Формирование у учащихся при обучении математике элементов теоретико - вероятностного стиля мышления

В общеобразовательной  школе, в гуманитарных классах, в классах технического, естественнонаучного, экономического профилей целесообразно строить изложение материала на статистическом определении вероятности. Этот подход экономней по времени, более доступный для учащихся в сравнении с другими благодаря тому, что в значительной мере опирается на их личный опыт, интуицию, здравый смысл. Что касается классов математического профиля, то там наиболее     приемлемым   является  аксиоматический  подход. Он отличается большей, по сравнению с другими подходами, строгостью, позволяет строить вероятностные модели случайных экспериментов

Завершающим  этапом введения понятия вероятности  является аксиоматическое определение  вероятности и обсуждение соотношения  между теорией вероятностей и  реальной действительностью.

Все частные  определения вероятности события  имеют как достоинства, так и  недостатки.

Недостатки  классического определения вероятности: с экспериментом связана конечная система элементарных исходов, которые  должны быть равновозможными. Достоинства: позволяет точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. Недостатки статистического определения вероятности: проведение экспериментов, сбор и обработка статистических данных; при малом количестве опытов полученная частота дает искаженное, иногда и просто ошибочное представление о вероятности; какой бы длинной ни была серия экспериментов, частота все равно будет колебаться, нет уверенности, что в дальнейшем частота не выскочит за пределы найденного интервала. Недостатки геометрического определения вероятности: пространство   содержит настолько большое количество исходов, что их нельзя даже перенумеровать; вероятность каждого отдельного исхода приходится считать равной нулю, а вероятность случайного события вычислять как отношение длин (площадей, объемов). Достоинства: позволяет точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. 

Общепринятое  в настоящее время аксиоматическое  определение вероятности было предложено А.Н. Колмогоровым в 1983 году. Для школьников применяется  аксиоматическое определение вероятности, основанное на рассмотрении конечного пространства элементарных событий.

Пусть     - конечное множество всех возможных результатов испытания. Каждому элементарному  исходу  испытания   _i   ставится  в соответствие неотрицательное число р_i=р( _i), называемое вероятностью элементарного исхода, причем сумма этих чисел равна 1. (Вероятностное пространство: ( ₁, ₂,…, _п, р₁,…,р_п).)

Вероятностью P(A) любого события A называется сумма вероятностей элементарных событий, входящих в событие A.

P(A)=0, если А - невозможное событие, P(A)=1, если А- достоверное событие, P(A)= р( ₁)+…+р ( _К), если А={ ₁, ₂,…, _к}.

        Ценность аксиоматического подхода  к понятию вероятности определяется возможностью продемонстрировать процесс применения вероятностных знаний для решения внематематических проблем.

2.3. Развитие вероятностной интуиции.

           Одной из важных целей изучения вероятностно-статистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т. п. Представление о вероятности, которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения, отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.

            В последние годы большое распространение получили различные лотереи, азартные игры, участвуя в которых важно правильно оценивать шансы получить выигрыш, придерживаться оптимальной стратегии или, наоборот, оценив свои шансы, отказаться от игры. Все вопросы, связанные с выигрышными стратегиями, справедливыми и несправедливыми условиями случайных игр, вызывают большой интерес даже у самых слабых учащихся. Кроме того, игровая фабула задачи дает возможность организовать захватывающий эксперимент перед решением ее в классе, в беседе с учащимися обсудить их оценки шансов, углубить и развить вероятностную интуицию в нужном направлении. Так, например, вероятностный анализ игры в «наперстки» показывает учащимся, что независимо от наблюдательности и внимательности играющего тот, кто двигает наперстки, оказывается в  выигрыше.

            В том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не развивается, вместо верных представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения. Беседуя с учащимся, не изучающим основ теории вероятностей, я столкнулась с таким мнением: «Лотерея — это случайная игра, в которой иногда выигрываешь, а иногда проигрываешь. Я уже несколько раз покупал лотерейные билеты и все время проигрывал. Мой друг тоже купил билет, и ему сразу повезло — выиграл. Но зато в следующем туре у меня больше шансов выиграть, чем у него, ведь он уже один раз выигрывал, а я еще нет». Для развития вероятностной интуиции используются вероятностные игры. 

           Сначала рассматриваются простые игровые ситуации.

Например. 1). Играют два человека, каждый из них бросает  по одной монете одновременно.                Если на обеих монетах выпадает «орел», то одну конфету получает 1 игрок. Если на одной монете выпадает «орел», а на другой «решка», то одну конфету получает 2 игрок. Определить справедливая эта игра или нет. 2). Игра «камень - ножницы – бумага. Играют два человека. Одновременно выбрасывают на пальцах одну из трех возможных фигур (К, Н, Б). В комбинации К-Н выигрывает К, в комбинации К-Б выигрывает Б, в комбинации Б-Н выигрывает Н. Если игроки выбрасывают одинаковые фигуры, происходит переигрывание. Какова вероятность выигрыша для каждой из фигур?

           Постепенно дети учатся моделировать игры. Интерпретация с помощью вероятностных графов самая доступная. Например. Играют двое, они «выбрасывают» одновременно пальцы одной руки, находят сумму этих пальцев, начинают считать до числа равного этой сумме. Тот на котором закончился счет отдыхает, а оставшийся бежит за мороженым. Является ли выбор с помощью «считалки» справедливым? Играет ли роль с кого начинать счет? Первый, с кого начинается счет, не бежит в магазин, если сумма «выброшенных» пальцев окажется нечетной, а второй – если четной. Составим вероятностное дерево исходов:

P₂ > P₁ и, следовательно, выгодней при игре «считалки» стоять вторым.

Незаменимую помощь учителю по моделированию вероятностных игр с помощью графов могут оказать работы доктора педагогических наук, профессора В.В. Афанасьева.

             Рассмотрим еще одну игру. Мишень разделена на 8 равных секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад.

При попадании  в сектор 1 стрелок выигрывает 10 р., в сектор 2 — 20 р., в сектор 3 — 30 р. и т. д., в сектор 8 — 80р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50р.?

Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь  не имеют никакого значения: попадание  — чистая случайность. Случайная величина выражает возможные выигрыши. Она может принимать значения 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.

Так как все  секторы одинаковые, то каждое из этих значений случайная величина принимает  с одинаковой вероятностью 1/8.

Значит,  М=10·1/8+20·1/8+30·1/8+40·1/8+50·1/8+60·1/8+70·1/8+80·1/8=45

Итак, математическое ожидание выигрыша 45 р., а стоимость  выстрела 50р. Стрелять много раз  явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются разнообразные  азартные игры, приводящие игроков  к разорению.

            В ходе изучения вероятностных игр особенно хорошо заметны развитие мыслительных способностей учащихся и возрастание их интереса к исследовательской деятельности.