Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі

Бүкіл математикаға тән  тағы бір қасиет мынау: математиканың тек зерттейтін объектісі абстрактілі ғана емес, оның зерттеу әдісі де мейлінше абстрактілі болып келеді. Бүны былай түсіну керек: өзі зерттейтін объектіге эксперимент жасау басқа табиғаттану ғылымдарына тән қасиет болса, математика өзінің заңдары мен қортындыларын тек логиканьщ, әсіресе математикалық логиканың заңдарына сүйеніп шығарады. Демек, математика шын мәнісіндегі таза теориялык ғылым болып табылады.

Зерттеу әдісінің дерексіздік (абстрактілік) касиеті математикаға дәл ғылымдык сапа беріп, оның қорытындыларынн сандық қатынастар мен пішіндері маңызды жағы болып келетін материялык құбылыстарға қолданылуы универсалдык бейнелі болып келуінің негізі болады. Оған дәлел ретінде кез-келген жаратылыстану техникалық ғылымдар мен инженерлік практиканың күрделі математикалық есептеусіз әрекет ете алмайтынын айтудың өзі де жеткілікті.

Адамдардың практикалык  әрекетінен туған математика, онан әрі өзінің ішкі заңдарына сәйкес дами отырып, ашқан заңдарының кейбіреулері дәл сол кезде емес, өмірде кейінірек  қолданыс тапқанын көрсететін жәйттер толып жатыр. Бірнеше фактілер келтірейік:

1. Бір   кез-келген   ақылға   сыйымсыз   болып   көрінген 
   Н.И.Лобачевскийдің    евклидтік    емес    геометриясы    Альберт 
   Эйнштейннің салыстырымдылық теориясын дамытудың құрметті 
   құралы болды, ал сансыз өлшемді кеңістік теориясы деп аталатын 
   өте-мөте абстракт теория қазіргі атом құрылыстары теориясына - 
   кванттық механикаға нәтижелі тұрде қолданылып келеді.
2. Уран   атты   планетаныңқозғалысындағы   сәйкессіздікті 
   талдай отырып, астрономдар Адамс пен Леверье оның себебі басқа 
   бір белгісіз планетаның тартуынан болады деген қорытындыға 
   келіп, сонан кейін механиканың заңдары мен тартылыс заңына 
   сүйеніп, белгісіз планетаның болуы мүмкін орнын математикалық 
   жолмен есептеп шығарған. Нәтижесінде тап сол орында Нептун 
   деп аталатын планета табылды.

3. Математикада жорамал сандар Х*Н=О типтегі теңдеулерді 
шешу нәтижесінде шыққан, ал олардың нақты мағынасы тек XIX 
ғасырдың бас кезінде жоамал сандарға геометриялық түсініктеме 
бергенде ғана айкын болды.

Тек сонан кейін комплекс айналымының функциялары теориясы деп аталатын анализдің саласы пайда больтп, үдей дамыды да, оның қорытындыларьш негізге ала отырып, Н.Е.Жуковский өзінің әлемге әйгілі үшак қанатының көтерілүі күші туралы теоремасын дәлелдеді.

4. Эксперименттік деректерді қорытындылай келе, атақты физик Максвелл электромагниттік толқынның заңдарын математикалық теңдеу тұрінде өрнектеді. Ол теңдеуден электромагниттік толқын жаратылыста бар және ол сәуленің жылдамдығымен таралуы тиіс деген қорытынды шыкты. Бұл қазір бүкіл жұртшылық қабылдаған теория да, бүкіл дүниеге белгілі жәйт.

Сонымен, біз  математиканың мағынасы мен зеттеу әдісіне тән ерекшілігін және оның алуан тұрлі ғылымдарда (физика, химия, саяси экономика т.б.) қарастырылатын мәселелерді зеттеудің құдыретгі күралы екенін қыскаша анықтадык.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Ұғымның  мағынасы мен көлемі

Кез-келген математикалык  объект белгілі бір қасиетке ие. Мысалы, шаршының төрт қабырғасы, төрт бұрышы бар, диагональдары тең. Оның бүдан да басқа қасиеттерін көрсетуге болады.

