Формирование вычислительных навыков у учащихся начальных классов при изучении табличных случаев умножения и деления

Затем оба эти правила применяются при выполнении различных упражнений на вычисления.

Деление нуля на любое число, не равное нулю, рассматривается на основе связи между компонентами и результатом умножения. В результате решения ряда примеров ученики замечают, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим правилом.

Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на 0, так как нет такого числа, при умножении на нуль получится 8.

Такой подход изучения таблицы умножения способствует сознательному усвоению таблицы умножения и деления. Данная методика позволяет значительно сократить время изучения табличного умножения и соответствующих случаев деления, и в то же время способствует более глубокому и осознанному усвоению таблиц.

Таким образом, мы познакомились с несколькими методическими подходами к изучению табличного умножения и деления и формированию навыка табличного умножения: -  традиционным

Как мы видим из выше изложенного, каждый из них имеет общее:

- использование  наглядного материала,

- использование  различных интересных и содержательных  упражнений и заданий,

- выполнение  воспроизводимой операции по  образцу,

- использование  игровых заданий,

- знакомство  с таблицей Пифагора.

Таблицы умножения Пифагора

Впервые таблица Пифагора примерно в таком же виде, каком мы ее находим на обложках ученических тетрадей, появилось в сочинениях.

Числа в каждой строке таблицы Пифагора образуют последовательность чисел составленных определенным образом.

Умножение натуральных чисел есть не что иное, как многократное прибавление к сумме одного и того же слагаемого.

Таблица Пифагора симметрична относительно диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Данное свойство – геометрическая иллюстрация свойства умножения.

Цифры в первом столбце и последние цифры в девятом столбце повторяют друг друга, но идут в обратном порядке. Этим свойством обладают последние цифры второго и восьмого столбцов; третьего и седьмого, четвертого и шестого. Я сделал открытие: для произвольных двух цифр А и В последняя цифра произведения АВ равна последней цифре произведения (10-А)*(10-В), так как разность чисел АВ и (10-А)*(10-В) делится на 10. Рассмотрим некоторые факты: назовем квартетом четыре числа таблицы Пифагора расположенные в вершинах некоторого квадрата, а числа стоящие на диагонали таблицы – диагональными.

Оказывается, если стороны этого квадрата параллельны диагоналям таблицы Пифагора, то суммы диагональных чисел квартета равны. Если стороны квадрата параллельны сторонам таблицы, то равны произведения диагональных чисел квартета. Если при этом квадрат расположен симметрично главной диагонали таблицы Пифагора, то суммы всех чисел квартета – квадрат некоторого натурального числа

При этом необходимо в следующем параграфе рассмотреть методические основы изучения табличного умножения и деления.

 

1.2Методические основы изучения табличного умножения и деления.

Чтобы обеспечить прочное овладение таблицей умножения, необходимо организовать работу учащихся так, чтобы вычислительные навыки табличного умножения и деления были сформированы у учащихся начальных классов качественно, и предлагает учащимся сопоставить записи.

´Табличное умножения и деление изучается в следующей последовательности:

1)  конкретный смысл умножения,

2)  конкретный  смысл деления,

3)  переместительное свойство умножения,

4)  взаимосвязь между компонентами и результатом умножения. Раскроем методику знакомления младших школьников с этими математическими фактами.

На первом этапе формируются знания о самих действиях умножения и деления, на втором главное внимание уделяется усвоению учащимися таблиц умножения и соответствующих случаев деления.

Умножение и деление сначала их изучения целесообразно рассматривать раздельно, поскольку главным при этом является раскрытие не взаимосвязи между ними, а конкретного смысла этих действий.

Для осознания необходимости введения нового арифметического действия для случаев сложения одинаковых слагаемых  можно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается посчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты. Учащиеся начинают действовать способом поединичного счёта клеток, но обнаруживают трудоёмкость работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти более простой путь поиска ответа. После этого учитель вводит новую запись, используя знак умножения и предлагает учащимся сопоставить записи.

