Курс лекци по " Механике жидкости и газа"

                                                         

.                                                  (34)

 

3.Геометрическая и энергетическая интерпретация основного уравнения равновесия жидкости. Слагаемые основного уравнения (26) имеют линейную размерность. Поэтому основное уравнение для произвольной точки, например , легко представить (рис.8) в виде суммы двух отрезков, равных соответственно и . Величина в технической механике жидкости называется высотой положения, она отсчитывается от произвольной плоскости сравнения и поэтому в общем случае величина произвольная, например . Величина определяется давлением в рассматриваемой точке (М) и может быть измерена высотой подъема жидкости в присоединенной к сосуду трубке, из которой полностью удален воздух. Если трубка открытым концом соединена с атмосферой (такая трубка называется пьезометром), то высота подъема жидкости будет определяться манометрическим или избыточным давлением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Высота    называется пьезометрической высотой; высота - приведенной высотой. Сумму высот называют гидростатическим напором; сумму - пьезометрическим напором.

Из уравнения (26) следует, что гидростатический напор для всех точек покоящейся жидкости есть величина постоянная:

                                                          (35)

Горизонтальная плоскость  с ординатой  называется  плоскостью гидростатического напора ; горизонтальная плоскость с ординатой плоскостью пьезометрического напора . В том случае, когда давление на свободной поверхности больше атмосферного (рис. 8а), плоскость пьезометрического напора располагается выше свободной поверхности на величину , при (рис.8б) – ниже свободной поверхности на величину .

4. Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность. Действие сил гидростатического давления, распределенного по поверхности, которая это давление воспринимает, может быть заменено действием одной сосредоточенной силы – их равнодействующей.

Рассмотрим  сначала  простейший случай – давление жидкости на плоское дно цилиндрического сосуда (рис. 12а). Выделим в пределах площади дна элементарную площадку ; очевидно, что давление в каждой ее точке будет постоянным. Сила давления на эту площадку равна:

(где  полное гидростатическое давление в любой точке площади дна).

Равнодействующая сила давления определится интегралом от элементарной силы, взятым по всей площади дна:

                                                   

                                                  (36) 

так как входящие под  знак интеграла  и величины постоянные. Уравнение (36) показывает, что независимо от формы сосуда, заполненного жидкостью, и формы его дна сила гидростатического давления будет одинаковой при условии:  и   (рис. 12б). В случае  равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда точка приложения равнодействующей и центр тяжести площадки совпадают.

 

 

§   Давление жидкости на криволинейные поверхности. Закон Архимеда.

 

 

На  твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела. (рис. 15).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Силу  часто называют выталкивающей или архимедовой силой.

 

§ Равновесие газа в поле силы тяжести.

 

Дифференциальные уравнения  равновесия (20) и (22)

и

,

как указывалось раньше, имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости и газа. В отличие от несжимаемой (капельной) жидкости плотность газа есть величина переменная, зависящая от состояния газа.

Рассмотрим сначала  уравнение поверхности уровня для  газа в поле силы тяжести. Это уравнение, так как примет вид:

                                                    

                                                    (37)

Следовательно, для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри занимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 16).          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение давления в газе будет, как  это следует из уравнения (20), зависеть не только от координаты точки внутри сжимаемой жидкости, но и от того, как связаны между собой давление, плотность и температура газа. Эта связь устанавливается на основании уравнения газового состояния

                                                             (38)

где  абсолютная температура газа в рассматриваемой точке.

Рассмотрим равновесие газа для однородной атмосферы и  при изотермическом изменении газового состояния.

Однородная атмосфера. В этом случае , распределение давления не отличается от распределения давления в покоящейся капельной жидкости. Действительно, при ,

,

.

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 16) на поверхности земли и , получим уравнение (28):

,

 где  расстояние от плоскости сравнения до рассматриваемой точки (высота точки М); расстояние от плоскости сравнения до поверхности с заданным давлением . Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшается, так как в выбранной системе координат .

Изотермическое изменение  состояния газа. В случае изотермического состояния газа его плотность меняется в соответствии с уравнением Клапейрона:

                                                                   (39)

 где  универсальная газовая постоянная.

После подстановки уравнения  газового состояния в дифференциальное уравнение равновесия последнее  приобретает следующий вид:

или после разделения переменных

                                                        (40)

Интегрируя выражение (40), получим:

С учетом граничных условий  на поверхности земли запишем:

                                              (41)

Заменяя в формуле (41) на и решая ее относительно находим:

                                                         (42)

Уравнение (42) показывает, что при изотермическом состоянии  давление в покоящемся газе меняется по экспоненциальному закону, уменьшаясь с увеличением высоты рассматриваемой  точки.