Бір объектіні  екіншісінен айыру үпіітт оттын  қасиеттері нін ішінде маңызды және мардымсыз болатындары анықталады. Егер бір қасиет сол объектіге ғана тән және онсыз бұл объект анықталмаса, оны маңызды (существенный) қасиет деп атайды. Мардымсыз қасиет деп бұл қасиетсіз де объектіні анықтауға болатьшқасиетті атайды. Жоғарыда аталған шаршының касиеттері маңызды қасиеттер болады, ал "АВСД шаршының АД қабырғасы горизонталь" деген мардымсыз қасиет, себебі АД қабырғасын і басқаша да орналастыруға болады. Сондықтан берілген объектіні толық анықтау үшін оның маңызды қасиеттерін білу керек. Бұл жағдайда берілген объект туралы ұғым бар деп есептеледі.

Өзара   байланысты   қасиеттердің   жиыны   -   сол   объект жөніндегі ұғымның  мағьшасы деп аталады.

Математикалықобъект жөнінде соз қылғпмда, бір термиңмен аталатын объектілердің жиынын карастырады. Шаршы туралы айтқанда шаршы болатын барлық геометриялық фигураларды айтады. Барлық шаршылар жиынтығы шаршы ұғымының көлемін ■ қурайды. Жалпы айтқанда, ұғымның көлемі - бір терминмен анықталатын барлық объектілердің жиынтығы. Сонымен, кез-Ч|елген  ұғым  термині,  оның  көлемі  мен  мағынасы   аркылы сипатталады.

Ұғымның  көлемі  мен  магынасьшың арасьшда  мынандай ланыс бар: ұғымның көлемі неғұрлым "үлкен" болса, оның мағынасы солғүрлым "аз" болады және керісінше.

Мысалы,     "тік  бұрышты  үшбұрыш"  ұғымының  көлемі "үшбұрыш" ұғымының көлемінен  аз. Себебі, бірінші ұғымның толеміне барлық үшбұрыштар кірмейді, тек қана тік бұрышты кЦібұрыштар  қастылады.   Бірақ   бірінші   ұғымның   мағынасы Ькішшсшің    мағынасынан       "үлкен",    өйткені    тікбұрышты (шбұрышта     басқа     үшбұрыштардың     барлык     касиеттері орындалуымен қатар өзіне ғана тән қасиеттері де бар.

 

Математикалык ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика курсында таныса бастайды: I - сыныптан бастап оқушылар "цифр", "сан", "қосылігыш", қосьшды , "кесшдГ, "кесіндінің ұзындығы", т.б. ұғымдармен танысады. III - сыныптан |ған көбейту мен бөлуге байланысты, ал V - сыныпта "бөлік", "фигураның ауданы" ұғымдары қосылады.

Ұғымның анықтамасы Қандай да бір математикалык объекті  Ітуралы ұғымның мағынасына осы  объектінің көптеген маңызды ;асиеттері  енеді. Қарастырылып отырған объект сол ұғымның көлеміне енетінін анықтау  үшін оның бірнеше маңызды іқасиеттерін тексеру керек. Объектші танып-білу үшін жеткілікті ^турде көрсетілетін маңызды қасиеттер объектінің анықтамасы деп аталады.

Жалпы айтқанда анықтама - ұғымның мағынасын ашатын догикалық  операция. Ұғым анықтамасының берілуі  әртұрлі болады. Алдымен айқын және айқын емес анықтамаларды айырып алу керек.

Айқын анықтама екі ұғымның  беттесуі арқылы, яғни теңдігі ітұрінде беріледі. Олардың біреуі анықталатын  ұғым, екіншісі -Ьанықтаушы ұғым деп  аталады. Мысалы, тік бұрышты үшбұрыш -Вбір бұрышы тік болатын үшбұрыш. Егер х аркылы "тік бұрышты Іушбұрыш" ұғымын, ал у арқылы    "бір бұрышы тік болатын

үшбұрыш" ұғымын белгілесек, онда тік бұрышты үшбұрыштың

іерілген  анықтамасының схемасы л^болады.

