Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі

"Жиын" деген сөз  математикада "көптіктің" мағынасында,  оның бір баламасы ретінде  қолданылады. Ол сөз жоғарыда  айтқанымыздай "жинақ", "жиынтық"  мағынасын білдіреді. Жиындар алуан-алуан объектшерден кұралуы мүмкін, ол объектілер жиынның мүшелері немесе элементтері деп аталады. Мысалы "адамдар жиыны" тірі табиғат объектілерінен құралса, "кітаптар жиыны" жансыз табиғат объектілерінен күралады. Ал бүтін сандар жиынын алсақ, бұл жиын нактылы объектілерден емес, дерексіз ұғымдардан тұрады. Сөйтіп, не туралы пікір қорытып, ойлай алатын болсақ, солардың бәрі де жиын элементі бола алады. Сондай-ақ, жиын атаулының бәрі біртектес объектілерден құралуы да шарт емес. Мысалы, элементтері оқушы, кітап, қалам, дәптер болатын жиын немесе үстел үстіндегі нәрселердің: шам, кітап, алма, қалам жиыны туралы сөз етуге болады. Жиын жалғыз ғана элементтен де құралуы мүмкін. Мысалы, Жердің барлык табиғи серіктерінің жиыны жалғыз серіктен - Айдан тұрады. Жиынның элементтерінің өздері жиындар болуы мүмкін. Мысалы, элементтерінің саны екіге тең жиындардың жиынын алатын болсақ, мұндай жиынның элементтсрі деп "су" сөзіндегі әріптер жиыны, адамның қүлақтарының, көздерінің, колдарының, қүстың қанаттарының т.с.с. жиынын айтуға болады.

Сонымен біз  кейбір объектілердің (заттардың немесе ұғымдардың) жиыны жайында айтқан кезде оларды бір бүтінге

(тұтасқа) біріктіреміз де, ары  карай оған енетін әр объектінің  емес, бүтіннің (тұтастың) өзшщ ғана  қасиеттерін қарастырамыз. Жиынды қандай да бір белгісі бойынша біріктірілген кейдір элементтердің қосылуы, жинағы, жиынтығы деп түсінуге болады.

Жиында құрайтын объектілерді немесе ұғымдарды оның элементтері дейді және де осы элементтер берілген жиынға тиісті деп есептелінеді.

Жиындарды үлкен латын әріптерімен, ал олардың элементтері кіші латын әріптерімен белгілейді. Математика курсындағы кейбір жиындар ерекше маңызды болғандықтан, олар үшін мынадый тұрақты (стандарт) белгілеулер енгізіледі:

Ң2_О (К), 2_Ь 2., © <?* <?-, К, К₊, К-Оған қосымша /, /_, / +, сияқты белгілеулерді өзіміз енгізелік. Бүдан басқа да символдардың (белгілердің, таңбалардың) пайдалануы мүмкін. Мәселен "а объектісі А жиынына тиісті" тұріндегі сөйлемді былай жазып көрсетеді: аөА. Мүны әр тұрлі оқуға болады: "з объектісі А жиыньша тиісті", "а объектісі \ жиынының элементі", "А жиынында а элементі бар". Осыған үқсас "а объектісі А жиынына тиісті емес" деген сөйлемді аә/А тұрінде жазып көрсетеді де, оны да тұрліше оқиды.

Жиын элементтерінің өздерінің де жиын болуы мүмкін. Мысалы, мектептегі сыныптардың жиыны туралы айтуға болады. Осы жиын элементтері - сыныптар, ал сыныптың өзін алсак сондағы оқушылардың жиыны болып табылады. Алайда оқушылар мектептегі сыныптар жиынынын элементтепі болып табылмайды. Егер жиын арқылы санды элементтерден тұрса, оны ақырлы жиын деп атайды. Ақырғы жиын саналымды жиын деп те аталады. Өйткені оның барлық элементтерін "біртіндеп санап" шығуға, яғни тізбектей нөмірлеуге болады. Мысалы, а^ а₂, #з, Щи сонда барлык элемент те нөмірленіп, әртұрлі элемент тұрліше нөмірленеді

Егер  жиын ақырсыз санды элементтерден тұрса, оны ақырсыз жиын деп атайды. Акырсыз жиын элементтерін біртіндеп санап

шығуға  болмайды. Математика курсындағы кейбір жиындар ерекше маңызды болғандықтан, олар үшін мынадый тұрақты (стандарт) белгілеулер енгізіледі:

