Формирование у учащихся при обучении математике элементов теоретико - вероятностного стиля мышления

II этап. В 7-9 классах происходит постепенное усиление уровня строгости в изложении материала. Сначала можно рассмотреть классическую схему, то есть опыты с конечным числом равновозможных исходов. Равновозможные элементарные события  - такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом  появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Выпадения герба и цифры на симметричной монете представляются равновозможными, грани правильной игральной кости одна по отношению к другой также не имеют преимуществ.

Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий определяемых данным испытанием. Это — классическое определение вероятности случайного события. Полезно формуле Р(А)= т/п (m - число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, п - число всех равновозможных элементарных событий определяемых данным испытанием) придать наглядную иллюстрацию.              

Это определение представляет собой более высокую ступень математической формализации случайного явления, чем статистическое определение. Оно свободно от расплывчатых выражений, применяемых в статистическом определении. Однако оно носит ограниченный характер, связанный с концепцией равновозможности. Классическая вероятностная модель пригодна для опытов с конечным числом равновозможных исходов. Для вычисления вероятности события в классической модели применяются комбинаторные схемы.

Определим вероятность  того, что выпадет нечетное число очков при бросании правильной игральной кости. Количество равновзможных элементарных исходов в условиях данного эксперимента  - 6 (на кости могут выпасть следующие количества очков: 1,2,3,4,5,6), из них три исхода благоприятствуют нашему событию.

Можно представить множество  элементарных исходов в виде прямоугольника, разделенного на равные квадраты, каждый из которых представляет некоторое  элементарное событие. Выделим искомое  случайное событие (подмножество, состоящее  из 3 таких квадратов).

ω1

ω2

ω3

ω4

ω5

ω6

 

Значит, вероятность  события равна 3/6=1/2.     

Рисуем дерево возможных исходов, рядом с каждым его ребром записываем вероятность  элементарного события.  Дерево становится вероятностным. Находим искомую  вероятность 1/6+1/6+1/6=3/6.

В некоторых  случаях умение интерпретировать наблюдаемое  событие с помощью графов является самым простым подходом к вычислению вероятности этого события. Наглядность  при решении вероятностных задач  способствует повышению интереса учащихся к поиску закономерностей в случайных явлениях.

Классическое  определение можно рассматривать  как "мостик" от эмпирических основ  теории вероятностей к современной  теории, которая строится на базе теоретико-множественных  представлений. Действительно, с одной  стороны, оно допускает наглядную частотную интерпретацию. В результате проведения с учащимися лабораторных работ (например, кладем в коробку разноцветные кружки одинакового радиуса, вырезанные из одинаковой по структуре бумаги, тщательно перемешиваем их, не глядя, извлекаем один или несколько кружков) появляется возможность сравнения частоты наступления событий и его вероятности, вычисленной на основе классического определения. Подобные занятия имеют большое воспитательное значение, показывая, что в задаче, где господствует случай, имеются свои закономерности.

С другой стороны, классическое определение вероятности  может служить преддверием более  общего аксиоматического определения. Равновозможные случаи, которые используются в выше названном определении, по существу представляют собой элементарные события из конечного пространства элементарных событий, в котором специальным образом задана вероятность.

При классическом подходе определение понятия  вероятности сводится к более  простому понятию — равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Каким путем  следует подойти к понятию, например, вероятности выпадения шестерки при бросании такой кости? Пусть т₁/п, т₂/(п+1),…, т_N/N — относительные    частоты    наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты).

Вероятностью  события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредоточиваются значения относительных частот наступления события А при возрастании числа испытаний.

Это — статистическое определение вероятности случайного события.

Вероятность события  можно приближенно определить принципиально со сколько угодной высокой точностью, осуществив достаточно большое число испытаний и подсчитав частоту наступления события в этой совокупности испытаний.

Пусть стрелок  производит выстрел по мишени. Как  оценить вероятность попадания? Если события «попадание» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу:

Р («попадание»)=1/2.

Но они могут  быть неравновозможны. Скажем, первый мальчик постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни  выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а второй на стрельбище бывает редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз. Ясно, что у первого возможность попадания больше, чем у второго. Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как определяется число появлений герба при подбрасывании монеты.

Произведено выстрелов	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Число попаданий  первого мальчика	8	17	25	34	41	48	56	65	73	82
Число попаданий  второго мальчика	4	5	8	13	15	19	22	25	28	32

Из таблицы видно, что  как у первого мальчика, так  и у второго отношение числа попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у первого -  около 4/5, у второго  - около 3/10. Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания. Эта оценка тем более надежна, чем больше проведено опытов с целью установления ее значения.

Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий и подпространство, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.

С этой целью  можно рассмотреть такой пример. С какой вероятностью стрелка вертушки, изображенной на рисунке (круг разделен на 8 равных частей), остановится на черном секторе? Для ответа на этот вопрос можно: вычислить площадь черных секторов и разделить ее на площадь всего круга, или  найти суммарную длину дуг, ограничивающих черные секторы, и поделить ее на длину всей окружности.

Способ 2. Лучше отражает суть нашего эксперимента, ведь фактически мы выбираем точку на окружности, в которой остановится острие стрелки. Отсюда искомая вероятность будет Р=(2·π/4·R)/(2πR)=1/4.

