Курс лекци по " Механике жидкости и газа"

Давление, при котором  произведение имеет максимальное значение, называется критическим и обозначается  . Отношение давлений , соответствующее максимуму функции , составляет:

.                                                     (3)

При показателе адиабаты критическое отношение давлений .

До тех пор пока давление среды   , в которую происходит истечение газа, больше критического , т.е. , в конечном сечении канала устанавливается давление окружающей среды. Когда давление в среде, в которую происходит истечение, становится  меньшим критического, т.е. , в выходном сечении канала устанавливается критическое давление , не зависящее от давления . Если в выходном сечении канала устанавливается критическое давление ,то скорость течения газа

.              (4)

Плотность газа при критическом  давлении

.

Критическое давление

.

Отношение

.

Следовательно, скорость течения газа в сечении сужающегося  канала, где устанавливается критическое  давление,

,                                                      (5)

 где  скорость звука.

Таким образом, если истечение газа из сужающегося канала происходит в среду с давлением, меньшим критического, то скорость в выходном сечении канала не будет зависеть от давления окружающей среды и будет равна скорости звука. Если давление больше критического, то скорость истечения газа будет меньше скорости звука, а ее значение будет зависеть от противодавления. Получить в сужающемся канале скорость, большую звуковой, невозможно.

 

2. ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ

 

При обтекании тела потоком  жидкости или газа перед ним образуется зона торможения. В этой области происходит снижение скорости потока и повышение давления. При обтекании тела потоком газа местное повышение давления, связанное с торможением, имеет конечное значение, существенно превышающее звуковое давление. Возмущения, вызванные в газовой среде повышением давления в любой части обтекаемого тела, распространяются  со скоростью, большей скорости звука. Если тело движется со скоростью, большей скорости звука, то перед ним возникает устойчивая ударная волна (рис. 31).

Фронт распространения  ударной волны движется с той  же скоростью, как и тело. Удобнее  рассматривать обращенное движение, т.е. считать, что обтекаемое тело неподвижно и неподвижен фронт ударной волны. Поток, обтекающий тело, движется со скоростью, большей скорости звука, до фронта ударной волны, за фронтом ударной волны наблюдается резкое изменение параметров потока. Скорость становится меньше звуковой, давление, плотность газа и его температура возрастают. Параметры адиабатически заторможенного потока, обтекающего рассматриваемое тело, а именно температура , давление и плотность газа , когда скорость потока становится равной нулю, известны.

Полный запас удельной энергии рассматриваемого потока равен . При течении потока, обладающего таким запасом удельной энергии, со скоростью звука давление в нем будет:

.

Соответствующая критическому давлению температура потока  . Скорость звука, с которой может двигаться рассматриваемый поток,

.

Запас полной удельной энергии  потока может быть выражен через  скорость звука  :

.

Перед фронтом ударной волны принимаем: давление , плотность , температура и скорость потока газа ; за фронтом волны - . Поток газа до и после скачка уплотнения является установившимся. Условие сплошности потока перед скачком и после него для массового расхода газа, отнесенного к единице площади поверхности фронта ударной волны, . Так как перед и за фронтом волны действуют силы давления, импульс сил, действующих на массу, протекающую через единичную поверхность фронта волны в единицу времени, равен . Соответствующее изменение количества движения рассматриваемой массы равно . Следовательно,

                                                 (6)

Запас удельной энергии  потока газа перед и после фронта ударной волны одинаков. Это происходит потому, что к потоку по пути не подводится тепло извне. Следовательно,

.                                    (7)

Из уравнения газового состояния следует:

    и    .

Кроме того, . Таким образом,

,                                     (8)

откуда:

;                                                      (9)

.                                                    (10)

Разделив уравнение (9) на  и уравнение (10) на , получим:

 

;

.

Из уравнений сплошности и количества движения получаем:

.

Следовательно,

.                                      (11)

Поскольку , имеем:

.                                                                (12)

Из уравнения (12) следует, что произведение скоростей потока до и после скачка уплотнения равно  квадрату скорости звука. Если известна сверхзвуковая скорость потока перед скачком уплотнения, то скорость потока после скачка имеет вполне определенное значение. Наличие скачка уплотнения связано с гидравлическими потерями. Запас удельной механической энергии потока перед скачком уплотнения равен , а после него составляет . Потери в скачке уплотнения

.                  (12)

Разность механической энергии до и после скачка в  виде тепла подводится к массе  газа. Таким образом, хотя и нет подвода тепла к потоку газа из внешней среды, происходит перераспределение запаса удельной энергии и после скачка уплотнения запас механической энергии необратимо снижается. Зависимость между плотностью и давлением газа до и после скачка уплотнения уже не адиабатическая.

Определим зависимость  между плотностью газа и давлением  после и до скачка уплотнения. Решая  совместно уравнения (9) и (10), получим, что отношение плотности после  и до скачка уплотнения

.                         (13)

С учетом уравнения сплошности для потока газа окончательно получаем искомую зависимость:

.                                               (14)

Эта зависимость называется ударной адиабатой, или адиабатой  Гюгонио.