Ң2_О (К), 2_Ь 2., © <?* <?-, К, К₊, К-Оған қосымша /, /_, / +, сияқты белгілеулерді өзіміз енгізелік. Бүдан басқа да символдардың (белгілердің, таңбалардың) пайдалануы мүмкін. Мәселен "а объектісі А жиынына тиісті" тұріндегі сөйлемді былай жазып көрсетеді: аөА. Мүны әр тұрлі оқуға болады: "з объектісі А жиыньша тиісті", "а объектісі \ жиынының элементі", "А жиынында а элементі бар". Осыған үқсас "а объектісі А жиынына тиісті емес" деген сөйлемді аә/А тұрінде жазып көрсетеді де, оны да тұрліше оқиды.

Жиын элементтерінің өздерінің де жиын болуы мүмкін. Мысалы, мектептегі сыныптардың жиыны  туралы айтуға болады. Осы жиын элементтері - сыныптар, ал сыныптың өзін алсак сондағы оқушылардың жиыны болып табылады. Алайда оқушылар мектептегі сыныптар жиынынын элементтепі болып табылмайды. Егер жиын арқылы санды элементтерден тұрса, оны ақырлы жиын деп атайды. Ақырғы жиын саналымды жиын деп те аталады. Өйткені оның барлық элементтерін "біртіндеп санап" шығуға, яғни тізбектей нөмірлеуге болады. Мысалы, а^ а₂, #з, Щи сонда барлык элемент те нөмірленіп, әртұрлі элемент тұрліше нөмірленеді

Егер  жиын ақырсыз санды элементтерден тұрса, оны ақырсыз жиын деп атайды. Акырсыз жиын элементтерін біртіндеп санап шығуға болмайды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1 Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру

процесі

"Ұғым дегеніміз не?" Ұғым - материяныц жошрьі жсмісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі екендігі белгілі.

Ұғымды сипаттаған кезде оның жоғары үйымдасқан Цматерияның нәтижесі екендігін және материядан тұратын әлемді бейнелейтінін, сондай-ақ адамға тән арнайы іс-әрекетті білдіруі себепті ұғымның адам санасында калыптасуы, оның тікелей сөз, жазу және сан арқылы өрнектелуінен бөлінбейтіндігін басшылыққа алады.

"Математикалық ұғым дегепіміз нс?", Газа математиканың объектісі шын дүниенің кеңістік формалары мен сандық қатнастары, демек, мүның өзі де - өте реалдық материал екендігі де 1 белгілі. Математикалық объектілер өзінің накты күйінде кезле Бірақ олар адамның таза ойының жемісі емес, нақты дүниенің заңдары мен прцестерінің көрінісі. Кез-келген математикалық объект- ол қоршаған әлемдегі заттар мен құбылыстардың басқадай көптеген қасиеттерін ескерусіз қалдырып,  олардың тек  қана сандықжәне      кеңістіктік     қасиеттері      мен      қатнастарын ерекшелендірудің нәтижесі болып табылады. Бұл объектілердің қасиеттерінің адам миына бейнелеу процесінде математикалық I ұғым деп аталатын ойлаудың ерекше тұрі туады.

Ұғым    абстракциялаумен    (дерексіздендірумен)    тікелей байланыста болатын жалпылау операциясы аркылы жасалады., Жалпылаудың бірнеше тұрі белгілі. Олардың бірі объектілердің өздеріне тән айырмашылықтарды ескерусіз калдырып тек қана ортақ белгілерді бөліп көрсету негізінде жасалады.  Мысалы: "Үшбұрыш   АВС",    "үшбұрыш",    "көпбұрыш".    "Көпбұрыш" ұғымының ерекшелендірілген ортақ белгісі барлык көпбұрыштарға тән. Ғылыми танымда абстракциялық дсрекси делінетін осындаи ұғымдар  ерекше  маңызды.   Олардың  көмегімен   объектілерді І классификациялау және өзара салыстыру, оларды  бір-бірінен ажырату   немесе   олардың   тепе-теңдігін   тағайындау   сияқты мәселелерді шешу мүмкін болады.

