Математические задачи электроэнергетики

,

что позволяет отнести метод  простой итерации к классу методов  с линейной скоростью сходимости. Во всех итерационных методах уточнения  корней уравнений в качестве критерия окончания процесса вычислений выбрано  условие:

При этом предполагается, что чем  больше проделано уточнений, тем  выше точность определения корня.

Метод простой итерации имеет линейную скорость сходимости, чтобы увеличить  скорость сходимости следует выбирать достаточно близкие значения интервала  отделения корня [а,b], что при высокой скорости вычислений современных ПК не представляет больших затруднений.

Следует четко уяснить, что во всех итерационных методах есть условие входа в  итерационный процесс и условие  выхода из итерационного процесса, в противном случае он может продолжаться бесконечно, бесконечно близко можно  приближаться к точному решению, но в общем случае точное решение  не достижимо.

4.4 Решение нелинейных алгебраических уравнений в системе МATLAB

В начале отделим корни нелинейного алгебраического  уравнения. Пусть нелинейное алгебраическое уравнение имеет вид

x³-3,5*x² +5,5*x+ 4 = 0

В MATLAB рекомендуется строить график функции f(x) для приближенного определения корней и интервалов, в пределах которых они находятся. Создается m-файл для исследуемой функции

%функция,  корни которой ищутся

function f-funl(х)

f=x.^3-3. 5*х.^2+5.5*х+4

Далее в командном окне набирается последовательность команд

»х=-1:0.1:1;

» plot(x,fun1(x)); grid on;

В результате выполнения этого набора команд появляется график исследуемой функции (рис. 6).

Рис. 6

 

Из  графика видно, что перемена знака  функции f(x) происходит на отрезке    [-0.6, -0.4]. Этот отрезок является интервалом отделения корня.

Одним из возможных путей приближенного  нахождения корпя является построение графика функции с небольшим значением шага h - шага изменения аргумента  x по оси абсцисс.

»х=-1:0.01:1;

» plot(x,fun1(x)); grid on;

Рис. 7

 

Из  графика функции видно, что приближенное значение корня x = -0.525     f(x = -0.525) = 0.0031 .

Для решения систем нелинейных уравнений  следует также использовать функцию solve из пакета Symbolic Math Toolbox. Эта функция способна выдавать результат в символьной форме, а если такого нет, то она позволяет получить решение в численном виде. Для нелинейного алгебраического уравнения              x³-3.5-х²+5,5-х+4= 0   решение с помощью функции solve получается следующим образом:

» solve('x^3-3.5*x^2+5.5*x+4')

ans =

            -0.5253

1.88779*i + 2.01265

2.0126 5 - 1.88779*i

Как видно  из приведенного фрагмента данное уравнение  третьего порядка имеет три корня: один действительный и два комплексно-сопряженных  корня, функция solve легко их находить.

 

Расчетная часть

4.5 Расчет индивидуального  задания варианта 24

Данный раздел должен содержать:

• отделение  корней  нелинейного  алгебраического  уравнения  в системе MATLAB;
• решение уравнения методом деления отрезка пополам;
• решение уравнения методом Ньютона;
• решение уравнения методом простой итерации (обосновать выбор итерирующей функции);
• решение   нелинейного   алгебраического  уравнения   в  системе MATLAB;
• сравнительный анализ полученных результатов.

Дано:

4.5.1 Отделение корней нелинейного алгебраического уравнения в системе MATLAB

В начале отделим  корни нелинейного алгебраического  уравнения.

_{Построим  график этой функции  в MATALB несколько раз для точного определения точки, когда f(x)=0.}

_{Интервал  возьмем при   -10<x<0}

_{Для этого вводим следующие  команды:}

x=-10:0.1:0;

y=x.^3+8.7*x.^2+x+3;

plot(x,y); grid on

Получим следующий  график:

Из графика  видно, что перемена знака функции  происходит на отрезке . Этот отрезок является интервалом отделения корня.

Одним из возможных  путей приближенного нахождения корня является построение графика  функции с небольшим значением  шага - шага изменения аргумента по оси абсцисс и изменении ограничений по оси абсцисс.

x=-9:0.01:-8.5;

y=x.^3+8.7*x.^2+x+3;

plot(x,y); grid on

Получим следующий  график:

Из графика  видно, что перемена знака функции  происходит на отрезке . Этот отрезок является интервалом отделения корня.

Для более  точного значения повторяем построение графика с границами 

-8.65<x<-8.6:

x=-8.65:0.01:-8.6;

y=x.^3+8.7*x.^2+x+3;

plot(x,y); grid on

Получим следующий  график:

Для более  точного значения повторяем построение графика с границами 

-8.63<x<-8.62.

