл жағдайды оның көптеген жалпы қасиеттерінің сақталатындығын білдіреді.

[ Сондықтан табиғаты  әралуан объектілерге қолданылатьш : операцияларды бірізді көзқарас  негізінде зерттеуді жүзеге асыру

| мақсатында және осыған  мүмкіндік туғызу үшін берілген жиындағы алгебралық операция ұғымы енгізіледі.

Біз әрбір нақты операцияньщ  өз белгісі бар екендігін білеміз. Мысалы: қосу - "+" таңбасымен, азайту - "-" атңбасымен, көбейту -"л"   немесе   "."   таңбасымен,   бөлу   -       ":"   таңбасымен

I белгіленеді.Дербес      жағдайларда      амалдарды      алгебралық

| операциялардың мысалы  ретінде қарастырғанда, бұл таңбалар сәйкес амалдардың белгіленуі ретінде пайдаланылады. Бірақ та ;жалпы    алғанда,    алгебралық    және    дербес     алгебралык операцияларды белгілеу үшін *, о, т және басқа шатты таңбалар қолданылады. Сондықтан ъ элементі (х,у) элементтерімен жүргізілген операцияның нәтижесі деген былай белгіленеді: х*у, хоу, хТу және т.б.

Алгебралық  операцияның таңбасы компенентерінің арасына қойылады. Сонымен бірге бұл жазу операцияның нәтижесі алгебралык операция берілгсн жиыи элсіҮісш ісрінің ренелген парына сәйкес келетін оның үшінші элементін көрсетеді.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мектепте  оқылатын геометриялық ұғымдардың жүйесі

Мектеп  матиматика курсында геометрияны оқып-үйренуге айтарлықтай орын берілген. Қазіргі қолданылып жүрген оқу бағдарламасы мектепте оқылатын дәстұрлі геометриялық білім мазмұнына да, оны оқыту жүйесіне де үлкен өзгерістер енгізді. Ғыльши-техникалық ирогрестщ қазіргі заманғы өскелең талаптарына сәйкес мектеп геометриясы курсын аксиоматикалық тұрғыда күруда ұғымдар мен анықтамалар жүйесін жасауда қатаңдық күшейтілді.

Геометрия курсы  пән ретінде өзінің бүкіл өмір сүру кезеңінде барлық дүниежүзінің елдерінде евклид аксиомалары жүйесі негізінде құрылған. Көптеген ғалымдардың математиканы дамыту барысында Евклид геометриясының логикалык күрылымын жетілдірумен айналысуы түсінікті де. Бастапқыда мұндай жетілдірулерді кейбір ғалымдар (Дж. Пеано, М. Пиери, М.Паш, В.Ф.Каган) евклид геометриясының жекеленген бөліктеріне енгізе бастады. Кейінірек Давид Гильберт (1862-1943) геометрия аксиомаларының толық жүйесін құруды жүзеге асырды. Атап айтқанда Д.Гильберттщ "I еометрия негіздемелері" деп аталатын жүмысы дүние жүзінің көптеген елдерінде мектеп геометриясы курсын құруға негіз болды.

1918 ж. белгілі  математик Г.Вейльдің (1885-1955 ж.) евклид  геометриясының "векторлық" деп  аталатын негіздемесі ұсынылды. Вейль аксиоматикасы евклидтік (нүктелік) кеңістіктің теориясын сызықтық алгебра тіліне аударады. Бұл теоремалардың дәлелдемелерін алгоритмдеуді жүзеге асыруға мүмкіндік берді және геометрияны оқып-үйренудің жаңа "патшалық жолын" ашты. Н. Бурбакидің жүмыстарына байланысты математиканы "алгебраизациялау" қозғалысы пайда болды.

Бұл Вейль аксиоматикасы негізінде құрылған п өлшемді геометрияның ерекше ролін мүмкін болатын ғылыми қолданулар тарапынан ғана емес, сонымен қатар орта мектептің оку пәні ретіндегі Евклид - Гильберт геометриясын осы геометриямен ауыстыру мүмкіндігі тарапынан бағалауға алып келді.

Оқушыларын  стерометрия курсын (планометрияны  жалпылау) Вейль аксиоматикасы негізінде  оқып-үйренуге дайындау мақсатын көздеген В.Г.Болтянский мен И.М.Ягломның эксперименттік оқулықтары, сондай-ақ стеореометрия курсын Г.Вейль аксиоматикасына жақындатылған аксиоматика негізінде құрудың варианттарының бірін қамтитын Н.М.Рогаиский мен А.А.Столярдың оқулығы шығарылды.

