Курс лекци по " Механике жидкости и газа"

Из объема параллелепипеда  в течение времени  через площадку , положение которой определяется точкой с координатами вытекает масса жидкости, равная

Следовательно, при течении  жидкости с составляющей скорости в точке масса жидкости в объеме изменяется на величину

При прохождении жидкости через другие грани параллелепипеда  масса жидкости в объеме меняется аналогично:

Суммарное изменение массы жидкости (газа) в фиксированном объеме равно:

.

Объем вполне определенный, и его величина не зависит от времени, координаты точки фиксированы.

Изменение массы жидкости объеме может произойти только за счет изменения плотности за период времени . В общем случае В рассматриваемом случае  фиксированы и плотность может изменяться только в зависимости от времени.

Плотность жидкости в  объеме, ограниченном , может изменяться на  ( ) , а масса жидкости в этом объеме за период времени на .

Для сохранения сплошности жидкости должно быть удовлетворено условие:

.

Величина  входит в левую и правую части равенства, поэтому условие соблюдения сплошности  потока в точке будет:

                                              (8)

или 

Уравнение (8) в гидромеханике  называют уравнением неразрывности.

Если течение установившееся, то , и условие сохранения сплошности течения можно представить следующим образом:

                                              (9)

т.е.                                                        

Когда жидкость, кроме  того, еще и несжимаемая, то и тогда

                                                    (10 )

Рассмотрим теперь уравнение  неразрывности для случая течения  струйки при установившемся движении. Масса жидкости струйки течет в трубке тока (рис.8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть сечение 1-1 трубки тока имеет площадь  , и в этом сечении скорость жидкости , а ее плотность . Площадь сечения 2-2 трубки тока равна , скорость - и ее плотность . Скорости струйки касательны к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через сечение 1-1 в трубку тока в единицу времени поступает масса жидкости, равная . Через сечение 2-2 вытекает в единицу времени масса жидкости, равная . В трубке тока масса жидкости, находящаяся между сечениями 1-1 и 2-2, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет: , т.е. вдоль трубки тока произведение остается постоянным.

 

§3. Ускорение движения жидкости и газа

 

Составляющие ускорений  движения жидкости при ее течении, так  же как и скорости, являются функциями координат и времени.

Составляющие ускорений  представляют собой первые производные  составляющих скорости по времени:

По определению  , поэтому

                                    (11)

Для установившегося  течения жидкости или газа, когда  ускорения перестают зависеть от времени,

.

В этом случае проекции ускорений  вдоль осей координат в точке  потока, определяемой координатами будут:

                                          (12)

Первые слагаемые правой части (11) называются локальными составляющими, а остальные – конвективными  составляющими ускорения.

 

 

 

§4. Движение элементарной частицы жидкости

 

Все виды движения жидкости и газа можно разделить на два класса:

вихревые движения, когда  элементарно малые частицы имеют  компоненты вихря, т.е. при течении  жидкости они вращаются;

безвихревые движения жидкости и газов, когда  компоненты вихря отсутствуют и частицы не вращаются.

При безвихревом течении  жидкости распределение скоростей  потока должно удовлетворять условиям:

                                                    

                                              (13)

компоненты вихря.

Составляющие скорости течения являются непрерывными функциями  координат. Написанные равенства –  условие существования функции, у которой частные производные  по координатам равны соответствующим составляющим скорости течения:

                                                

.                                        (14)

Такая функция называется потенциалом скорости, а соответствующее  течение жидкости – потенциальным. Рассматриваемая функция описывает поток несжимаемой жидкости в том случае, если распределение скоростей течения удовлетворяет условиям сплошности , а потенциал скорости – уравнению Лапласа:

                                         

  или   .                                     (15)

 

 

 

§5. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости            (уравнения Эйлера)

Изолируем в потоке элементарно  малую частицу, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами . На выделенную частицу действуют силы гидродинамического давления, массовые силы и силы инерции.

Силы гидродинамического давления, так же как для частицы, находящейся в равновесии, действуют на изолированной поверхности; массовые силы пропорциональны массе частицы; силы инерции определяются произведением массы на мгновенное значение ускорения ее движения. В проекциях на оси координат сумма этих сил, действующих на рассматриваемую частицу, составляет:

;

                                            

;                                         (16)

,

где проекции мгновенного значения ускорения частицы на оси координат, определяемые по формулам (11). Объем элементарной частицы является множителем в левой и правой частях равенств. Следовательно, полученные равенства не зависят от выбранной формы элементарной частицы. Разделив обе части равенств на плотность жидкости или газа   получим систему уравнений, называемых уравнениями Эйлера:

                                     

                                 (17)

или                                         ,                                         (18)

 где  .