 

Айқын емес анықтама екі  ұғымның беттесуі арқылы берілмейді. Бұндай анықтамалардың мысалына контексті және остенсивті анықтамалар жатады. Контексті анықтамада жаңа ұғымның мағынасы мәтіннің үзіндісі, контекст арқылы немесе енгізіліп отырған ұғымның мағьшасын ашатын нақты ситуацияларға (жағдайларға) талдау жасау арқылы беріледі. Контексті анықтаманың мысалына теңдеудің және оны шешу ұғымының анықтамасын келтіруге болады.

"Теңдеу - құрамында  белгісіз сан бар теңдік, ал  теңдеуді шешу - осы белгісіздің  орнына бір санды койғанда  ақиқат теңдік алынатын санды табуды айтады".

Остенсивті анықтама объектіні демонстрациялау жолымен термин енгізу үшін қолданылады. Сондықтан остенсивті анықтаманы көрнекілік жолмен анықтау деп те атайды. Мысалы. бастауыш мектепте мұндай анықтамаға теңдік және теңсіздік ұғысдарын енгізу жатады.

Математикалық құрылым жайлы ұғым

"Математикалық кұрылым"  ұғымын калыптастыру әлемді танудың  маңызды ғылыми құралы - аксиоматикалык  әдістің дамуымен байланысты. Мәселе мынада, қазіргі кезде осы күнгі математиканың көптеген бағыттары тек қана аксиоматикалык әдістің яғни сәйкес аксиомалар жүйесінің /аксиоматика/ негізінде құрылады. Ал математика ғылымының әр саласына тән аксиомалардың өзі үзақ және күрделі тарихи даму процесінде пайда болды.

Бастапқы   мәліметтер   адамның   практикалық   кызметінің нәтижесінде жинақталады, қордаланады. Осындай мағлұматтарды тексереді.,   нақтылайды,   жүйелейді   және   басқадай   бастапқы мәліметтерден шығарып алу мүмкін болатындары олардың ішінен |лынып тасталады. Кейде, калған карапайым мәліметтер /аксиома/ ітізімінің толық еместігі байқалады, яғни бұл мәліметтер барлық |теоремаларды қорытуға жеткілікті бола алмайды. Мұндай жағдайда |бұл тізімге жетпей тұрған аксиомалар қосылады. Нәтижесінде раксиомалардың  толық жиынтығы  /аксиоматика/  қалыптасады. ; Осындай аксиоматика жүйесі негізінде қазіргі математикаиып 5; ондаған   бағыттары   дамауда,   олардың   қатарына:   қарапайым /элементарная/ математиканың аксиоматикасы, натурал санның |аксиоматикасы,    сан    өрісінің    аксиоматикасы,     группаның |; аксиоматикасы,   ықтималдықтар   теориясының   аксиоматикасы, математикалық құрылымдардың аксиоматикасы және баскалар жатады.

Егер     кез-келген     жиын     элементтерінің     арасында ■ тужырымдардың белгілі жүйесімен сипатталатын канлайда кптьитс анықталса немесе операция тағайындалса, онда осы бір жиында математикалық құрылым анықталған, - дейді. "Құрылым" ұғымның басты ерекшелігі табиғаты әралуан болатын жиын элементтеріне = оның   жарамды   болатындығына   және   де   қарастырылатын қатынастар сипатының таңдалу тұрғысынан жоғары дәрежеге ие екендігінде.  Сондықтан  беогілі  аксиомалардың  жиынтығымен андай да бір жиын элементтері ие болатын қатынастар мен операциялардың мәнді қасиеттері сипатталады.

Шексіз көп әралуан  құрылымдар бар және олардың диынтығын  белгілі бір ретпен оқу, зерттеу математиканың әр тұрлі бөлімдерінің мазмұнын құрайды. Бұл қазіргі математиканы Іарастыруға, яғни оны аксиоматикалық одісіісһ қурыльшдардың рүйесі ретінде көрсетіп берудің мүмкіндігін білдіреді. Математиканың "архитектурасы"

Іргетасын жоғарыда айтқандай негізгі күрылымдар күрайтын, математиканы ары қарай құру калай жүзеге асады?

