Формирование вычислительных навыков у учащихся начальных классов при изучении табличных случаев умножения и деления

Далее рассмотрим традиционный подход к изучению таблицы умножения.

В традиционной методике можно выделить 3 этапа:

1этап  - подготовительный.

На данном этапе учащиеся изучают основные теоретические вопросы, на которые опирается табличное умножение:

а) смысл умножения,

б) смысл деления

в) название компонентов и результата умножения,

г) особые случаи умножения единицы и нуля на число,

д) переместительное св-во умножения,

е) название компонентов и результата деления

ж) взаимосвязь между компонентами и результатом умножения,

з) особые случаи умножения и деления с числом 10,

и) изучение случаев умножения и деления, соответствующих таблице умножения двух,

2 этап - составление  таблиц.

На данном этапе учащиеся составляют таблицы умножения и столбики соответствующих случаев умножения и деления. Можно выделить особенности составления этих таблиц:

-составление таблицы опирается на действия с предметами и использование числовых фигур;

-составление каждой таблицы начинается со случая умножения одинаковых множителей;

-изучая каждый столбик таблицы умножения, к нему составляются ещё 3 столбика. Данные 4 столбика включают:

1 столбик - умножение числа по первому постоянному признаку;

2 столбик – умножение по второму постоянному признаку (на основе переместительности);

3 столбик –деление на первый множитель(на основе взаимосвязи между компонентами и результатами умножения);

4 столбик – деление на второй множитель (на основе взаимосвязи между компонентами и результатом умножения).

Так как в современной начальной школе речь идёт о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблиц умножения предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приёмов, которыми учащиеся могут пользоваться при составлении этих таблиц. Но последовательность составления таблиц и организация деятельности учащихся, направленной на их усвоение, может быть различной.

Теоретико-множественная трактовка смысла действия умножения легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изученный материал.

Рассмотрим подробнее методику традиционной программы.

Усвоение смысла действия умножения и деления позволяет учащимся самостоятельно справиться с составлением таблицы умножения. Переместительное свойство умножения позволяет сократить число табличных случаев, которые нужно заучивать наизусть. Так запоминание случаев 2 · 3 гарантирует знание случая 3 · 2 и т.д. Это позволяет каждую следующую таблицу начинать со случая  умножения одинаковых множителей. В результате число случаев в каждой следующей таблице сокращается:

6  ·  6

6  ·  7

6  ·  8

6  ·  9

6  · 10

Для изучения последующих случаев умножения из таблицы необходимо составить второй столбик. Как мы уже сказали, на основе переместительного свойства умножения:

7  ·  6

8  ·  6

9  ·  6

Использование зависимости между множителями и произведением позволяет из каждого табличного случая умножения получить два табличных случая деления. В результате число в каждом следующем случае сокращается:

36 : 6

42 : 7

42 : 6

48 : 8

48 : 6

54 : 9

54 : 6

При заучивании таблиц учащиеся испытывают большие трудности, связанные с большим объёмом  тех случаев умножения и деления, которые сразу предлагаются учащимся для заучивания.

3 этап - запоминание  таблиц.

        На уроке учащиеся составляют все четыре столбика таблицы, которые они должны запомнить. А на последующих уроках дети выполняют разнообразные упражнения, направленные на запоминание табличных случаев деления и соответствующих случаев умножения. Для учителя на этом этапе важно умело подбирать задания, успешно решающие данную задачу.

Рассмотрим методику работы по изучению таблицы на примере  умножения четырёх и соответствующих случаев деления.

4 · 4

4 · 5

4 · 6

4 · 7

4 · 8

4 · 9

4 · 10

Используя зависимость между множителями и произведением, можем из каждого табличного случая умножения получить два табличных случая деления. В результате число в каждом следующем случае сокращается:

16:4

20:5   20:4

24:6     24:4

28:7     28:4

32:8     32:4

36:9     36:4

В подготовительную работу можно включить упражнения на нахождение неизвестного множителя (     · 2 = 8, 3 ·     = 15),

• можно повторить таблицу умножения двух и трёх и соответствующие случаи деления,
• надо повторить также все известные детям примеры на умножение и деление с числом  4.
• затем переходят к составлению таблицы умножения четырёх по постоянному первому множителю.
• последними составляются записи к случаю 4 · 4:   здесь получаются одинаковые выражения на деление.
• далее будет предлагаться ученикам рассмотреть все выражения первой таблицы и сказать, что интересного они заметили. Дети должны ответить, что первые множители одинаковые, вторые множители увеличиваются на единицу, а произведение на 4 единицы. Так же сравниваются записи и других столбиков.

Таким образом, дети устанавливают закономерности при составлении таблиц, которая поможет им осмысленно их заучивать, а также использовать при вычислениях в соответствующих случаях умножения  (на основе переместительного свойства умножения) и деления.

Заучив все табличные случаи умножения и деления, выполняют в целях закрепления упражнения.

К формированию навыков табличного умножения и деления, в котором выделяются  также три этапа, описанные нами выше.

1) Первый этап - составление и усвоение таблиц умножения и деления включается в содержательную линию курса. Табличные случаи умножения учащиеся усваиваются в процессе изучения смысла умножения. Это позволяет предложить учащимся интересные содержательные упражнения и задания, выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения». Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся  на обобщающих уроках по теме «Умножение», где учащимся даётся задание, при выполнении которых они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения. Из вышесказанного,  можно сделать вывод, что сначала формируются навыки таблицы умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени и органически включается в содержательную линию курса. В процессе усвоения смысла деления, правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления включены задания на деление чисел, при выполнении которых учащиеся используют таблицу умножения и взаимосвязь между компонентами. Следующие особенности данного подхода к формированию навыка табличного умножения и деления:

2)  составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9 (от более трудного к более лёгкому), что позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток, заменяя произведение суммой, но также сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях таблицы умножения: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, по отношению к которым даётся установка на запоминание.

