Математические задачи электроэнергетики

Уравнение по первому закону Кирхгофа

M*I=J

Уравнение по второму закону Кирхгофа:

N*Z_в*I=E_k

где М матрица размерностью ((n-1)xm) матрица соединений ветвей в узлах (без балансирующего узла), здесь n- число узлов схемы замещения, n- число ветвей, N- матрица размерностью (nхm), матрица соединений ветвей в независимые контуры, к - число независимых контуров.

Z_в-diagZ₁ диагональная матрица сопротивлений ветвей.

вектор-столбец задающих токов в узлах.

 

E_k=NE- вектор-столбец контурных ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур. Матрицы М и NZ_B можно рассматривать как блоки одной объединенной матрицы параметров схемы замещения

 

 

а вектор-столбцы J и как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима

 

 

Для формирования обобщенного  уравнения состояния (1) необходимо предварительно определить матрицы  инциденций М и N, которые в аналитическом виде отображают конфигурацию схемы замещения электрической сети. Матрица А обобщенного уравнения состояния является квадратной матрицей порядка (тхт). Тогда из уравнения (1) используя метод обратной матрицы можно сразу определить токи в ветвях:

I=A^-1*F

 При известных токах  в ветвях можно определить  напряжения в узлах. Для этого  сначала по закону Ома определяем  падение напряжения в ветвях  схемы

U_B=Z_BI-E

Если ЭДС в ветвях отсутствует Е =0, то закон Ома принимает вид

U_B=Z_BI

Затем из уравнения  определяем напряжения в узлах схемы замещения. Здесь матрица представляет собой напряжения узлов относительно базисного .

При расчетах режимов электрических сетей  могут иметь место два случая:

• схема замещения электрической сети не содержит замкнутых контуров,
• схема замещения электрической сети содержит замкнутые контуры.

 

Расчетная часть

2.4 Расчет индивидуального  задания варианта 24

Расчетная часть  должна содержать:

1) Для схемы, не содержащей замкнутые контуры:

• Обобщенное уравнение состояния;
• Вычисление обратной матрицы М классическим методом;
• Вычисление обратной матрицы для матрицы М в системе MATLAB;
• Вычисление токов в ветвях аналитическим методом и с помощью MATLAB;

2) Для схемы, содержащей замкнутые контуры:

• первую и вторую матрицы инциденций;
• обобщенное уравнение состояния;
• решение матричного уравнения состояния двумя способами (методом обратной матрицы, методом Гаусса);
• решение матричного уравнения состояния методом Крамера в системе MATLAB;
• сравнение     полученных     промежуточных     результатов, найденных разными способами;
• вычисление узловых напряжений аналитически;
• нахождение  узловых  напряжений  с  помощью  MATLAB-про граммы;
• сравнение   полученных   результатов,   найденных   разными способами.

1

2

3

4

Дано:

1

2

3

4

1

2

3

 

Рис.3

Рис.2

 

1) Для схемы представленной на рисунке 2 найти токи в ветвях разомкнутой электрической сети, используя матричную форму записи 1-го закона Кирхгофа.

Токи нагрузки узлов равны:

 

2) Для схемы представленной на рисунке 3 определить токи в ветвях схемы, напряжение в узлах, сеть 3х-фазная

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4.1 Схема без  замкнутых контуров

2.4.1.1 Обобщенное уравнение состояния

Матрица задающих токов принимает  вид:

Обобщенное  уравнение состояния:

                                                              (1)

Матрица задающих токов равна матрице  токов нагрузок, взятой с противоположным  знаком. Выберем в качестве балансирующего узла узел. Обозначим через первую матрицу инциденций без балансирующего узла.

Теперь вычислим обратную матрицу для матрицы

2.4.1.2 Вычисление обратной матрицы классическим методом

Записываем  матрицу  , транспонированную к матрице _M.

 

Заменяем каждый элемент матрицы  определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот определитель сопровождаем знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в  противном случае.

Делим полученную матрицу на определитель матрицы _M.

∆=-1

 

Эта матрица  и является обратной для исходной матрицы инциденций без балансирующего узла.

2.4.1.3 Вычисление обратной матрицы для матрицы М в системе MATLAB

M=[-1,1,1;0,-1,0;0,0,-1];

 

inv(M)

 

ans =

 

    -1    -1    -1

     0    -1     0

     0     0    -1

Теперь рассчитаем токи в ветвях.

2.4.1.4 Вычисление токов в ветвях аналитическим методом

Из  обобщенного уравнения состояния, токи в ветвях:

2.4.1.5 Вычисление токов в ветвях с помощью MATLAB- программы

J=-[32+i*8;32+i*5;12+i*14];

M=[-1,-1,-1;0,-1,0;0,0,-1];

M*J

ans =

  76.0000 +27.0000i

  32.0000 + 5.0000i

  12.0000 +14.0000i

2.4.2 Схема, содержащая  замкнутые контура

2.4.2.1 Первая и вторая матрицы инциденций

В начале составим первую и вторую матрицы  инциденций ( ) для нашего графа.

 

                                                 

 

Узел  является балансирующим узлом.

