Математические задачи электроэнергетики

 

3.1 Решение систем  линейных алгебраических уравнений  методом Гаусса

В электроэнергетических  задачах наибольшее распространение  получил метод последовательных исключений Гаусса. Он относится к  классу точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Процесс  решения по методу Гаусса состоит  из двух этапов: прямой ход метода и  обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных  из этой треугольной системы.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений п - го порядка.

                                      (2)

Будем считать, что коэффициент , который называют ведущим элементом первого шага, отличен от нуля (в случае, если =0, нужно поменять местами первое уравнение с i-тым уравнением, в котором 0). Разделим теперь почленно первое уравнение системы на коэффициент . Введем множители:

 

Прибавим теперь к каждому  i- тому уравнению системы первое уравнение, умноженное на  m_i1. Проделав эту операцию, мы исключим неизвестное x₁, из всех уравнений, начиная со второго.

Преобразованная система  примет вид:

                                      (3)

Здесь индекс (1) означает новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса.

Переходя, к выполнению второго  шага прямого хода метода Гаусса предположим, что элемент , который называют ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Разделим второе уравнение на коэффициент . Введем множители:

 

Прибавим к i-тому уравнению системы (3), второе уравнение, умноженное на т_i2, в результате исключим неизвестное x₂ из всех уравнений, кроме первых двух.

Проведя далее аналогичные  преобразования, после n-го шага придем к треугольной системе вида :

                                      (4)

Второй этап - обратный ход метода Гаусса реализуется следующим 
образом. Из последнего уравнения системы (4) определяем х_n. По найденному 
значению х_n из n-го уравнения определяем неизвестное x_(n-1). Затем по значениям   х_n и x_(n-1)  из   (n-2)-   го  уравнения  находим   x_(n-2)   и  т.д. Последовательное вычисление неизвестных продолжается до тех пор, пока из первого уравнения системы (4) не определим . На этом процесс решения заканчивается

Отметим некоторые специфические особенности  изложенного метода Гаусса, характерные  для ЭЭС. Основная из них заключается  в погрешностях вычислений в результате округления чисел по причине конечной длины разрядной сетки ПК. Погрешности  зависят в основном от величины ведущего элемента. На шаге исключения, прямого  хода метода Гаусса погрешности возрастают, если ведущий элемент мал по сравнению  с другими коэффициентами соответствующего столбца матрицы коэффициентов  . Поэтому с целью снижения погрешностей вычислений производят специальный выбор ведущего элемента – перестановкой уравнений добиваются того, чтобы на данном шаге исключения в качестве ведущего элемента оказался наибольший коэффициент уравнения.

 

3.2 Решение систем  линейных алгебраических уравнений  в системе MATLAB

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом

Жордана-Гаусса

Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений:

 

где - коэффициенты системы, - свободные члены, - неизвестные.

Сущность этого метода заключается в том, что, начиная  со второго шага, зануляются все элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной диагонали. Это достигается с помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений n-го порядка, то на каждом шаге прямого хода метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляется ровно (n-1) коэффициент.

Стандартной функцией, которая  реализует метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB , является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью  MATLAB можно применять оператор «\», который самостоятельно выбирает лучший метод для решения заданной системы уравнений. При этом решение системы линейных алгебраических уравнений любого порядка достигается одной командой:

»Х =(А\В)’

 

 

Расчетная часть

3.3 Расчет индивидуального  задания варианта 24

Расчетная часть  должна содержать:

• исследование системы линейных алгебраических уравнений на совместность,
• аналитическое  решение  системы  линейных  алгебраических уравнений методом Гаусса,
• решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB,
• сравнение   полученных   результатов,   найденных   разными способами.

Дано:

3.3.1 Исследованием  системы линейных алгебраических уравнений на совместность

Вычислим  ранг матрицы коэффициентов  и ранг расширенной матрицы коэффициентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

A=[3 -7 7 2;1 -8 9 2;4 -7 14 5;1 2 -3 -1];

A1=[3 -7 7 2 -22;1 -8 9 2 -35;4 -7 14 5 -48; 1 2 -3 -1 12];

rank(A)

ans =

     4

rank(A1)

ans =

4

Получили, что ранг матрицы коэффициентов  равен рангу расширенной матрицы  коэффициентов, отсюда следует, что  система совместна и имеет  единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).

3.3.2 Аналитическое решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

На главной диагонали, преобразованной  матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса.

Из последнего уравнения системы  определяем

Далее находим  оставшиеся x.

 

3.3.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB

A=[3 -7 7 2;1 -8 9 2;4 -7 14 5;1 2 -3 -1];

B=[-22;-35;-48;12];

1) AB=[A B]

AB =

     3    -7     7     2   -22

     1    -8     9     2   -35

     4    -7    14     5   -48

     1     2    -3    -1    12

rref(AB)

ans =

     1     0     0     0     1

     0     1     0     0    -1

     0     0     1     0    -6

     0     0     0     1     5

2) X=(A\B)'

X =

    1.0000   -1.0000   -6.0000    5.0000

 

 

 

3.3.4 Сравнение полученных результатов, найденных разными способами

	метод Гаусса	метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB
X1	1	1
X2	-1	-1
X3	-6	-6
X4	5	5

После сравнения  мы видим, что корни системы, полученные методом Гаусса абсолютно идентичны  корням, полученным с помощью методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB.