Т.е. умножение рассматривается как нахождение суммы одинаковых слагаемых. Дети должны усвоить связь между сложением и умножением, научиться понимать смысл каждого компонента произведения: число, которое берётся слагаемым, - первый множитель;

число, которое показывает, сколько одинаковых слагаемых, - второй множитель.

Раскрывая конкретный смысл умножения, следует, прежде всего, расширить опыт учащихся в выполнении соответствующих операций над предметами.

Табличные случаи умножения и деления с каждым числом изучаются примерно по одному плану.

Обратим внимание на то, что прежде всего необходимо составить таблицу умножения по постоянному первому или второму множителю.

Если составить таблицу по постоянному первому множителю (2 · 2, 2 3, 2 · 4 и т. д.), то учащиеся легко будут находить результат последующего примера, пользуясь результатом предыдущего (2 · 4=2 · 3 + 2), но в этом случае будет в некоторых суммах много слагаемых (2 · 9 – девять слагаемых).

Если же составлять таблицу по постоянному второму множителю (2 · 2 = 2+2;    3 · 2 = 3+3; 4 · 2= 4+4 …); чтобы найти результат следующего примера, пользуясь предыдущими, придётся рассуждать так: 4 · 2 = 3 · 2+2; 5 · 2 = 4 · 2+2.

Могу  выбрать любой из этих двух вариантов.

Изучим сначала таблицу по постоянному первому множителю. Для нахождения результата используют различные приёмы: произведение заменяют суммой

(2 · 3 = 2+2+2 = 6); к результату  предыдущего примера из таблицы  прибавляют соответствующее число: 5 умножить на 3, получится 15, а при  умножении 5 на 4 (на одну пятёрку  больше) можно результат вычислить  так: 15 + 5 = 20; или из известного  результата вычитают соответствующее  число: ученики знают, что 8 · 10 = 80, а 8 · 9 (на одну восьмёрку меньше), поэтому результат можно вычислить  так: 80 – 8 = 72; используют перестановку  множителей (2 · 5 = 5 · 2).

После того как составлена таблица по постоянному первому множителю, из каждого примера на умножение учащиеся составляют ещё один пример на умножение (переставляют множители) и два примера на деление (на основе связи между компонентами и результатом умножения), например:

I    II   III   IV

2 · 2=4     4:2=2

2 · 3=6  3 · 2=6  6:2=3   6:3=2

2 · 4=8  4 · 2=8  8:2=4   8:4=2

2 · 5=10  5 · 2=10  10:2=5  10:5=2

Каждая таблица умножения по постоянному первому множителю составляется начиная со случая  равных множителей, поскольку случаи, предшествующие этим, уже были рассмотрены ранеe.

Связь между компонентами и результатом умножения.

В основу анализа взаимосвязей между произведением и множителями положено сравнение троек равенств вида:

3 · 4=12  12: 3=4  12: 4=3.

Анализируя данные равенства с точки зрения их сходства и различия, учитель обращает внимание детей на  то, как получены второе и третье равенства из первого. Для получения вывода о характере связи между компонентами и результатами умножения недостаточно ограничиться одним примером, необходимо рассмотреть их по крайней мере два или три.

2) Приёмы  умножения  и деления на 10.

Для нахождения произведений дети опираются на знание смысла действия умножения и на переместительное свойство умножения, частные находятся на основе связи между компонентами и результатом умножения.

Для усвоения приёмов умножения и деления на 10 в учебнике предусмотрены специальные тренировочные упражнения.

3)Задачи с величинами цена, количество, стоимость. Используется взаимосвязь между компонентами.

ЦЕНА        КОЛИЧЕСТВО         СТОИМОСТЬ

15 тг 3 штуки ?                  15тг   ? 5 рублей   ?      3 штуки       5 тг

4)Составление таблиц умножения и деления с числами начиная с числа 2 до 9.

В ходе составления таблицы умножения по постоянному первому множителю произведения находят, заменяя умножение сложением. Её запоминание должно гарантировать усвоение таблицы по постоянному  второму множителю, результаты которой  находят на основе переместительного свойства умножения.