Жалпылаудың басқа тәсілі нақты деп аталатын ұғымдарды жасауға мүмкіндік береді. Мүның негізгі ерекшелігі бұл жағдайда жалпылау кезінде ортақ қасиеттерін ерекшелендіру ғана емес, сонымен бірге үтымның дербес және жеке белгілері де сақталады. Қандай да болсын ұғымды қалыптастыру процесі біртіндеп Вүзеге асырылдаы, мұнда сезісдік қабылдау (түйсік) - түсінік Іұғым тізбегіне сәйкес кезеңдер бойынша жұмыс үйымдастырылады. Мысалы "3 саны" ұғымын қалыптастыру. Ёабылдау мен түсініктен өзгеше ұғым біздің санамызі-а Іқарастырылып отырған анқты жағдайдағы мәнді белгілер мен қасиеттерді (осы ұғымның белгілері болатын) ғана сіңіреді және тұрақтандырады. Сондықтан да ұғым - оқылатын объектілердің Імәнді (ерекше) қасиеттері бейнеленетін ойлаудың формасы.

Анықталатын және анықталмайтын ұғымдар. Әрбір ұғым шмүны және көлемі бойынша қарастырылуы мүмкін. Ұғым шмүны - берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің жиыны. Ұғым көлемі - ол берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.

Ұғымдардың қалыптастыру процесінде олардың сөздік және Символикалық өрнектелуінің маңызы аса зор. Сөз - ұғымды таратушының міндетін атқарады. Ғылым мен техниканың қандай да )ір саласындағы нақты анықталған ұғымды білдіретін сөзді ылыми термин деп атайды.

Сонымен кез-келген ұғым терминмен, оның көлемімен және шмүнымен сипатталады.

Ұғымның   мазмұныны   ашу   процесі   оның   белгілерін айқындаудан тұрады. Ұғымның барлык кал<етті және жеткілікті глгілерін    байланысты     сөйлем    тұріне     (сөздік     немесе іймволикалык)   келтіру   дегеиіміз    \іымды    щатематикалық |рбъектіні) анықтап беру болып табылады.

Демек математикалық  ұғымның (объектінің) анықтамасы |осы ұғымның мазмұнын (мән-мағынасын ашатын) сөйлем.

Кейбір алғашқы (бастапқы, іргелі, алғашқы) математикалық ^ұғымдар анықталмайды олар аксиомалардың көмегімен жанама Ітұрде анықталады немесе постулаттар аркылы ұғымға қойылатын Іұғымдардың арасындағы қатанастарға да) талаптар көрсетіліп Гберіледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатнастар: тиісті, |расында жатады, өлшемнің (өлшеуіштің) бар болуы және т.с.с.

Негізгі (бастапкы, іргелі, алғашқы) ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда ашылады. Мысалы: "екі нүкте аркылы өтетін бір ғана _; түзу жүргізуге болады".

Аксиома {ахіома - грек сөзі, беделді сөйлем,   "қабылдауға болатын" аудармасында "жеткілікті дәрел<:еде мойындалуы тиіс" Гдегенді білдіреді) дегеніміз - қандай да бір (дербес жағдайда ,;математикалық)  теорияны   дедуктивтік   жолмен   күру   кезінде дәлелдеусіз қабылданатын, яғни осы теорияньщ (теореманың) засқа қағидаларын дәлелдеу үшін тірек немесе сілтеме ретінде қабылданатын   түжырым   болып   табылады.   Ал   -   постулат шШіайип - талапты білдіреді деген латын сөзі) дегеніміз кейбір ғымдар       немесе       олардың       арасындағы       қатнастар рнағаттандырылуы тиіс қандай да бір талаптарды, шарттарды мдіретін сөйлем. Көп жағдайда постулаттар қандай да ұғымның анықтамасын немесе кейбір ұғымдар жүйесінің бөлігі болып келеді. Мысалы: эквиваленттік қатнастың анықтамасында үш постулат шарт бар.

 

 

 

 

 

2.2 Ұғымдардың  анықталу тәсілдері

Ұғымдарды анықтаудың әр тұрлі тәсілдері бар. Оларды өте-мөте айқын және айқын емес сияқты негізгі екі топқа бөледі. Мәселен айқын анықтама екі ұғымды беттестіретіндей, теңестіретіндей теңдік тұрінде беріледі. Мысалы: тік бұрышты I үшбұрыш дегеніміз - ол тік бұрышы бар үшбұрыш". Тік бұрышты үшбұрыштың осы анықтамасы шартты тұрде "а дегеніміз в" дегенді білдіреді.