Математиканы  ары карай түзу, конструкциялау екі  негізгі рәсілмен іске асады.: бірімен-бірі сәйкес аксиомаларп көмегімен ^абиғи тұрде байланысқан бірнеше негізгі құрылымдардан (немесе, ртұрлі құрылымдардан) түзілген күрделі күрылым құрастыру арқылы; қандай да негізгі құрылымның аксиомаларына бір немесе ірнеше толықтама аксиомалар қосу барысында пайда болатын рнаулы құрылым құрастыру аркылы.

"Күрделі" құрылымның  жеке мысалы ретінде коммутативтік ызықтық-реттелген топтың күрылымын, ал "арнаулы"  құрылым інде - сызықтық реттік құрылымды алуға болады.

Күрделі құрылымның жасалуы  математиканың бүкіл бір өлшінің, ал арнаулы құрылымының түзілуі  қандай да жалпы теориядан   бөлінген   әр   тұрлі   өзінше   дамитын   теорияның |математиканың бөлімдерінің) пайда болуына алып келеді. Соңғы жағдайда математиканың  қандай  да  бөлімін  аксиоматикалық солмен құру былайша жүзеге асады:

қарастыратын  теорияның шеңберінде анықталмайтын іалғашқы терминдер деп аталатынын, саны шектеулі ұғымдар мен олардың арасындағы қатнастар іріктеледі;

бастапқы ұғымдар мен  катынастардың өзара байланысын тағайындайтын және оларды жанама тұрде анықтайтын ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын бірнеше бастапқы Іұжырымдар - аксиомалар алынады;

қарастыратын теорияға енгізілетін барлық жаңа ұғымдар Іастапқы терминдер немесе бұрын анықталған  ұғымдар  мен Ікатынастар арқылы  анықталады,  ал теорияның  барлық  жаңа Юұжырымдары   (терминдері)   дежукциялық   жолмен   алғашқы Ьрминдердің немесе аксиомалардың (немесе бұрын дәлелденген ітеоремалардың) негізінде дәлелденеді және де қорытып шығару ережесі (ақиқат сөйлемнің бірі екінші бір актқат сөйлемнен Ріуындайды) беріледі және ол математикалык логикада зерттеледі;

аксиомалық  теорияны  нақты объектілер   жиынында |жүзеге асыру үшін аксиоматикалық теорияның көрнекі көрсетіліп Г; берілуі (немесе модулі) пайдаланылады.

Жиын ұғымы. Жиын элементі. Жиын ұғымы математиканың | негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі, сондықтан ол басқа ұғымдар арқылы анықталмайды. Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын щғымын қандай да бір нәрселердің жинаңы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке кабылдауға және оларды жағдайда математиканың  қандай  да  бөлімін  аксиоматикалық Ісолмен құру былайша жүзеге асады:

қарастыратын  теорияның шеңберінде анықталмайтын іалғашқы терминдер деп аталатынын, саны шектеулі ұғымдар мен олардың арасындағы қатнастар іріктеледі;

бастапқы ұғымдар мен  катынастардың өзара байланысын тағайындайтын және оларды жанама тұрде анықтайтын ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын бірнеше бастапқы Іұжырымдар - аксиомалар алынады;

қарастыратын теорияға енгізілетін барлық жаңа ұғымдар Іастапқы терминдер немесе бұрын анықталған  ұғымдар  мен Ікатынастар арқылы  анықталады,  ал теорияның  барлық  жаңа Юұжырымдары   (терминдері)   дежукциялық   жолмен   алғашқы Ьрминдердің немесе аксиомалардың (немесе бұрын дәлелденген ітеоремалардың) негізінде дәлелденеді және де қорытып шығару ережесі (ақиқат сөйлемнің бірі екінші бір актқат сөйлемнен Ріуындайды) беріледі және ол математикалык логикада зерттеледі;

аксиомалық  теорияны   нақты  объектілер   жиынында |жүзеге асыру үшін аксиоматикалық теорияның көрнекі көрсетіліп Г; берілуі (немесе модулі) пайдаланылады.

Жиын ұғымы. Жиын элементі. Жиын ұғымы математиканың | негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі, сондықтан ол басқа ұғымдар Іарқылы анықталмайды. Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын щғымын қандай да бір нәрселердің жинаңы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке кабылдауға және оларды бір-бірінен де, бұл жинаққа жатпайтын басқа нәрселерден де ажыратуға болады деп білеміз.