Заметим, что  тот же результат можно было получить и без привлечения геометрической вероятности, ведь вертушка поделена на 8 равных ( значит равновозможных) секторов, из которых 2 выкрашены в черный цвет. Отсюда  Р=2/8=1/4.

Теперь рассмотрим пример, в котором геометрическое определение вероятности дает единственно  возможный способ решения.

В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? 

Изобразим квадрат  со стороной 4 см и закрасим в нем  множество точек, удаленных от ближайшей  стороны квадрата меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части  квадрата составляет 16 см² — 4 см² = 12 см². Отсюда искомая вероятность будет равна Р=12/16=3/4.

Геометрический подход к определению вероятности может применяться и тогда, когда задача не имеет геометрической природы. Рассмотрим такой пример.

Поезда метро  ходят с интервалом ровно 3 минуты. Какова вероятность того, что пассажир, пришедший на станцию в случайный момент времени, будет ждать поезда больше, чем 1 минуту?

Пассажиры, конечно же, не знают расписания поездов, и подходят на платформу в моменты времени, никак не связанные с движением  поездов. Изобразим моменты прихода  поездов на станцию точками на числовой оси Т_1, Т₂, ..., Т_к, .... Эти точки отстоят одна от другой на 3 минуты. Момент прихода пассажира на станцию изобразим точкой Р на этой же оси. Легко заметить, что если расстояние от точки Р до первой, следующей за ней точкой Т_к больше 1, то и ждать придется больше, чем 1 минуту (в остальных случаях ожидание не затянется больше, чем на минуту).    

Пассажир Р₁ уедет на своем поезде меньше, чем через минуту, а Р₂ придется ждать больше 1 минуты. Поскольку момент появления пассажира на станции не связан с расписанием поездов, можно считать, что все моменты времени в промежутке между двумя поездами для него равноправны, то есть имеем право применять геометрические вероятности. Так как все отрезки [Т_к-1; Т_к] имеют одинаковую длину, а точка Р обязательно попадет на один из них, достаточно рассмотреть именно этот отрезок. С интересующим нас событием (ожидание больше 1 минуты) связан отрезок длины 2, а весь отрезок [Т_к-1; Т_к] имеет длину 3, следовательно, вероятность интересующего нас события равна отношению 2/3.

Учащиеся отлично  знают, что плоская фигура имеет  площадь. Они знают, что площадь, например, прямоугольника можно измерить физически, накладывая на него квадратик, принятый за единицу площади. Эту  же площадь можно вычислить, предварительно определив длины сторон прямоугольника и затем перемножив их. Но при этом никому не приходит в голову говорить о разных площадях — измеренной и вычисленной. Есть  одно понятие «площадь» и есть разные способы его определения. При этом слово «определение» следует понимать как нахождение величины, а не как раскрытие сущности понятия.

Аналогично  можно подходить и к введению понятия вероятности. Разные случайные  события происходят с разной относительной  частотой: одни чаще, другие реже. Те события, которые происходят чаще, имеют большую возможность появления, а те, которые реже — меньшую. Иначе говоря, подобно тому, как каждая плоская фигура имеет свою меру пространственной протяженности — площадь, так и каждое случайное событие имеет свою меру возможности появления — вероятность. Как и площадь, эта мера может быть выражена числом. Находить это число, т.е. значение вероятности, можно в разных случаях по-разному. Можно проводить реальный эксперимент и считать число появлений события - это будет статистический подход к определению (нахождению значения) вероятности. В частном случае, когда количество элементарных исходов конечно и все эти исходы равновозможны, можно поступить иначе: подсчитать общее число возможных исходов и число исходов, благоприятных для рассматриваемого события, а затем разделить второе число на первое — это будет классический подход к определению вероятности. Итак, понятие вероятности одно, а способы нахождения значения вероятности разные.

Используются  четыре подхода к формированию понятия  вероятности: статистический, классический, геометрический и аксиоматический. При том или ином подходе к понятию вероятности вырисовывается единое ядро: вероятность — это специальная мера.

III этап (10 - 11 классы). Основным средством дифференциации обучения на старшей ступени является создание профильных классов и школ, которые могут иметь самые разнообразные цели математического образования. Однако, можно выделить некий "минимальный" уровень, то есть уровень обязательной подготовки, который бы обеспечил каждому выпускнику школы необходимый для полноценного функционирования в современном обществе уровень знаний.

Общий для всех профилей уровень обязательной подготовки предполагает, что учащийся овладевает теми умениями и навыками, которые  необходимы ему как специалисту, профессиональные интересы которого не связаны с математикой, как современному человеку для ориентации в повседневной жизни. Возможный уровень подготовки не является максимальным для всех профилей, он ориентирован на формирование общекультурных представлений и развитие навыков прикладного характера, позволяющих использовать вероятностно-статистические идеи и методы для решения задач, связанных с различными отраслями знаний, организацией производства и повседневными нуждами людей. Этот уровень характеризует возможную вероятностно-статистическую подготовку выпускника большинства профилей, однако в отдельных профилях (математическом, физическом и т.д.) может быть дополнен рядом требований, связанных с более высоким уровнем конкретных знаний.