Формирование у учащихся при обучении математике элементов теоретико - вероятностного стиля мышления

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ И МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ В РАБОТЕ УЧИТЕЛЯ ПО ВВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

2.1. Стохастические задачи и их роль в развитии вероятностного стиля мышления учащихся.

Важнейшим средством формирования у школьников высокой математической культуры, мощным средством активизации обучения математике является эффективная организация и управление учебной деятельностью школьников в процессе решения различных математических задач. По словам А. Плоцки, «решение задач - это наиболее характерная сфера человеческой деятельности и основная деятельность обучающегося математике. Образ математики и отношение к ней формируют, прежде всего, задачи, которые он решает» [128]. Именно при решении математических задач школьники сознательно и прочно овладевают системой знаний, умений и навыков, которая отражена в школьном курсе математики.

Правильный подбор и постановка задач в обучении математике во многом определяют современную методику обучения, так как с их помощью возможно достижение разнообразных конкретных целей. В методической литературе в качестве ведущих функций задач выделяют следующие [54, 108]:

1. обучающие - формирование у школьников системы математических знаний и навыков на разных этапах ее усвоения;
2. развивающие — развитие мышления школьников, на овладение ими приемами эффективной умственной деятельности;
3. воспитывающие - направленные на формирование у школьников научного мировоззрения, познавательного интереса и навыков учебного труда, на воспитание нравственных качеств личности;
4. контролирующие - установление уровней обученности и обучаемости школьников.

В настоящее время в связи  с введением в школьный курс математики вероятностно-статистической линии, появился новый огромный пласт задач по элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистике, которые, в свою очередь, являются важнейшим средством формирования и развития вероятностного мышления учащихся. Как показал анализ учебно-методической литературы, стохастические задачи существенно отличаются от обычных математических задач, к которым привыкли школьники. Различия могут наблюдаться в постановке условия и вопроса задачи, в характере данных в задаче значений величин, в количестве исходных данных, в выборе возможного подхода к решению задачи и т.д. Кроме того, решая, задачи по стохастике, учащиеся сталкиваются с новыми для них понятиями — случайность, испытание, событие, вероятность события и т.д., которые не свободно используются в мышлении. По словам Д.В. Маневича, «поиск решения задач по теории вероятностей вызывает у учащихся большие затруднения. Учащиеся теряются в выборе подходов к решению задачи, так как известные им методы решения математических задач, как правило, мало пригодны для решения теоретико-вероятностных задач...», кроме того, «психология человеческого мышления также более привержена к детерминизму, что препятствует осознанию концепций закономерностей случайного» [100].

В связи с этим в методической литературе встает проблема грамотного подбора стохастических задач, которые необходимо использовать в обучении. Анализ современных учебников и учебных пособий, реализующих вероятностно-статистическую линию на старшей ступени школы, показал слабое отражение прикладного потенциала стохастики (Приложение 3): задачи прикладного характера представлены в минимальном количестве или отсутствуют вовсе, что можно сказать и о наличии примеров прикладного характера, иллюстрирующих применение идей и методов стохастики на практике, тогда как, по мнению В.А. Далингера, именно «реализация прикладной и практической направленности обучения математике относится к числу основных направлений реализации воспитательно-развивающих функций на уроках математики» [56].

Следовательно, для достижения цели формирования и развития вероятностно-статистического мышления учащихся необходимо, учитывая достоинства и недостатки существующей методики обучения элементам стохастики, установить, какие типы стохастических задач могут быть использованы на уроках математики и в рамках элективного курса для развития вероятностного мышления старшеклассников. В исследовании мы остановимся на разработке стохастических задач прикладного характера для учащихся 10-11 классов гуманитарного и химико-биологического профиля.

Анализ существующих подходов к  классификации стохастических задач показал, что все стохастические задачи по своему содержанию делятся на три основных типа: комбинаторные, вероятностные, статистические; внутри каждого из которых имеется своя классификация. Охарактеризуем каждый тип задач в отдельности.

I. Комбинаторные задачи. В практической деятельности часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр или иных объектов. Например, агроному надо разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких полях, заведующему учебной частью школы - составить расписание уроков, ученому- химику — рассмотреть различные возможные связи между атомами в молекуле. Задачи именно такого типа и называют комбинаторными. Среди комбинаторных задач Е. Белокурова выделяет следующие виды [15]: а) по характеру выбора решения:

• формальные (в ходе решения задачи определяется характер выбора — выбирается соответствующая формула и комбинаторное правило (правило суммы или правило произведения), подставляются числа, и вычисляется результат);
• неформальные (основной метод решения — метод перебора):

• задачи на полный перебор всех возможных вариантов;
• задачи, в которых использовать прием полного перебора нецелесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (т. е. осуществить сокращенный перебор);
• задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам;

б) по характеру требования, содержащегося в задачах:

• задачи, в которых требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов;
• задачи, в которых требуется выяснить, существует ли определенная комбинаторная конфигурация, отвечающая поставленным условиям;
• задачи, в которых нужно найти и выбрать наилучший вариант по определенным критериям;

в) по характеру работы с элементами множества:

• на упорядочение элементов множества;
• на выбор подмножеств и их упорядочение;
• на выбор подмножеств.

Согласно более общему подходу  к классификации комбинаторных  задач, среди них выделяют [20]:

• задачи на вычисление числа возможных вариантов с применением формул числа сочетаний, размещений, перестановок и основных правил комбинаторики;
• задачи на перечисление возможных вариантов с помощью таблиц вариантов, схем, графов, построения деревьев.