Евклид геометриясын әр тұрлі аксиоматикалық жүйелер негізінде құру идеясы қазіргі мектеп геометриясы курсын қайта | күруда өз жемісін бермей койған жоқ. Біздің еліміздің мектептерінде соңғы 20 жылда бір-бірінен айтарлықтай айырмашылығы бар аксиомалар жүйесі негізінде құрылған геометрияның әр тұрлі курстарының окытылып келуі, осыпыц айқын дәлелі бола алады. Мектеп геометриясының әр тұрлі курстарын, Евклид жазықтығының аксиомалар жүйесін басшылыққа ала отырып қарастырамыз.

А.Н. Колмогоров ұсынған аксиомалар жүйесі бойынша күрылған планиметрия курсында негізгі (анықталмайтын) ұғымдар ретінде төрт ұғым: нүкте, түзу, ара қашықтык, жазықтық алынған, ал негізгі (дәлелденбейтін) сөйлемдер ретінде бес топқа бөлінген 12 аксиома алынған.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Нақты  дүние қасиеттерінің шама ұғымы  арқылы бейнеленуі

Айналамызда бізді  қоршап тұрған нақты дүние заттар мен құбылыстардың жиынтығы және олардың арасындағы әр тұрлі қатынастар арқылы сипатталады. Және нақты дүние үдайы үздіксіз және әртұрлі өзгерістерге үшырап отырады.

Мәселен, ауа-райы, адамиың жасы әзгереді, жануарлар  мен өсімдіктер дүниесі өзгеріске  үшырайды. Осы прцестерді сипаттау үшін заттар мен құбылыстардың қандай да бір қасиеттерін білу және оларды салыстыра отырып, бағалау қажет болады. Біздің санамызда заттар мен құбылыстар қасиеттерінің бейнеленуі барысьшда қандай да бір ұғым (дербес жагдайдп шами ұғымы) қалыптасады. Үзындық, аудан, масса, уақыт, сыйымдылык (көлем), жылдамдық, температура, баға және т.б. шамалардың мысалдары болып табылады. Бұл ұғымдар тек математикада ғана емес, сондай-ақ физика, химия және басқа да ғылымдарда да қолданылатын негізгі ұғымдардың бірі болып табылады. Бұл жағдайда шама ұғымына айқын тұрде сипаттама беру өте қиын, өйткені әр тұрлі ғылым салаларында, тіптен бір ғана ғылым саласының әр тарауларында да шама ұғымы әр тұрлі магыпада қарас шрылады. Сонымен бірге, көбіне, "шама" термині "мөлшер" терминінің синонимі ретінде қолданылады немесе "шама" және "шаманың мәні" терминдері бірдей мағынада карастырылады. Көп жағдайларда, мүны шама ұғымының таза (арнайы) математикалык ұғым болып табылмайтындығымен, сондықтан әр тұрлі мағынада көрінетіндігімен түсіндіруге болады.

Шамалар жайындағы жалпы түсініктер оларға тән ерекшеліктерді сипаттауға мүмкіндік береді.

Біріншіден, шамалар - нақты объектілер мен құбылыстардың ерекше қасиеттері. Мәселен, заттардың бойлылық (созымдылық) қасиеті үзындық деп аталады. Бұл сөзді нақты объектілердің бойлылығы (созымдылығы) жайында әңгіме болғанда колданамыз. Сондықтан нақтылы объектілердің үзындығы туралы айтқанда, бұл шамалардың тегі бір деп түсініледі. Жалпы, біртекті шамалар қандай да бір жиын объектілерінің бір ғана ортақ касиетін, әр текті шамалар объектілердің әрқилы қасиеттерін сипаттайды. Мәселен, ұзындық және аудан - әртекті шамалар.

Екіншіден, шама - заттар мен құбылыстардың, оларды салыстыруға  мүмкіндік беретіндей касиеттері. Сондай-ақ, осы қасиеті арқылы оған бірдей деңгейде ие болатын объектілер жұбын тағайындауға болады. Мысалы, үзындығы болу касиетіне ие болатын барлық заттар жиынында ұзындығы бірдей заттар эквиваленттілік класын құрайды.

Үшіншіден, шама заттарды немесе құбылыстарды салыстыруға мүмкіндік беретіндей қасиет болуымен бірге осы қасиеттің көмегімен екі эквивалентті емес заттардың кайсысы бұл қасиетке көбірек ие болатындығын тағайындауға болады. Мысалы, "үзындығы бар" қасиетіне ие болатын барлық заттар жиынында үзындығы әр тұрлі екі заттьтң кайсысы үзынырак болатындыгын тағайындауға болады.

Шама ұғымы ғылымның көптеген салаларында бастапкы, яғни анықталмайтын ұғым ретінде қабылданады. Дегенмен математикада қандай да бір шамалар класының айкын тұрдегі (көбіне, аксиоматикалық) анықтамасы бар (скаляр-аддитивті шамалар класы, векторлық шамалар класы, тензорлық шамалар класы және т.б.).

Шама ұғымыныц ор тұрлі тұрғыдшъі і^оіндірмелсрш қарастырайық.