 

 

 

 

Основы кинематики и динамики жидкости и газа

 

§1. Кинематика жидкости и газа

 

Кинематика одного и  того же потока может изучаться как  методом Эйлера, так и методом  Лагранжа. Координаты  Эйлера и Лагранжа связаны друг с другом. В большинстве случаев используют метод Эйлера.

Все случаи течения жидкости или газа можно разделить на две  группы: неустановившееся и установившееся движение.

Неустановившиеся течения  описываются системой уравнений:

                                                (1)

Они характерны тем, что в любой точке параметры, характеризующие поток, являются функцией не только координат, но и времени.

Движение жидкости или  газа будет установившимся, если характеризующие  его параметры не зависят от времени. Установившееся течение может быть равномерным и неравномерным.

При равномерном движении жидкости или газа скорости течения  в сходственных точках постоянны  независимо от координат этих точек. Примером такого движения может служить течение несжимаемой жидкости с постоянным расходом в трубе постоянного сечения.

При неравномерном течении  жидкости скорости ее движения остаются независящими от времени, но являются  функцией координат. Примером может  служить движение жидкости в трубе переменного сечения. В зависимости от площади сечения скорость течения жидкости вдоль трубы будет изменяться, но она будет сохранять свое значение вне зависимости от времени.

Линией тока называют кривую, проведенную внутри потока во всех своих точках касательную к скорости течения жидкости (рис. 2). Если движение неустановившееся, то в заданной точке в потоке направление скорости изменяется во времени (рис.3). Следовательно, с течением времени изменяются и проходящие через данную точку линии тока. При установившемся течении в каждой данной точке устанавливается скорость, величина и направление которой не зависят от времени, поэтому линия тока и траектория элементарно малой жидкой частицы совпадают.

В точке внутри потока с координатами составляющие скорости вдоль осей координат будут . При перемещении вдоль линии тока на расстояние в точку с координатами , получим:

                                                           (3)

Это равенство представляет собой уравнение линии тока. При  известных составляющих скорости можно  получить уравнение линий тока для  конкретного течения. В качестве примера рассмотрим течение, когда составляющие скорости потока будут и . Уравнение линий тока в этом случае

 или    

следовательно,  т.е. линии тока – гиперболы (рис.4).

Полученное семейство  линий тока принадлежит потоку, обтекающему  вертикальную стенку.

В потоке жидкости проведем замкнутый контур, ограничивающий поверхность  элементарно малой площади. Через  каждую точку контура может быть проведена линия тока (рис.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность, образованная этими линиями тока, называется трубкой тока. Скорости жидкости касательны к поверхности трубки тока, поэтому между жидкостью, движущейся в трубке тока, и остальным потоком нет обмена массами жидкости. Масса жидкости, текущей внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Совокупность элементарных струек образует поток жидкости или газа.

Проведем в трубке тока сечение, площадь которого равна  , нормально к направлению скорости . Такая поверхность называется живым сечением струйки. Произведение площади живого сечения и скорости называется элементарным расходом   жидкости или газа:

                                                              (4)

Это произведение представляет собой объем жидкости, проходящей в единицу времени через сечение  . Элементарный расход измеряется в м³/с. Масса жидкости, проходящая через сечение струйки в единицу времени,

, 

где плотность жидкости или газа, текущих в трубке тока.

Если провести сечение в потоке таким образом, чтобы его поверхность в любой точке была нормальна к направлению соответствующего вектора скорости (рис. 6), то площадь этой поверхности будет равна сумме живых сечений струек:

.

Такая поверхность называется живым сечением потока.

Смоченный периметр та часть периметра, вдоль которой жидкость соприкасается с твердыми стенками канала (трубы). Гидравлическим радиусом называют отношение площади живого сечения к смоченному периметру.

Расход жидкости равен сумме расходов каждой струйки:

                                               (5)

Массовый расход жидкости равен сумме массовых расходов каждой струйки:

= .                                             (6)

Средняя скорость потока жидкости – отношение расхода к площади живого сечения потока, т.е.

.                                                          (7)

 

§2. Уравнение неразрывности

 

Основным условием, которое  должно соблюдаться при течении жидкости или газа, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. при течении жидкости должны быть соблюдены условия сплошности. Жидкость или газ должны двигаться в соответствующих каналах как сплошная среда без разрывов. Сформулируем это условие. Отнесем поток жидкости к системе координат   (рис. 7). В потоке выберем точку с координатами . Изолируем неподвижный объем в форме параллелепипеда со сторонами Составляющие скорости течения жидкости в точке равны . Через площадку параллелепипеда , определяемую точкой , в течение времени внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости, равная .