Айқын емес анықтама екі ұғымды теңестіргендей тұрде берілмейді. Мұндай анықтамалардың мысалы ретінде контексуалдық және остенсивтік деп аталатын анықтамаларды атауға болады. Контекстуалдық анықтамаларда жаңа ұғымның мазмұны текстінің үзіндісі аркылы, яғни текстегі хабарламаның желісіне орай енгізілетін ұғымның мән-мағынасын нақты жағдайда сипаттау барысында ашылады.Бұған бастауыш мектептсгі тенлсулі және оның шешуін анықтап беру жолдары мысал бола алады. Объектіні көрнекі көрсету арқылы термин енгізілгенде остенсивтік анықтамалар пайдаланылады. Бұл тәсілмен бастауыш мектепте "сандық теңдік" және "сандық теңсіздік" ұғымдарын анықтайды.

Ұғымның мынандай жолдармен де анықталуы мүмкін:

1. Генетикалық немесе  конструктивтік (ұғымның шығу тегін  көрсететін)    тәсілмен, мысалы: үшбұрыш, шеңбер ұғымдарын

анықтау.

2. Индуктивтік жолмен, мысалы: арифметикалық прогрессия 
   уғымын анықтау.
3. Абстракцияның (дерексіздендірудің) көмегімен, мысалы: 
   натурал сан ұғымын эквивалентті болатын шектеулі жиындар

¹ класының сипаттамасы ретінде енпзу.

4. Аксиоматикалық (ұғым бастапқы деп есептелініп, олардың 
/рарасындағы   байланыстар   аксиоматикалык   жолмен    немесе 
] аксиомалар жүйесімен түсіндіріледі) жолмен, мысалы: натурал сан

уғымын  аксиомалар  арқылы   (Пеано  аксиомаларына   негіздей : отырып) енгізу.

5. Ең жақын тегін  және тұрлік айырмашылығын айқын бөліп ішрсету" бұл тәсілдің мәнісі анықталатын ұғымды негізгі және бурыннан белгіліұғымдарға келтіру болып табылады" пркьпы, мысалы: квадрат ұғымын анықтау.

Алгоритм ұғымы. Туғанна бастап баланы тәрбиелеу олардан -әртұрлі ережелерді (ертеңгісін жуыну, киіну және шешіну, тамақ *⁵ ішу, жолдан өту және т.б.) меңгеруді және қатаң орындауды талап етеді. Одан әрі бала-бақшада және мектепте тәрбиеленушінің орныққан күн тәртібі болады және оларды оқыту белгілі бір реттпен өтеді, ал барлық мүмкін болатын ойындар ереже бойынпіа уйымдастырылады. Демек, кез-келғеч іс-әрекет анықта-ігаіі лха\ (уйғарым) бойынша орындалады. Адам жас кезінен бастаи-ак күнделікті өмірде көбінесе, оның не екенін білмесе де әр алуан алгоритмді меңгереді және орындайды.

Алгоритм  дегеніміз не? Бір типті (типтес) мсәселелер, айталық көп таңбалы екі санды косы, көшеден өту, кесіндінің үзындылығын өлшеу және т.б. жиі кездеседі. Берілген типтес (бір типті) мәселелерді (есептердің) кез-келген тұрін шешуде пайдалануға болатын "жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?" деген сүрактың тууы заңды. Егер мұндай жалпы тәсіл бар болса, ыі^о. оны берілген мәселе (есеп) тұрінің алгоритмі дейді. Жоғарыда келтірілген есептердің әрқайсысының өзіне сәйкес алгоритмі болады. Мысалы, көп таңбалы екі санды қосу есебіне қатысты алғанда көп таңбалы кез-келген санды қосуға жарайтын, яғни типтес сесптердің ішінен оның кез-келген дербес тұрін шешудің "бағанмен" қосу тәсілі белгілі.

Сонымен тәжірбиеден  сезіну "алгоритм" деп берілген типтес есептердің ішінен оның кез-келгеп дербсо іурін шсшуде қандаи әрекеттерді және қандай ретпен атқарудың қажеттігін анықтайтын көпшілікке түсінікті және дәл жарлықты айтады" (Формирование элементарных математических представлений у дошкольников /под ред. А.А.Столяра. - М.: Просвещение, 19898.) деуге негіз болып отыр. Бұл қатаң математакалық анықтама емес, тәжірибеде байқалғандарға сүйеніп алгоритм ұғымын түсіндіру ғана.

Алгоритм, алгорифм - математиканың негізгі ұғымдарының (категорияларьшың) бірі болғандықтан тікелей тәжірибеге сүйеніп түсіндіріледі және қарапайым ұғымдардың терминдері аркылы оған формальді анықтама, көбінесе, берілмейді. Мәселен, бастауыш мектептен белгілі "баған тұрінде" қосу, азайту және көбейту, сондай-ақ "бұрыштап" бөлу ережелері алгоритмдер болып табылады.