Математические задачи электроэнергетики

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра электроснабжения и электротехники

 

 

                                                          

                                                                       Допускаю к защите 

Руководитель_____________

_________________________

                                                                            И.О. Фамилия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №24

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К курсовой работе по дисциплине

 

Математические  задачи электроэнергетики

 

 

 

 

Выполнил: студент группы ЭП-10-1______________________

 

Нормконтроль                                     _____________________Свеженцева О.В.

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов 4

1.1 Представление синусоидального тока комплексными величинами 4

1.2 Матричная алгебра 4

1.3 Определитель матрицы и его свойства 4

1.4 Вычисление обратной матрицы 5

2. Расчет установившихся режимов электрических систем 7

2.1.Схема замещения электрической сети как связный граф 7

2.2.Первая и вторая матрицы  инциденций 8

3. Методы решения линейных алгебраических уравнений 11

3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса 11

3.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений в MATLAB 11

4. Приближенные методы решения нелинейных алгебраических уравнений. 16

4.1.Метод деления отрезка пополам 16

4.2.Метод Ньютона………………………………………………………………………………………………..

4.3.Метод простой итерации.................................................................................

5.  Применение вероятностно - статистических методов в задачах    электроснабжения 19

 5.1.Основные определения...................................................................................

 5.2.Прогнозирование уровня электропотребления на промышленном предприятии............................................................................................................

 5.3.Вычисление числовых характеристик случайных величин в системе MATLAB....................................................................................................................

6.Расчетная часть 1 задания.....................................................................................

7.Расчетная часть 2 задания......................................................................................

8.Расчетная часть 3 задания......................................................................................

9.Расчетная часть 4 задания......................................................................................

10.Расчетная часть 5 задания......................................................................................

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 24

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов.

 

Краткие теоретические  сведения

1.1 Представление синусоидального тока комплексными величинами

 

Любое вещественное число  можно изобразить графически на числовой оси Ох. Понятие вещественного  числа можно обобщить, если ввести в рассмотрение число z, образованное парой вещественных чисел х,у, взятых в определенном порядке. Такое число z = (x,y) называется комплексным. Вещественные числа х,у составляют соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа г. Часто используются обозначения

x=Rez y = lmz

Комплексные числа также  можно изображать графически. Это  изображение будет двумерным  на плоскости, образованной двумя взаимно  перпендикулярными осями Ох и  Оу. Комплексное число на плоскости  хОу представляется точкой М{х,у); эту точку также называют изображением комплексного числа и обратно, пару чисел (х,у), образующих комплексное число z , называют аффиксом точки М .

Любое комплексное число  можно представить в одной  из трех форм.

• Алгебраической
• Тригонометрической
• Показательной

z = x + jy

z = |z|cosα + j[z|sinα

z = |z|e^jα

Где |z| = - модуль комплексного числа

 - аргумент комплексного числа

Если аргумент α явлеятся линейной функцией времени t , т.е. α =, то

 

 

И графическое представление комплексной  функции  аналогично представлению синусоидального тока вращающимся вектором.

Комплексная функция  , у которой модуль и аргумент равны соответственно амплитуде и аргументу синусоидального тока, называется комплексным мгновенным синусоидальным током.

Закон Ома для участка  цепи синусоидального тока без источника  ЭДС можно сформулировать таким  образом: комплексная амплитуда тока в цепи синусоидального тока равна отношению комплексной амплитуды напряжения к комплексному сопротивлению цепи.

Два комплексных числа z = (x,y) и z' = (х',у') считаются равными, если совпадают изображающие их точки. Это означает, что равенство z и z' имеет место в том, и только в том случае, когда

х=х', y=у'

Т.е. другими словами два  комплексных числа равны, когда  равны их действительные и комплексные  части.

Для алгебраической формы  представления комплексных чисел  справедливо; при сложении двух комплексных  чисел складываются отдельно их действительные и комплексные части.