Как было показано, скачок уплотнения связан с гидравлическими потерями, происходящими в очень узкой области ширины фронта ударной волны. Вдоль плоскости фронта волны допускается равномерное распределение скорости потока, поэтому частные производные вдоль фронта равны нулю. Это приводит к выводу о том, что касательные составляющие вязкого напряжения также равны нулю. Частная производная скорости в направлении, нормальном к фронту волны, велика, так как на узком участке ширины фронта происходит резкое снижение скорости. Это указывает на существенные возникающие нормальные напряжения вязкости, которые и являются причиной появления гидравлических потерь в данном случае.

Примером образования  скачка уплотнения может служить  истечение газа из сужающегося канала (сопла) в среду, находящуюся под давлением, меньшим критического. Струя газа вытекает из сопла под критическим давлением. В среде, окружающей сопло, масса газа расширяется. Скорость его течения увеличивается и становится больше скорости звука; затем после расширения струя тормозится. Торможение может осуществляться только с образованием скачка уплотнения. В рассматриваемой массе струи газа, плотность и давление становятся большими, чем в окружающей среде. Это ведет снова к расширению массы газа и образованию нового скачка уплотнения. Струя, вытекающая из сопла в среду с давлением, меньшим критического, будет состоять из ряда скачков уплотнения. В каждом скачке уплотнения происходят гидравлические потери. Запас энергии струи от одного скачка к другому уменьшается до тех пор, пока поток полностью не смешивается с массой окружающей среды.

 

3. СВЯЗЬ МЕЖДУ СКОРОСТЯМИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА И СКОРОСТЬЮ ЗВУКА. ЧИСЛО МАХА

 

При изучении течения  газа большое значение имеет отношение  скорости течения  к местной скорости распространения звука . Это отношение обычно обозначают буквой и называют числом Маха: .

Если начальное давление и плотность потока газа известны, то скоростной напор в любом сечении потока при адиабатическом течении

                                             (15)

Местная скорость распространения  звука  . Разделим уравнение (15) на квадрат скорости звука, получим:

.                                         (16)

Отношение начального давления потока газа к давлению в данном сечении

.

Следовательно, давление в данном сечении равно критическому и скорость течения газа равна скорости звука. Если в потоке газа устанавливается критическое давление, то все скорости течения в нем одинаковы и движение равномерное.

При давление, устанавливающееся в потоке газа, больше критического, поэтому при сужении канала давление снижается и скорость течения газа возрастает. При расширении сечения канала давление увеличивается и скорость течения снижается. Поток газа, текущего со скоростью, меньшей звуковой, ведет себя аналогично потоку несжимаемой жидкости.

При давление в потоке газа меньше критического. Это значит, что поток газа не будет аналогичным потоку несжимаемой жидкости. При увеличении сечения канала давление будет снижаться, а скорость течения возрастать. При этом скорости течения газа будут больше скорости звука. Торможение потока газа при переходе от сверхзвуковой к дозвуковой скорости течения сопровождается скачками уплотнения и связано с существенными потерями энергии.

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 12.     Общие свойства безвихревых движений идеальной среды. Потенциал скоростей. Интеграл Лагранжа-Коши.  

План лекции:

1. Теорема Лагранжа. Условия существования  безвихревых течений

2. Потенциал скоростей  и его определение по заданному полю скоростей

3. Интеграл  Лагранжа-Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости

1. Предположим, что в некоторый начальный момент времени во всех точках области, заполненной жидкостью, отсутствует завихренность  ( ), т.е. элементарные жидкие объемы движутся без вращения, совершая только поступательное и деформационное движение, тогда

                                                        (1)

Произвольность выбора поверхности  в равенстве (1) позволяет заключить, что в любой момент времени и в любой точке области будет

.                                                           (2)

И в силу произвольности выбора направления нормали, найдем

.                                                             (3)

Отсюда следует теорема  Лагранжа: если во всех точках баротропно движущейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости в некоторый начальный момент времени был равен нулю, то движение останется безвихревым и в любой другой последующий момент времени.

По аналогии следует также, что, если вначале движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.

2. При течении жидкости или газа основное влияние вязкости на распределение скоростей в потоке сказывается непосредственно вблизи стенок каналов или непосредственно у поверхности обтекаемого тела. В остальной массе потока скорости течения жидкости распределяются во многих случаях так, как если бы жидкость была невязкой. Это значит, что твердые границы каналов и поверхностей обтекаемых тел могут рассматриваться в первом приближении как поверхности тока, ограничивающие рассматриваемое течение. 

Раннее было дано определение  потенциального движения жидкости. Отсутствие вращения частиц жидкости при безвихревом течении обусловливает наличие потенциала скорости. Динамика потенциального течения жидкости характеризуется уравнением Лагранжа.

Рассмотрим картину потенциального течения жидкости. Ограничимся  плоским движением. Это значит, что в пространстве параметры потока во всех плоскостях, параллельных плоскости координат , будут одинаковы. В этом случае составляющие скорости и и потенциал скорости являются функцией только координат и . Условием наличия потенциала скорости для такого движения является равенство

                                                          (4)

Тогда потенциал скорости будет , а составляющие скорости потока

   и   .

Из определения потенциала скорости следует:

,   

или                                                             ,                                                     (5)

где и проекции перемещения вдоль линии .

Следовательно, в любой  точке этой линии