Вводим команды

x=-8.63:0.01:-8.62;

y=x.^3+8.7*x.^2+x+3;

plot(x,y); grid on

Получим следующий  график:

Из графика  функции видно, что приближенное значение корня  .

4.5.2 Решение уравнения методом деления отрезка пополам

Для отделения  действительного корня воспользуемся  табличным способом

x	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
f(x)	-137	-30,3	39,8	79,3	94,2	90,5	74,2	51,3	27,8	9,7	3

Из этой таблицы  мы видим, что перемена знака у  функции происходит при

-9<x<-8.

Уточняем  корень уравнения , находящийся на методом деления отрезка пополам с точностью .

1. Находим . Вычисляем значения функции в точке -8.5

Отсюда  следует, что корень находится на отрезке  .

Длина этого  отрезка  процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

2. Находим . Вычисляем значения функции в точке -8,75

Отсюда  следует, что корень находится на отрезке  .

Длина этого  отрезка  процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

3. Находим . Вычисляем значения функции в точке -8,625

Отсюда  следует, что корень находится на отрезке  .

Длина этого  отрезка  процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

4. Находим . Вычисляем значения функции в точке -8,5625

Отсюда  следует, что корень находится на отрезке  .

Длина этого  отрезка  процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

 

5. Находим . Вычисляем значения функции в точке -8,59375

Отсюда  следует, что корень находится на отрезке  .

Длина этого  отрезка  процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

6. Находим . Вычисляем значения функции в точке -8,60938

Отсюда  следует, что корень находится на отрезке  .

Длина этого  отрезка  процесс по методу деления отрезка пополам следует закончить.

Середина  отрезка  дает корень с заданной степенью точности .

4.5.3 Решение уравнения методом Ньютона

Для отделения  действительного корня воспользуемся  табличным способом

x	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
f(x)	-137	-30,3	39,8	79,3	94,2	90,5	74,2	51,3	27,8	9,7	3

Из этой таблицы мы видим, что  перемена знака у функции происходит при

-9<x<-8

Уточняем  корень уравнения , находящийся на методом Ньютона с точностью .

Выберем в  качестве начального приближения  середину отрезка , т.е. .

1. По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим

 вычисления по методу Ньютона  следует продолжить.

2. По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим

  вычисления по методу Ньютона можно закончить.

4.5.4 Решение уравнения методом простой итерации

 

 

Будем уточнять корень на отрезке [-8,7,  -8,5], т.к. приближенное значение корня нам известно из других методов решения. Проанализируем, как ведет себя функция на этом отрезке c помощью Excel. Введем отрезок с шагом 0,05 и формулы.

В результате получим таблицу:

-8,7	-8,65	-8,6	-8,55	-8,5
-0,508590798	-0,507134472	-0,505674113	-0,50421	-0,50274

 

 

Из таблицы  видно, что на этом отрезке выполняется  условие:

Таким образом  будем уточнять корень на этом отрезке  с помощью следующего рекуррентного  уравнения.

 

 

 

В качестве начального приближения выбираем

Все расчеты  проводим также в Excel. Получим таблицу:

№
1	-8,7	-8,67482483	-3,780328159	0,025175
2	-8,67482483	-8,658047338	-2,513200951	0,016777
3	-8,65804734	-8,646857405	-1,673484292	0,01119
4	-8,64685741	-8,639390186	-1,115530498	0,007467

На 4 шаге выполняется условие выхода из итерационного процесса . Отсюда следует, что корень уравнения найденный по методу простой итерации с точностью равен .

4.5.5 Решение уравнения в системе MATLAB

Найдем все  корни нелинейного уравнения  с помощью MATLAB оператора solve().

solve('x^3+8.7*x^2+x+3')

ans =

  -8.6243831094661009439682941005929

- 0.58857581326078118670204173986851*i - 0.037808445266949528015852949703539

   0.58857581326078118670204173986851*i - 0.037808445266949528015852949703539

4.5.6 Сравнительный анализ полученных результатов

Метод деления отрезка пополам	Метод Ньютона	Метод простой итерации	Решение в MatLab
			-8.6243

После сравнения  мы видим, что корень уравнения, полученный различными методами приблизительно равен. Различие в значениях обусловлено  погрешностями, присущими различным  методам.

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

 

 

Задание 5. Применение вероятностно - статистических методов в задачах электроснабжения

 

Краткие теоретические сведения

 

 5.1 Основные определения

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций. В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт (испытание) в результате чего происходят случайные события А, В, С... (обозначения событий).