Курс лекци по " Механике жидкости и газа"

.                                                            (6)

Иначе говоря, вектор скорости течения жидкости направлен по нормали  к рассматриваемой линии. Это  означает, что семейство кривых  в условиях плоской задачи представляет собой живые сечения.

Представим уравнение  линии тока в виде

.                                                        (7)

Решение уравнения (7) возможно при условии:

  и   .

Функция называется функцией тока, для нее справедливо

,

или                                                          .                                                       (8)

Функция тока, как и  потенциал скорости удовлетворяет  уравнению Лапласа. Действительно,  из условия  (4) следует:

.

Сравнивая выражения  для соответствующих составляющих скорости, получим:

.                                               (9)

Система (9) является аналитическим  условием взаимной ортогональности  потенциала скорости и функции тока. Графически связь между потенциалом  скорости и функцией тока представляет собой семейство кривых, пересекающихся под прямыми углами.

3. В случае безвихревого движения идеальной жидкости первым интегралом уравнения движения возьмем уравнение Эйлера в форме Громека-Ламба

                                     (10)

и положим в нем 

,    .

Вследствие независимости  операций частного или локального дифференцирования  по времени  и пространственного дифференцирования, выражаемого операцией , можно менять порядок дифференцирования

,

вместо (10) будем иметь  равенство

,                                             (11)

интегрирование которого приводит к выражению первого  интеграла уравнения движения

,                                                 (12)

называемого интегралом Лагранжа-Коши; здесь одинаковая для всей области течения произвольная функция времени, определяемая из граничных условий.

Интеграл Лагранжа-Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли при стационарном движении. В последнем случае

,

и равенство (12) превращается в обычное соотношение Бернулли

,

 

В задаче о движении тела сквозь покоящуюся на бесконечности жидкость должны выполняться условия:

а) на поверхности тела – условие непроницаемости, т.е. равенства нормальных составляющих скоростей  частиц жидкости на поверхности твердого тела нормальным составляющим скоростей соприкасающихся с ними точек твердого тела

;

б) на бесконечном удалении от тела – равенство нулю скоростей  частиц жидкости

;

в декартовой системе 

.

В задаче об обтекании  неподвижного твердого тела жидкостью, имеющей на бесконечности заданную скорость , будем иметь граничные условия:

а) на поверхности тела

,

б) на бесконечности

,    ,   .

Безвихревое движение идеальной  несжимаемой жидкости обладает многими  интересными свойствами.

Теорема Кельвина. Если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 13.

Плоское безвихревое  движение несжимаемой жидкости. Функция  тока. Применение теоремы функции  комплексного переменного

Рассмотрим плоское  стационарное движение несжимаемой  жидкости. При плоском движении все  частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость  , причем во всех параллельных плоскостях движения тождественны. Поэтому движение будем рассматривать только в плоскости . Каждая  линия в таком плоском движении, проведенная в плоскости , является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости . Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание бесконечного цилиндрического тела. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости , т.е. в направлении оси , которая на рисунках опускается.

В рассматриваемом случае задача сводится к решению задачи об интегрировании уравнения Лапласа при тех или иных граничных условиях, которое для плоского случая имеет вид

.

В случае плоского движения задача может быть решена при помощи метода комплексной переменной.

Из уравнения неразрывности (несжимаемости)

                                                     (13)

следует, что всегда можно  найти функцию  , тождественно удовлетворяющую уравнению (13) и связанную с проекциями скорости и равенствами

.                                                       (14)

Дифференциальные уравнения  линий тока в случае плоского движения имеют вид

.

Подставим в него значения проекций скорости по (14), тогда получим

или

.

Из последнего равенства  следует, что функция  сохраняет постоянное значение вдоль линий тока; или, семейство линий уровня функции

                                                             (15)

представляют совокупность линий тока. Функция  называется функцией тока.