Полученные равенства  действительны для течения невязких жидкостей и газа. При этом течение  может быть как установившимся, так  и неустановившимся, потенциальным или вихревым; плотность среды может быть как постоянной, так и зависящей от давления. При течении жидкости должно удовлетворяться условие сплошности:                                 

,   или                                                                                                                     .

Интегрирование уравнений  Эйлера возможно для ряда частных  случаев течения жидкости и газа. Для удобства интегрирования представим уравнения Эйлера в другой форме. Прибавим и вычтем из левой части первого равенства сумму ;  второго и третьего – суммы     и   . Квадрат скорости течения жидкости или газа в данной точке и в данный момент времени  , .

Компоненты вихря определяются равенствами:

,  ,  .

Тогда система уравнений  Эйлера может быть представлена равенствами:

                                                                   (19) или

,

которые называются уравнениями Громеки – Ламба.

Ускорения массовых сил, как известно, являются частными производными потенциала :

.

Плотность движущейся среды  в общем случае является функцией давления. Введем такую непрерывную  функцию координат  , чтобы

;          ;           .

Теперь уравнении Громеки – Ламба могут быть записаны в таком виде:

 

                                   

                       (20)

или

    

.

 

§6. Интегрирование уравнений Эйлера. Интегралы Лагранжа и Бернулли

 

Рассмотрим случаи, когда полученная система уравнений интегрируется.

При безвихревом течении  компоненты вихря равны нулю; составляющие скорости являются частными производными потенциала скорости      (см. формулы

);    локальные производные составляющих скорости:

;     ;     .

Уравнения Громеки –  Ламба в этом случае принимают  вид:

 

                                                                                                  (21) или

                                                                                                 (22)

Равенство (22) называется интегралом Лагранжа. В потенциальном потоке во всех его точках сохраняется постоянное значение суммы четырех членов равенства. При установившемся потенциальном течении и уравнение Лагранжа будет следующим:

                                                       

.                                                   (23)

Это равенство называется интегралом Бернулли.

 

 

Одномерный поток идеального газа.

 

Течение газов (сжимаемых  жидкостей) рассматривается с учетом ряда условий. Принимается, что газ лишен вязкости или влияние вязкости настолько мало, что им можно пренебречь. К массе газа не подводится тепло из окружающей среды и отсутствует обмен механической энергией. Поэтому процессы, сопутствующие течению газа, являются адиабатическими. Кроме того, в живых сечениях потока распределение давления и скоростей течения принимается равномерным. Такая постановка задачи о течении газа называется одномерной.

 

1. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В СУЖАЮЩЕМСЯ КАНАЛЕ

 

Допустим, что газ поступает в сужающийся канал из ресивера, в котором скорость равна нулю, а температура и давление и  (рис.28).

 

 

 

 

В любом сечении канала будет соблюдаться равенство 

,                                     

 где  средняя скорость течения газа в данном сечении; его температура.

Скорость течения газа в данном сечении

.

Температура   и

.

При течении газа отношение  значений температуры в данном сечении  канала и в ресивере будет:

.

Поскольку движение газа адиабатическое, то

  и   .

Скорость течения потока газа в сечении, где давление стало равным , будет:

                                            

.                                          (1)

Это выражение  называют уравнением Сен-Венана. Скорость течения газа зависит от начальных условий, отношения и отношения давления в данном сечении канала к начальному давлению . Когда давление в сечении канала становится равным нулю, скорость течения приобретает максимальное (конечное) значение; когда давление в сечении становится равным начальному, течение газа в канале прекращается. При изменении отношения от 1 до 0 скорость течения в данном сечении канала изменяется от нуля до максимума.

Плотность газа вдоль  канала будет изменяться в зависимости  от давлений в последовательных сечениях. Плотность газа при адиабатическом течении будет изменяться по закону

 или   .

При плотность газа стремится к нулю, при к начальной плотности. Вдоль рассматриваемого канала на основании закона сплошности сохраняется постоянство массового расхода газа:  .

Рассмотрим, как изменяется произведение скорости течения и  плотности в зависимостиот отношения  давления в данном сечении к начальному:

                                       

.                                   (2)

Когда произведение  ; когда , произведение также равна нулю. При изменении отношений давлений от нуля до единицы значение произведения проходит через максимум.