В 3 классе продолжается изучение табличных случаев умножения и деления. должны быть:

а) усвоены таблицы умножения и деления с числами 2, 3, 4 и 5 (на уровне автоматизированного навыка);

б) выделены существенные признаки понятий чётное и нечётное число;

в) сформировано умение применять правила о порядке выполнения арифметических действий в выражениях со скобками и без скобок)

г) сформировано умение решать задачи на нахождение числа, которое в несколько раз больше (меньше) данного, на кратное сравнение чисел и на нахождение четвёртого пропорционального. Необходимо снова включать упражнения, раскрывающие смысл умножения и деления, а также задания, которые необходимы для изучения табличного умножения и деления:

1.на переместительное свойство умножения;

2.на связь между результатами и компонентами умножения.

При составлении таблиц целесообразно использовать различные приёмы нахождения результата умножения относительно сложения (4 · 7=4 · 5+4 · 2), кроме того, с первых уроков необходимо выделить случаи, на основании которых можно быстро найти результаты соседних случаев (3 · 5; 3 · 6=15+3; 3 · 4=15-3).

При заучивании таблиц  можно организовывать работу в парах с использованием двусторонних карточек (на одной стороне записан пример, на другой - ответ). Такие наборы карточек выдаются на каждую парту. В течение 5-7 минут ученики побудут в роли учителя, и в роли ученика, а зрительное и слуховое восприятие помогает запомнить таблицы

При составлении таблицы с числом  9 можно показать, как можно найти результаты умножения с помощью пальцев [3], что вызывает большой интерес у учащихся, а также обращать внимание на то, что в результате умножения получаются числа, сумма цифр которых равна 9 (18,27,36,…,81).

Постепенно в процессе изучения темы ученики заполняют таблицу, в которой записываются результаты табличного умножения. 10    …    12   …    14     15    16    …    18 20    21    …   …    24     25    …    27    28 30    …    32   …    …     35    36 40    …    42   …    …     45    …    …    48   49 …    …    …   …    54     …    56 …    …    …   63    64 …    …    72 …    81

По этой таблице Л.В. Савина предлагает выполнить разнообразные задания, например, назвать:

а) результаты табличного умножения на 3;

б) на какие числа делится число 18;

в) все числа, которые делятся на 9.

С целью закрепления табличных случаев деления Л.П. Савина  предлагает в течение изучения табличного умножения и деления систематически включать случаи деления с остатком. Сначала такие упражнения выполнялись на схематических рисунках и их решение записывалось следующим образом:

7:3=2 (ост. 1). Затем  такие задания предлагались в  качестве заданий на выбор: учитель  предлагает вычислить значения  выражений, записанных либо в  первом, либо во втором столбике:

36:4     37:4        18:9     19:9        24:3           26:3

Этот опыт многократного выполнения, по существу, одного и того же примера по-моему мнению поможет ученикам закрепить табличные случаи деления и подготовиться к изучению темы «Деление с остатком». Таким образом, к концу 3 класса все учащиеся усваивают таблицу умножения и деления. Это результат целенаправленной работы по расширению опыта применения таблиц в новых условиях, а именно систематического включения разнообразных развивающих заданий.(дополнить приемы закрепления, включитьи работу по таблице Пифагора)

 

 

∑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Таблица Пифагора - это таблица у которой по горизонтали и по вертикали расположены числа натурального ряда,  а на пересечении столбцов и строк стоят их произведения. Диагональ таблицы образуют квадраты чисел. Каждый родитель рано или поздно сталкивается с ежедневной скучной проверкой таблицы умножения. Вот Вам прекрасный способ разнообразить этот процесс!!! Сначала, нарисуйте таблицу 9 на 9 и предложите заполнить ее ребенку! Затем, распечатайте и дайте заполнять ему наши таблицы-картинки. Скачать вариант для печати, со всеми таблицами с сайта. (557 KB)