Формирование у учащихся при обучении математике элементов теоретико - вероятностного стиля мышления

III. Статистические задачи. Математическая статистика - это раздел математики, задачей которого является установление соответствия между данными реального мира и его математическим описанием (рис. 2).

Рис. 2. Схема «Статистика»

 

Среди статистических задач можно  выделить следующие [20, с. 56]:

а) задачи на сбор, систематизацию, наглядное представление и анализ статистических данных;

б) задачи на интерпретацию статистических данных в графическом и табличном виде;

в) задачи на вычисление статистических характеристик данных;

г) задачи на принятие решений в практических ситуациях с применением статистических характеристик.

На старшей ступени школы  к вышеперечисленным видам статистических задач следует добавить следующие:

д) задачи на выдвижение и проверку статистических гипотез;

е) задачи на выявление корреляционных и регрессионных зависимостей экспериментальных данных;

Приведем примеры задач по статистике, которые, могут быть предложены учащимся 10-11 классов.

Задача 4. Говорят, что поэты умирают молодыми, а ученые живут долго. Так ли это? Из энциклопедии выпишем подряд данные о продолжительности жизни первых 60 упомянутых в ней поэтов и первых 60 уче

ных-математиков. Полученную выборку оформим в виде таблицы.

Поэты		Математики
Продолжительность жизни (лет)	Всего	Продолжительность жизни (лет)	Всего
21-30	6	21-30	1
31-40	11	31-40	1
41-50	8	41-50	3
51-60	16	51-60	5
61-70	8	61-70	17
71-80	8	71-80	16
81-90	3	81-90	17
Итого	60	Итого	60

 

1) вычислите среднюю  продолжительность жизни поэтов  и математиков (среднее арифметическое, моду); 2) оцените среднеквадратичные отклонения; 3) можно ли согласиться с утверждением? 4) допустим, мы хотим продолжить проверку утверэюдения — как это сделать?

Анализ учебно-методической литературы [20, 24, 28-30, 98, 124, 182] показал, что изучение элементов статистики в старшей школе не должно дублировать то, что изучалось в основной школе. При наличии времени и готовности учащихся, в классах с углубленным изучением математики можно познакомить учащихся с некоторыми идеями математической статистики, опираясь на неравенство Чебышева, биномиальное распределение. Что же касается учащихся классов гуманитарного и естественнонаучного профиля, то здесь необходимо уделить особое внимание практическим приложениям идей и методов статистики в интересующих учащихся областях деятельности: в истории, в языкознании, социологии, биологии, зоологии, медицине и т.д. Так, как при решении задач с практическим содержанием происходит формирование и развитие мышления школьников, формирование у учащихся правильных статистических представлений.

Использование задач как средства мотивации знаний, умений и навыков создает условия для реализации в процессе введения нового учебного материала связи обучения математике с жизнью, развития межпредметных связей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Природа понятия вероятности и методика его введения.

В наши дни человек  постоянно сталкивается с вероятностной  терминологией в политических и  научных текстах, широко использует ее в повседневной речи. Она звучит в завтрашнем прогнозе погоды, когда  речь заходит о вероятности дождя, в выступлении политика, когда он оценивает шансы или анализирует данные, в разговоре экономиста, организатора производства, ученого.

         Одним из важнейших компонентов вероятностно-статистического стиля мышления является понимание устойчивости в мире случайностей, упорядоченности случайных фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно воспринимаемые в жизни отдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всяких взаимосвязей. Самый простой и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности как о «теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении числа наблюдений. При этом понимание взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом — частотой приводит к осознанию статистической устойчивости частоты. В то же время важную роль играет и понимание того, что количественная оценка возможности наступления некоторого события может быть осуществлена до проведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом мы приходим к вычислению вероятностей в классической схеме.

          Рассмотрим введение понятия вероятности поэтапно.

I этап (5 - 6 классы) обучения охватывает два года  жизни учащихся и является  ключевым для их общеобразовательной  подготовки. Выделение 5 - 6 классов  в отдельную ступень продиктовано  следующими основными причинами. Во-первых, возраст учащихся 11 - 12 лет - является важным моментом в интеллектуальном развитии личности, в становлении вероятностной интуиции и мышления. На этом этапе вероятностно-статистическое образование имеет ряд специфических черт и особенностей: появляется необходимость и возможность изучать данный материал не распределенно, а в качестве отдельной темы курса математики, значительно возрастает роль межпредметных связей с другими школьными предметами, другими темами курса. При этом на первый план выходят существенные различия между статистическими закономерностями, начинают формироваться представления об особенности прогнозов, о характерных особенностях случайных явлений и процессов. Во-вторых, на данном этапе в школе изучается единый курс математики, отличающийся от курса алгебры 7 - 9 класса.