3)  Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определённой системе даются установки на запоминание  трёх-четырёх табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована на запоминание определённых табличных случаев.

4) Для  организации самостоятельной работы учащихся рекомендуется фиксировать все случаи табличного умножения на карточке. Например, на одной стороне выражение, а на другой – его значение. Аналогично надо поступать со всеми случаями таблицы деления, что поможет учащимся действовать при запоминании табличных случаев умножения и деления, а также осуществлять самоконтроль».

В процессе исследования мы также познакомимся с подходом к интересующей нас теме в системе обучения Л.В. Занкова. При изучении табличного умножения и деления, автором  выделено только два этапа в работе учащихся:

1 этап – ознакомление  с теоретическими сведениями, в  том числе с порядком действия  в выражениях.

2 этап – изучение  таблицы умножения и деления  с помощью таблицы Пифагора. 

При работе над темой выделяется два этапа:

1. Ознакомление  с действиями умножения и деления. Изучение переместительного свойства  умножения. Установление связи между  результатами и компонентами  умножения и деления, а также  между самими действиями. Ознакомление с особыми случаями умножения и деления. Знакомство с модернизированной таблицей Пифагора.

2. Изучение табличного  умножения и деления. В связи  с изучением случаев умножения  и деления с десятками, нулём  и единицей до изучения таблицы  умножения и деления, у учащихся  отпадает необходимость задавать  вопрос: «Почему в таблице умножения  нет результатов умножения с  числами 1 и 10.

Изучение таблицы умножения всегда начинают от результата действия. Выявление всех случаев умножения и их результатов ведётся на числовых промежутках по таблице Пифагора:  от 1 до 10;  4) от 31 до 40;  от 11 до 20;  5) от 41 до 60;  от 21 до 30;  6) от 61 до 90. 1) Выясняется, что для запоминания требуется 5 случаев:

4    6   8   9  10                2 ·2   2      ·     3            2    ·   4         3     ·     3      2   ·    5    3      ·     2        4    ·    2         3    ·     3      5    ·     2

Выделяется таблица умножения с числом 2. Ученики доказывают, как получается в таблице с числом 2 каждое последующее число (оно больше на 2 единицы). Им предлагается сразу же запомнить результат, что с числами 4 и 9 можно составить только по одному примеру на умножение и деление, а с результатами 6, 8, 10 по два примера на умножение (с помощью применения правила о переместительном свойстве умножения) и по два примера на деление.

1.Для запоминания выделяют 6 различных случаев. Сначала выделяют результаты таблицы умножения с числом 2, составляются примеры умножения и деления: 12   14  16  18  15  20   

2     ·      6          2   ·    7           2   ·    8         2   ·    9     

3   ·     5           4    ·    5          3     ·      4                 

7   ·    2            4    ·     4          9   ·    2         

5    ·     3          5    ·    4           4     ·      3         8    ·    2      6     ·      2

Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, три и четыре примера на умножение и деление.

В числовом промежутке от 21 до 30 предлагается для запоминания 6 чисел:  21   24   25    27  28   

3   ·   7            3    ·    8                5   ·   5          9   ·   3         4  · 7    7    ·    3      

8   ·   3           3     ·    9               7   ·  4          6   ·  4    

4   ·   6           5  ·  6                     6   ·   5

Теперь обобщается таблица умножения трёх, выделяются другие случаи. Учащиеся делают вывод, как получается в таблице умножения с числом 3 каждый последующий результат.

Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, четыре примера на умножение и деление.  от 31 до 40. 32    35    36   40  

4  ·  8        5   ·  7       4   ·   9         5  ·  8      8 ·  4    

   7  ·   5     9   ·  4        8  ·   5       6   ·    6

Выделяется таблица умножения на 4 и составляются примеры на деление по аналогии.  от 41 до 60. Учащиеся находят по таблице Пифагора все результаты таблицы умножения. Работа ведётся аналогично предыдущему этапу.     42       45        48       49     54  56    

6 ·    7       5  ·   9        6  ·  8         7  ·   7      6  ·   9       7 · 8      7 ·    6              

9  ·  5       8  · 6           9 · 6          8 · 7  от 61 до 90:   63     64     72      81    

7  ·  9     8 ·8             8 · 9           9 · 9       9  ·  7        9 ·  8

Аналогично составляются таблица умножения на 7, 8, 9.

Учащиеся должны понять и запомнить, что с результатами 4, 9, 25, 49, 64, 81 можно составить только по одному примеру на умножение, с результатом 16 и 36 можно составить только три примера, с результатом 12, 18, 24 можно составить по четыре примера на умножение, а по остальным результатам – по два примера.

После ознакомления с таблицей умножения с числом 2 и соответствующим случаем деления на 2 учащиеся знакомятся с понятием чётных и нечётных чисел.

После изучения всех таблиц умножения рассматриваются случаи умножения и деления с нулём.  Сначала вводится случай умножения нуля на любое число ( 0 · 5, 0 · 7, 0 · 9). Результат учащиеся находят сложением (0 · 2 = 0 + 0 = 0). Решив ряд аналогичных примеров, ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руководствуются.

Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, так как это новая область чисел, в которой переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе правило: «Произведение любого числа на нуль считают равным нулю» – учитель просто сообщает детям.