Шама және оны өлшеу ұғымдары. Адамның тәжірибелік қызметіндегі    мүқтаждықтар    ежелден-ақ    ғылымнан    накты албъектілердің әр тұрлі (бірақ біртекті) - физикалық, геометриялык және т.с.с. қасиеттерінің өлшемдес болуын тағайындауды талап етті. Бұл табиғи і үрде қарастырылып отырған жиынның әрбір элементіне осы элементті сипаттайтын санды сәйкестендірудің математикалық     конструкциясына     алып     келді.     Мұндай конструкцияларға ауданды, үзындықты, массаны, температураны өлшеу жатады. Бұл конструкцияларда қарастырылатын жиынның қандай да бір элементі бірлік ретінде таңдап алынады да, қалған I элементтер осы бірлік элемент арқылы табиғи ережелер бойынша і өлшенеді, нәтижесінде оларды сипаттайтын сандар табылады. Бұл айтылғанның мысалдары ретінде ұзындықты бірлік кесіндімен,

ауданды бірлік шаршымен, массаны бірлік массамен т.с.с. өлшеуді келтіруге болады.

Келтірілген конструкциялар математикалык

дерексіздендірудің  негізі ретінде алынады. Ал соңғы, математикалық ұғым-шамаға, яғни шаманың аксиоматикалық І анықтамасына келтіріледі. А.Н. Колмогоров ұсынған анықтама » осындай анықтаманың мысалы болып табылады.

Сабақтың  тақырыбы: 10 саны, оның жазылуы. Дециметр.

Сабақтың мақсаты:

І.Білімділік. 10 саны, оның екі цифрмен жазылуы, бір  жэне екі таңбалы сан, ұзындық - өлшеуші  дециметр, оның мэні, белгіленуі туралы түсініктер қалыптастыру.

2.Дамытушылық. 10 саны мен дециметр тақырыбын  өтуде ойлауын, практикалық іс - эрекетін дамыту.

З.Тэрбиелік. Экономикалық, экологиялық, өзбетінше жұмыс істеуге тэрбиелеу.

Сабақтың  көрнекілігі:

Сабақтың өту  эдісі: түсіндіру, сұрақ - жауап

Сабақтың  барысы:

І.Үйымдастыру. Оқушылармен амандасып, сабаққа  қажетті құрал - жабдықтарын алдыртып, назарларын өзше аударту.

2. Үй тапсырмасын  сұрау.

З.Жаңасабақ.

Жаңа   сабаққа   дайындык   ретінде   ауызша   жаттығулар 
орындалады. 
1. 5 6 7 8 9

 

4 □ 

5 П 

О 

7П

 

 

 

2*2+1 5*5 + 1 8*8+1

2. 1*1 + 1 4*4+1

7*7+1

3. 2 см * 2 см - Ісм 
4 см * 4 см - 1 см 
6 см * 6 см - 1 см 
8 см * 8 см - 1 см

4. 01       23       7Ш

0П      2П 

3*3 + 1

6*6+1

9*9+1 
3 см * 3 см - 1 см 
5 см * 5 см - 1 см 
7 см * 7 см - 1 см 
9 см * 9 см - 1 см 
5П 7ПС

9П 7ПІ

 

10 санын түсіндіруде  2 кестені пайдалануға болады. Кестедегі суретті пайдаланып 9 бен 1 - дің қосындысы сандар катарында 9 -дан кейін тұратын сан. ал оны жачу үшін жаца цпфр а/іыниайды^ бірақ ол белгілі екі цифр - 1 жэне 0 арқылы бейнеленетіні айтылып, жазылып көрсетіледі: 9 + 1 = 10. Осы жерде математикада барлық сан белгілі 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрлары арқылы белгіленетіні туралы түсінік беріп кету де артық емес, 10 саны сияқты барлык басқа да сандар да осы цмфрлармен жазылатыны айтылады. Сол сияқты үзындығы 9 сантиметрден 1 см артық кесіндінің ұзындығы 10 см болатыны, 10 см математикада дециметр деп аталатыны туралы айтылып, дециметр үзындықтың жаңа өлшеуші ретінде қарастырылатыны туралы түсінік беріледі.

Оқулықпен жүмыс: 1 - тапсыпмадағы суреттерге қарап жаңа жыл жақындап, қалғанын, оған балалар  дайындала бастау керек екенін айтып, " Жаңа жыл" кешіне арнап неше коянның маскасы жасалады, ал түлкініңкі ше? Барлык маска нешеу болады? - деген сүрақтар арқылы 9 қоянның маскасына тағы бір түлкінің маскасын қосқанда барлығы он маска болады, яғни 9+1 = 10, "10" дел санды атап, оны жазу керек. Оған кері, барлығы он маска едң, біреуі түлкінікі, қалғандары қояндардікі. Қоянның маскасы нешеу? 10-1 =9 болады.