(х, у) + (х', у') = (х + х',у + у').

Умножение двух комплексных  чисел следует производить как  умножение двух алгебраических двучленов, приводя подобные при нулевой  и первой степени числа j и помня, что  j² =-1.

(х, у) * (х', у') = (хх'- уу,ху' + х'у)

Если число z = (х,у), то число z'=(х-у) называется комплексно сопряженным к числу z .

Вычитание и деление определяются как операции обратные операциям  сложения и умножения, деление на 0 для комплексного числа не определено.

Деление комплексных чисел  удобно выполнять с помощью умножения  делимого и делителя на число сопряженное  делителю. В результате этой, не изменяющей дробь операции, в знаменателе  получаем вещественное число.

 

1.2 Матричная алгебра

 

Матрицей размера (mхn) называется прямоугольная таблица:

 

 

 

составленная из элементов a_ij и содержащая m строк и n столбцов.

Положение элементов в  таблице определяется двойным индексом ij, первый означает номер строки, второй номер столбца на пересечении которых стоит данный элемент. Запись группы величин в виде матрицы не предусматривает каких-либо действий над ними. Это лишь одна из форм упорядоченной записи в виде условной таблицы.

Если в матрице А строки сделать столбцами, а столбцы строками, то получается транспонированная матрица А^Т.

Квадратной матрицей называется матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов. Если элементы в квадратной матрице располагаются симметрично относительно главной диагонали, то такая матрица называется симметричной.

Диагональной матрицей называется матрица, в которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны 0.

Единичная матрица, это диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят 1.

Матричная алгебра это множество матриц плюс множество операций, которые можно выполнять над матрицами. В любой алгебре есть два замечательных числа – это ноль и единица. Ноль не изменяет число при сложении, единица не изменяет число при умножении, т.е.

 

В алгебре матриц также есть подобные элементы – это нулевая матрица, она играет роль нуля в алгебре  матриц и это единичная матрица  соответствующей размерности, она  играет роль единицы в алгебре  матриц.

Сложение матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую размерность. Сложением двух матриц называется операция, при которой складываются элементы, стоящие на одинаковых местах в соответствующих таблицах.

Умножение матрицы  на число. Для того чтобы умножить матрицу А на число , необходимо каждый элемент этой матрицы умножить на число .

Умножение матриц. Умножение матриц в алгебре матриц не коммутативно. Для того, чтобы произведение матриц существовало, необходимо чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй матрицы. Если матрица А имеет размерность (и хот), а матрица В размерность (mхn), то матрица С=А-В имеет размерность (nхm). В качестве элементов расположенных на пересечении i -той строки и j -го столбца матрицы произведения, принимают суммы попарных произведений, расположенных на одинаковых местах указанных строк матрицы множимого и столбцов матрицы- множителя.

 

Так как произведение матриц не коммутативно, следует различать  умножение матрицы А на некоторую другую матрицу слева и справа, причем в общем случае эти матрицы могут иметь разную размерность.

 

1.3 Определитель  матрицы и его свойства

 

Основной числовой характеристикой  квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

A=

Определителем или детерминантом  второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу:

=

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка:

 

Определителем третьего порядка  называется число, вычисленное по следующему правилу:

 

В целях запоминания сочетания  слагаемых, входящих в выражения  для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых , входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.

Последние три слагаемые, входящие со знаком минус  определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.

Основные свойства определителей матрицы

• Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.
• При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.
• Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.
• Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.
• Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
• Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка  выше r, которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка r хотя бы один отличен от нуля, то число r называется рангом этой матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.

Таким образом 

,

где соответствующий минор порядка.

Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы  равен сумме произведений элементов  какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого  столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует  руководствоваться следующим правилом: выбирать отроку или столбец с  наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.

 

1.4 Вычисление  обратной матрицы

 

При решении матричных  уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени  заменяет операцию деления, которая  в явном виде в алгебре матриц отсутствует.