 

Задание 4. Приближенные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

 

Краткие теоретические  сведения

Необходимость отыскания корней характеристического  уравнения всегда возникает при расчете переходного процесса в линейных электрических цепях. В общем случае характеристическое уравнение может быть сколь угодно высокого порядка. Значения, которые могут принимать корни характеристического уравнения дают представление о характере переходного процесса и в общем случае могут принимать комплексные значения.

Алгебраическое уравнение m - ной степени задается в следующем виде:

а₀х^т+ а₁x^(m-1) + …. + а_т =0

Относительно небольшое количество задач отыскания корней нелинейных алгебраических уравнений можно  решить аналитически, на практике почти  всегда приходится находить решение  уравнений с помощью численных  методов.

Приближенное  решение нелинейных алгебраических уравнений состоит из двух этапов:

• этап отделения корней
• этап уточнения корней

Пусть требуется найти корни уравнения f(x) = 0. Этап отделения корней этого уравнения заключается в нахождении всех интервалов в области определения функции f(x), на концах которых функция меняет знак. Количество интервалов определяется по числу корней. Не существует универсального метода, позволяющего отделить все корни нелинейного алгебраического уравнения. В качестве возможных способов отделения корней могут быть предложены следующие способы.

• Графический способ. Приближенно строится график функции f(x) и по графику определяются интервалы на оси Ох, на которых функция f(x) меняет знаки.
• Табличный способ. Строится таблица, состоящая из двух строк, в первой строке с каким-то произвольным шагом изменяется значение аргумента х, желательно на отрезке симметричном относительно 0. Во второй строке вычисляются соответствующие значения функции f(x). Если в соседних ячейках второй строки функция меняет знак (причем неважно с + на - или с - на +), то считается что на этом интервале находится хотя бы один корень.
• Способ нахождения верхних и нижних границ положительных и отрицательных корней.

 

4.1Метод деления отрезка пополам

 После отделения корней можно уточнить его одним из методов последовательных приближений. Одним из таких методов является метод деления отрезка пополам. Этот метод является наиболее простым надежным методом уточнения корня на отрезке [а,b] в том случае, когда функция f(x) из уравнения f(x) = 0 является непрерывной функцией и принимает на концах отрезка [а,b] значения разных знаков, т.е. f(a)-f(b)<0.

Рис. 4

Очевидно, что середина отрезка [а,b] служит приближением к искомому   корню уравнения.  Обозначим середину  отрезка [a,b]  точкой  x1= . В этой точке определяется знак функции f(x) , затем выбирается та половина отрезка, на концах которой функция f(x) принимает значения разных знаков и деление повторяется по тому же самому алгоритму. Если требуется найти корень с точностью δ , то деление отрезка пополам продолжается до тех пор, пока длина последнего отрезка содержащего корень не станет меньше величины 2∙δ. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В этом методе можно не вычислять само значение функции f{x), достаточно лишь определить знак значения функции. Обозначим погрешность на п шаге через , где x^*- точное значение корня, тогда погрешности на n- том и (n+1) шаге связаны неравенством , где n = 1,2,.., что позволяет отнести метод деления отрезка пополам к методам, имеющим линейную скорость сходимости.

4.2Метод Ньютона

Метод Ньютона применяется к решению  уравнения, когда функция f(x) является непрерывно дифференцируемой функцией. Также вначале отделим корень уравнения на отрезке [а, b].

Рис. 5

 

Для начала вычислений требуется задание одного начального приближения x₀ внутри отрезка [а,b]. Первое приближение вычисляется через это начальное по формуле:

Общая формула метода Ньютона может  быть записана с помощью рекуррентного соотношения:

где n = 0,1,… и f'(x_n)≠0.

Каждое последующее приближение  вычисляется через предыдущее. Геометрически точка х_n+1 является значением абсциссы точки пересечения касательной к кривой y=f(x) в точке (х_n,) с осью абсцисс, поэтому часто метод Ньютона называют также методом касательных.

На  практике можно встреться со случаем  сходимости метода Ньютона, когда х₀ далеко от искомого корня, так и со случаем расходимости метода для х₀ - близких к корню. Возможен также случай зацикливания метода. Часто при неудачном выборе начального приближения х₀ нет монотонного убывания последовательности | f(x_n)|. В таком случае вычисления можно проводить по модифицированному методу Ньютона:

  n = 1,2,..,

а сомножители 0 < а_n < 1 выбираются так, чтобы выполнялось неравенство

Сомножители 0 < а_n < 1 сжимают отображение. Рекомендуется всегда выбирать достаточно тесные границы корня [а,b], и в качестве начального приближения х₀ выбирать такую точку отрезка [а,b], где знаки функции f(x₀) и ее кривизны f"(x₀) совпадают.

Условием  выхода из итерационного процесса по методу Ньютона является выполнение неравенства   

 

4.3 Метод простой итерации

Метод простой итерации применяется к  решению уравнения с выделенным значением неизвестного в правой части х=φ(х) и состоит в построении последовательности {х_n}, начиная с некоторого начального значения х₀ по правилу

      n = 0,1,...

 Если     φ(х_п) - непрерывная     функция,    а     {x_n}-    сходящаяся последовательность, то значение х^* = lim х_п является корнем уравнения.

Условием сходимости процесса итераций, т.е. условие существования предела, есть соблюдение неравенства, носящего название принципа сжатых отображений:

|φ^’(x)|<1,

где φ'(х) = для всех х в интервале отделения корня. Сходимость будет тем более быстрой, чем меньше величина |φ'(х)|. Погрешности метода на п и п+1 связаны неравенством