При решении комбинаторных задач включаются такие операции мышления, как: наблюдение, сравнение, обобщение, классификация. Кроме того, при решении комбинаторных задач мышление последовательно проходит все 3 этапа от наглядно-действенного (например, при решении комбинаторных задач путем систематического перебора вариантов) и наглядно-образного (например, задачи на распознавание различных видов комбинаторных соединений и выбора оптимального способа решения) к словесно-логическому (например, комбинаторные задачи, при решении которых необходимо привлечь элементы математической логики). Поэтому не случайно такие задачи являются хорошим средством развития учащихся. Осваивая комбинаторику, учащиеся получают знания, необходимые при изучении теории вероятностей, при этом у них развиваются способности к вероятностному мышлению. Отметим, что принципиальное значение комбинаторики заключается в том, что «в ее основе лежит способность субъекта определять, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий (а не только некоторые, отдельные). Данная способность образует необходимую предпосылку логически полноценного рассуждения» [31].

Методика обучения решению комбинаторных  задач строится с учетом психологических  особенностей учащихся на каждом этапе обучения и направлена на развитие комбинаторного мышления. Анализ учебно- методической литературы [9, 15, 20, 24, 29, 35, 36, 43, 79, 96-100, 175] показал, что на каждом из 4-х основных этапов > обучения в школе (начальная школа, 5-6 классы, 7-9 классы, 10-11 классы) к задачам по комбинаторике можно предъявить разные требования. Отметим, что требования, предъявляемые к задачам всех трех типов, а именно к комбинаторным, вероятностным и статистическим, на первых трёх этапах обучения подробно изложены в диссертационных исследованиях С.И. Воробьевой [43] и В.А. Болотюка [20], поэтому в нашем исследовании мы ограничимся рассмотрением данного вопроса относительно старших классов школы.

В старшей школе (10-11 классы) при изучении комбинаторики рассматриваются формулы для нахождения числа перестановок, сочетаний и размещений с повторениями и без. Изучение основных комбинаторных схем в учебной литературе проводится или на языке множеств или на языке выборок. По мнению ряда методистов, изучение комбинаторных схем на языке теории множеств, следует проводить в классах с углубленным изучением математики (математического, физико-математического профиля). Для классов гуманитарного и естественнонаучного профиля целесообразно отдать предпочтение второму подходу. Во-первых, для учащихся оказывается сложным понятие упорядоченного множества. Во-вторых, язык выборок позволяет опираться на содержание конкретной рассматриваемой задачи.

 Главным при изучении комбинаторики должны быть не тождественные преобразования выражений или решение уравнений, которые содержат выражения для числа размещений, перестановок, сочетаний. а решение содержательных задач, применение элементов комбинаторики к решению вероятностных задач. На старшей ступени обучения в условиях профильной школы главная задача — показать, как работают те или иные комбинаторные правила в области специализаиии школьников.

II. Вероятностные задачи. Среди вероятностных задач можно выделить следующие виды (В.А. Болотюк, [20]):

а) задачи на экспериментирование:

• наблюдение за случайными явлениями;
• задачи на проведение испытаний со случайными исходами;

б) задачи на качественное сравнение возможностей наступления событий:

• задачи на подбор условий достоверности, невозмооюности, случайности данного события;
• задачи на классификацию событий;
• задачи на проверку предположений о возможностях наступления данных событий;

в) задачи на количественную оценку вероятности:

• задачи на статистическое определение вероятности;
• задачи на классическое определение вероятности;
• задачи на геометрическое определение вероятности.

Приведем примеры задач всех трех видов, которые могут быть предложены старшеклассникам.

Задача 1. Исследовать 10 строк наугад выбранного отрывка из предложенного текста на количество гласных и согласных букв. Результаты подсчета оформить в виде таблицы:

Задача 2. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными, невозможными: А—{выделение водорода при взаимодействии разбавленных растворов кислот с металлами, стоящими в ряду активности (Н. Бекетов) до водорода}; В={образование осадка при растворении в воде соли и сахара}; С—{образование чистой серы при взаимодействии сероводорода Н₂Б с кислородом}.

Задача 3. Лабораторная крыса помещена в лабиринт и должна избрать один из пяти возможных путей. Лишь один из них ведет к поощрению в виде пищи. В предположении, что крыса с одинаковой вероятностью избирает любой путь, какова вероятность выбора пути, ведущего к пище?

Анализ учебно-методической литературы [20, 24, 28, 33, 37, 50, 64, 96, 97, 112, 128-130, 175] показал, что при изучении элементов теории вероятностей в старшей школе следует использовать статистическую интерпретацию основных понятий и фактов для того, чтобы приобретенные знания и навыки имели практическую направленность. По мнению большинства авторов, из трех основных подходов к формированию понятия вероятности (статистического, классического и аксиоматического), в общеобразовательной школе, в гуманитарных классах, классах технического, естественнонаучного, экономического профилей целесообразно строить изложение материала на статистическом определении вероятности. Этот подход экономней по времени, более доступен для учащихся в сравнении с другими благодаря тому, что в значительной мере опирается на их личный опыт, интуицию, здравый смысл.       Аксиоматический подход должен использоваться в классах математического профиля. Он отличается большей, по сравнению с другими подходами, строгостью и позволяет строить простейшие вероятностные модели случайных экспериментов. Учитывая то, что случайная величина является математической моделью многих реальных явлений и процессов, необходимо акцентировать внимание на изучении случайных величин, их числовых характеристик, их предельного поведения (закон больших чисел). Следует сформировать у учеников понимание смысла средних показателей, умение ориентироваться в которых помогает человеку принимать правильные решения, адекватно воспринимать поступающую информацию. Статистические исследования окружающих явлений нельзя реализовать без понимания степени изменчивости. Поэтому возникает необходимость в количественном оценивании разброса статистических данных.