Первая  матрица инциденций без балансирующего узла будет иметь вид:

.

В нашей  схеме замещения всего один независимый  контур, в соответствии с этим вторая матрица инциденций примет вид:

.

Столбцы в этой матрице имеет ту же нумерацию, что и в первой матрице инциденций.

2.4.2.2 Обобщенное уравнение состояния

Запишем для  нашей схемы обобщенное уравнение  состояния

 

Последний элемент в вектор- столбце  равен , т.к. ЭДС в ветвях отсутствует. Данная система может быть решена относительно искомых токов в ветвях любым методом решения систем линейных алгебраических уравнений (например, методом обратной матрицы или методом Гаусса).

2.4.2.3 Решение матричного уравнения состояния методом Гаусса

_Пусть

_{Тогда запишем систему  уравнений}

 

Из последнего уравнения системы  определяем .

Далее находим оставшиеся x.

_{Соответственно  токи равны:}

2.4.2.4 Решение матричного уравнения состояния методом обратной матрицы

_{Обозначим матрицу}

 

_{Находим токи с помощью  системы MatLab}

 

K=[1 -1 0 0;-1 0 0 -1;0 0 -1 1;-4 -2 2 2];

F=[-145; -70; -64; 0];

I=inv(K)*F

I =

   11.8000

  156.8000

  122.2000

   58.2000

_{Соответственно  токи равны:}

2.4.2.5 Решение матричного уравнения состояния методом Крамера в системе MATLAB

     

a=[1 -1 0 0;-1 0 0 -1;0 0 -1 1;-4 -2 2 2];

a1=[-145 -1 0 0;-70 0 0 -1; -64 0 -1 1;0 -2 2 2];

a2=[1 -145 0 0;-1 -70 0 -1; 0 -64 -1 1; -4 0 2 2];

a3=[1 -1 -145 0; -1 0 -70 -1; 0 0 -64 1; -4 -2 0 2];

a4=[1 -1 0 -145;-1 0 0 -70;0 0 -1 -64; -4 -2 2 0];

x1=det(a1)/det(a)

x1 =

   11.8000

x2=det(a2)/det(a)

x2 =

  156.8000

x3=det(a3)/det(a)

x3 =

  122.2000

x4=det(a4)/det(a)

x4 =

   58.2000

_{Соответственно  токи равны:}

2.4.2.6 Сравнение полученных промежуточных результатов, найденных разными способами

 

Токи	Методы решения
	Метод обратной матрицы	метод Гаусса	метод Крамера в системе  MATLAB
I12	11,8	11,8	11,8
I14	156,8	156,8	156,8
I34	122,2	122,2	122,2
I23	58,2	58,2	58,2

После сравнения  мы видим, что все токи абсолютно  идентичны.

 

2.4.2.7 Вычисление узловых напряжений аналитически

По закону Ома определим падение напряжения  на ветвях схемы

Используя уравнение  ,  получаем

Перемножая матрицы в матричном  уравнении, получаем уравнения с неизвестными, т.е. данная система переопределена. В нашем случае можно выбросить любое уравнение переопределенной системы и решить ее также каким-либо методом решения систем линейных алгебраических уравнений.

   

     

_{Соответственно  напряжения равны:}

2.4.2.8 Вычисление узловых напряжений с помощью MATLAB- программы

Вычеркиваем из матрицы M^t последнюю строку и из матрицы U_в аналогично.

M=[1 -1 0;-1 0 0;0 0 -1];

U=[47.2;313.6;244.4];

inv(M)*U

ans =

-313.6000

-360.8000

-244.4000

U1=6000-313.6

U1 =

  5.6864e+003

U2=6000-360.8

U2 =

  5.6392e+003

U3=6000-244.4

U3 =

  5.7556e+003

_{Соответственно  напряжения равны:}

2.4.2.9 Сравнение полученных результатов, найденных разными способами

Напряжения	Методы решения
	аналитически	С помощьюMATLAB
U1	5686,2	5686,2
U2	5639,2	5639,2
U3	5755,6	5755,6

После сравнения  мы видим, что все напряжения абсолютно  идентичны.

 

 

 

 

 

 

Задание 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

Краткие теоретические  сведения

 

Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений  можно разделить на две группы :

• точные методы;
• методы последовательных приближений.

С помощью точных методов, проделав конечное число операций, можно получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений. К точным методам  решения систем линейных алгебраических уравнений относятся такие методы как метод обратной матрицы, метод  Крамера (определителей), метод Гаусса и др.

Точные методы решения  систем линейных алгебраических уравнений  применяют для решения систем относительно небольшой размерности (до 10^!). Привлекательными в методах последовательных приближений является их самоисправляемость и простота реализации на ПК. Для начала вычислений требуется задание начальных приближений для искомых неизвестных. К числу методов последовательных приближений относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Решить систему линейных алгебраических уравнений - значит определить, является ли она совместной или нет. В случае если система совместна, нужно найти ее решение.

Для определения совместности системы можно использовать теорему  Кронекера - Капелли, смысл которой  состоит в следующем: для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы  коэффициентов системы А был равен рангу ее расширенной матрицы коэффициентов.