              В 5-6 классах сначала в игровой ситуации целесообразно начинать учить детей различать такие понятия, как «возможно да» или «обязательно да» (наверняка), «необязательно да» или «обязательно нет». Таким образом, начинается формирование понятия случайного события. Следует подвести детей к пониманию таких понятий, как «вероятнее», «менее вероятно», «равновозможно». Другими словами, можно научить детей качественно оценивать шансы наступления случайного события. Пока учащиеся еще не владеют свободно дробями, целесообразно сравнивать шансы наступления разных событий, пользуясь интуицией, предыдущим опытом. Здесь можно постепенно вырабатывать понимание того, что вероятность события можно измерять так же, как длину, массу, время и другие величины. Фактически в примерах, используемых для формирования этих понятий, речь идет о применении классической вероятности. Но прийти к сознательному применению формулы классической вероятности школьники смогут после экспериментирования с шарами, монетами, игральными костями и т.п. Спустя некоторое время учащиеся смогут решать подобные задачи, не прибегая к эксперименту. Все вводимые понятия базируются на интуиции, опыте, индуктивных и дедуктивных навыках мышления, которыми владеют учащиеся 5-6 классов. Учащиеся добывают знания через исследование поставленных проблем.

            Понятие вероятности вводится на данном этапе на эмпирическом уровне  через целенаправленное накопление эмпирического материала, описание эмпирического материала на языке математики.

Одним из вопросов, из которого родилась теория вероятностей, был вопрос о том, как часто  наступает то или иное случайное  событие в длинной серии опытов, происходящих в одинаковых условиях.

Исходы	Подсчет повторений	Сколько раз  в серии наблюдалось данное событие	Какая доля опытов завершилась наступлением данного  события
Выпал герб	|||||||||||||||||||||||||||	27	27/50=0,54
Выпала цифра	|||||||||||||||||||||||	23	23/50=0,46

            Рассмотрим опыт с бросанием монеты на парту. Он имеет два элементарных исхода: «выпал герб», «выпала цифра». Обсуждаем совместно с учащимися вопрос: могут ли произойти другие события в нашем опыте, отличные от событий «выпал герб», «выпала цифра»? Учащиеся говорят о том, что монета может встать на ребро, попасть в какую-нибудь щель, укатиться далеко-далеко. Поскольку в условиях нашего опыта такого случиться не может, договариваемся в качестве исходов рассматривать: «выпал герб», «выпала цифра». Исход бросания монеты случаен, и заранее сказать с уверенностью, выпадет герб или цифра, невозможно. Этот опыт можно проводить в одних и тех же условиях сколь угодно много раз. Проводим  с учащимися серию из 50 опытов по подбрасыванию монеты. Исходы опытов заносим  в  следующую таблицу.

Вводим понятия абсолютной и относительной частоты события. Повторим эксперимент n раз. Пусть m — число тех опытов, в которых наступило событие А. Число m – абсолютная частота. Отношение m/n называется относительной частотой  события А в данной серии опытов. В последнем столбце таблицы производилась регистрация относительных частот. Из таблицы можно увидеть свойства частот: сумма абсолютных частот равна числу опытов, относительная частота события – величина неотрицательная, сумма относительных частот равна 1.

Удобным наглядным  способом представления относительных  частот служат   гистограммы.

Однако, несмотря на случайность исхода этого опыта, при многократном его повторении можно наблюдать интересную закономерность. Продолжаем серии опытов с монетой. Практика показывает, что детям очень важно ощутить свою личную значимость в процессе поиска истин, решения проблем. Они с удовольствием выполняют исследовательские и творческие задачи.

Номер серии
Количество  опытов
Число выпадений герба
Частота исхода «выпал герб»
Число выпадений  цифры
Частота исхода «выпала цифра»

Следует учить  учащихся правильно проводить опыты, формировать понимание того, что для получения обоснованных выводов количество опытов может быть довольно большим. Поскольку проведение большого количества опытов требует определенных усилий и затрат значительного времени, можно поручать каждому ученику провести небольшое количество опытов (при этом заранее договариваемся проводить опыт единым образом), а потом объединить результаты опытов, проведенных всеми учащимися. Проведение даже незначительного количества опытов может надоесть ученикам, и они могут перейти к фальсификации их результатов. Чтобы предупредить такое явление, можно перейти постепенно к моделированию экспериментов с помощью таблицы случайных чисел, моделирование с помощью компьютера (старшеклассники создают нужную модель на компьютере, а  затем она используется на уроках). (Приложение 4)

Данные серии опытов регистрируются в следующей таблице. Таблица показывает, что относительная частота появления герба от серии к серии случайным образом колеблется около одного и того же числа.

 Далее переходим к сериям с возрастающим числом испытаний. Для  этого используем предыдущую таблицу, и будем рассматривать новые серии испытаний, которые получаются при объединении  двух серий, трех, четырех и т.д. По данным новой таблицы составляется график зависимости какой-нибудь из относительных частот от числа экспериментов.

Значит, относительная  частота события обладает свойством  устойчивости: с ростом числа опытов она имеет тенденцию стабилизироваться  вблизи числа.

Устойчивость  относительной частоты массовых случайных событий является объективным  свойством реального мира, который убедительно подтверждается практикой. Первые представления о статистической устойчивости возникли из наблюдений над демографическими явлениями.

Относительная частота повторения случайного события  служит прообразом понятия вероятности. Эта взаимосвязь лежит в основе статистического определения вероятности, которое целесообразно дать учащимся на данном этапе обучения на описательном языке. Вероятностью массового случайного события А называют такое число P, что частота события A почти для каждой большой группы испытаний лишь незначительно отклоняется от P.

Достоинства этого  определения: понятие вероятности  имеет корни в реальной действительности; является простым, естественным и доступным, хотя в ущерб формальной строгости. Недостатками данного определения является его "расплывчатость", которая выражается словами "почти", "большая группа", "незначительно отклоняется". Поэтому определение нельзя признать математическим.