Проведем в плоскости  течения контур (рис. 55) и вычислим секундный объемный расход (отнесенный к единице длины в направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это сечение; будем иметь ( направляющие косинусы нормали к элементу  контура )

или  по (14)

.                                (16)

К тому же результату можно  прийти, использовав тот факт, что  секундный объемный расход сквозь трубку тока не зависит от формы сечения  . В случае элементарной трубки выберем (рис. 56) это сечение в виде совокупности двух элементарных отрезков и , соответственно параллельных осям координат. Тогда, как это следует из чертежа, элементарный секундный объемный расход будет равен

,

после чего уже легко  получается равенство (16).

Следовательно, разность значений функций тока в двух каких-нибудь точках потока равна секундному объемному расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.

Условимся в дальнейшем одну какую-нибудь линию тока произвольно  рассматривать как нулевую, полагая, что вдоль нее

.

Это можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (14), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять такое условие, то значение константы в (15) на некоторой линии тока будет равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.

Сопоставим выражения  проекций скорости через потенциал  скоростей, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств

,                                                       (17)

и выражения (14) тех же проекций через функцию тока ; будем иметь следующую систему соотношений:

.

Эти уравнения выражают известные условия Коши-Римана, при выполнении которых комплексная величина

                                             (18)

будет не просто функцией двух переменных , а функцией одной комплексной переменной . Действительно, если величина есть функция только положения точки с координатой , то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т.е. координаты , а не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Другими словами, можно утверждать, что производная и производные по направлениям действительной и мнимой осей равны между собой:

.                                                          (19)

Замечая, что 

,

и приравнивая друг другу  правые части этих равенств, получим  те же выражения условий Коши-Римана.

Отделяя в произвольной функции комплексного переменного действительную и мнимую части, получим потенциал скоростей и функцию тока некоторого плоского безвихревого движения

.                                      (20)

Приравнивая функцию  различным постоянным, получим семейство изопотенциальных линий; аналогично совокупность равенств , представляет семейство линий тока.

Покажем, что изопотенциальные линии и линии тока в любой  точке плоскости течения взаимно  ортогональны. Для этого достаточно показать, что векторы – градиенты  функций  и - взаимно перпендикулярны. Имеем

,

что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока.

Если вместо функции  рассмотреть функцию , то в новом движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии – с линиями тока; этим приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что функция тока всегда играет сопряженную роль с функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собой безвихревых плоских движениях идеальной жидкости.

Условимся при изложении  плоского движения обозначать буквой комплексную скорость . Величина скорости .  Введем также в рассмотрение сопряженную скорость , равную  . Если угол, образованный вектором комплексной скорости с действительной осью, то

                                       (21)

                                               (22)

Сопряженная скорость имеет  ту же величину (модуль), что и комплексная  скорость, но направлена по зеркальному отображению комплексной скорости относительно действительной оси.

Рассмотрим производную  комплексного потенциала по комплексному аргументу.

, 

т.е. производная от комплексного  потенциала по комплексной координате равна сопряженной скорости.

Проекции скорости и определяются соответственно

,       .                                              (23)

Контурный интеграл от сопряженной скорости по замкнутому контуру в плоскости течения, равный

.                                               (24)

Действительная часть  определяет циркуляцию скорости по замкнутому контуру, а мнимая – секундный расход жидкости через замкнутый контур

                                         (25)

                                         (26)

 

 

Лекция 14.

Комплексный потенциал. Примеры простейших течений: однородный поток, источник (сток), вихрь, диполь.

 

Пользуясь приемом (20) отделения действительной и мнимой частей в выражении комплексного потенциала, можем составить потенциалы скоростей и функции тока, а по (23) ,       и распределение скорости, для нескольких простейших плоских потоков идеальной несжимаемой жидкости.

1. Однородный поток с вектором скорости , наклоненной к оси под углом (рис. 8):

 

 

 

 

 

 

2. Источник (сток) в начале координат (рис.9) с секундным расходом (дебитом) действительной величиной, положительной в случае источника и отрицательной в случае стока:

 

 

 

полярные координаты,

.

3. Вихрь, изолированный в начале координат (рис.10), с циркуляцией

.