Численные методы

а) ввод исходных данных

б) цикл для вычисления значений заданных функций для

в) цикл для вычисления коэффициентов системы уравнений (6.6)

г) вычисление первоначальных коэффициентов прогонки по формулам (6.2);

д) цикл для вычисления коэффициентов прогонки по формулам (6.11);

е) определение значения искомой функции на правой границе по формуле (6.3);

ж) цикл для вычисления значений искомой функции по формуле (6.8).

з) вывод значений аргумента x и функции y.

 

6.1.3  Метод коллокаций

 

Для решения  краевой задачи (6.1)-(6.3) зададим на отрезке некоторую линейно независимую систему дважды непрерывно дифференцируемых функций   таких, что удовлетворяет краевым условиям (6.2)-(6.3), т.е. , а остальные функции удовлетворяют однородным краевым условиям, т.е.

Заданная  система функций  называется базисной.

Составим  линейную комбинацию   базисных функций

 

С неизвестными пока коэффициентами . В силу линейности операторов функция при любых удовлетворяет заданным краевым условиям (6.2)-(6.3).

Функция

 

называется невязкой. Если невязка ближе к нулю, то функция совпадает с решением краевой задачи, поэтому стараются подобрать параметры   так, чтобы невязка стала как можно меньше.

Приближённое  решение краевой задачи (6.1)- (6.3) ищем в виде линейной комбинации базисных функций

 

Такая функция  u удовлетворяет краевым условиям при любых . Подставляя функцию (6.16) в уравнение (6.1), получим некоторый остаточный член , не равный нулю, поскольку функция u не является точным решением уравнения (6.1). Таким образом, получается система алгебраических уравнений:

 

 

 

относительно неизвестных . В более подробной записи имеет вид

 

 

Если система  однозначно разрешима, то найденные  из нее коэффициенты   подставляются (6.16). Число точек коллокаций должно согласовываться с количеством базисных функций. Чем больше используется базисных функций и, соответственно, точек коллокаций, тем точнее получается приближённое решение.

Алгоритм метода следующий:

1. Выписать базисные функции
2. Проверить выполнение нулевых краевых условий базисных функций.
3. Записать приближенно-аналитическое решение краевой задачи в виде
4. Записать все входящие в ДУ производные, продифференцировав решение .
5. Подставить полученные в п.3,4 выражения в ДУ.
6. Записать функцию невязки как разность левой и правой частей ДУ из п. 5.
7. Выбрать внутри интервала, ограниченного краевыми точками, n штук    ( по числу базисных функций) точки коллокаций.
8. Записать условия равенства нулю функции невязки в точках коллокации- результат система алгебраических уравнений относительно неизвестных констант
9. Вычислить константы
10. Записать окончательное приближенно-аналитическое решение краевой задачи.
11. Вычислить значение функции в точках коллокации.

Пример 1. Методом коллокаций решить краевую задачу

на отрезке   при

Решение. В качестве базисных функций выбираем полиномы . Функция удовлетворяет неоднородным краевым условиям , а функции , — однородным краевым условиям . Точками коллокаций примем точки Ограничимся тремя базисными функциями и положим приближенное решение уравнения равным

 

В результате невязка  будет равна

 

Подставляя координаты точек коллокаций в выражение невязки, получим систему уравнений для определения коэффициентов

 

Отсюда находим  и приближённое решение будет иметь вид

 

Пример2. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка и его граничные условия, решить уравнение методом коллокаций

 

 

Решение.

На отрезке [a, b] выберем систему  базисных функций

 

Проверим  систему на ортогональность

 

 

 

Выбранная система базисных функций является ортогональной и удовлетворяет условию выбора конечной системы базисных функций

 

 

 

Будем искать решение задачи в виде

 

1. Рассмотрим решение задачи с двумя базисными функциями

 

Тогда решение

 

Составим  невязку

 

 

На отрезке  выберем за точку коллокации 0.

 

Таким образом, решение задачи имеет вид

 

2. Рассмотрим решение задачи с тремя базисными функциями 

 

Тогда решение

 

Составим  невязку

 

 

На отрезке  выберем две точки коллокации: 0 и . Составим систему уравнений

 

 

Таким образом, решение задачи (17)

 

 

6.2 Индивидуальные задания

 

 Решить дифференциальные уравнения  нижеперечисленными методами и  построить блок-схему:

1. прогонки;
2. коллокаций.

Используя ручной расчёт и алгоритмический язык высокого уровня, сделать сравнительный анализ используемых методов.

Найти решения  следующих дифференциальных уравнений  при заданных граничных условиях:

Таблица 6

№	Уравнение	Граничные условия	h
1	¢¢¢p		0.01
2	¢¢¢p		0.01
3	¢¢¢		0.01
4	¢¢¢		0.01
5	¢¢¢		0.01
6	¢¢¢		0.01
7	¢¢¢		0.01
8	¢¢¢		0.01
9	¢¢¢		0.01
10	y ¢¢ + x 2y ¢ + 2y  = 2x - 1		0.01
11	¢¢¢p		0.01
12	¢¢¢p		0.01
13	¢¢¢		0.01
14	¢¢¢		0.01
15	¢¢¢		0.01
16			0.01
17			0.01
18			0.01
19			0.01
20			0.01
21			0.01
22			0.01
23			0.01
24			0.01

 

6.3 Контрольные вопросы

 

1. Какая задача называется краевой?

2. Определите физическую сущность каждого члена уравнения (6.1), если оно описывает колебательное движение какого-либо объекта.

3. От какого параметра зависит точность метода ?

4. Почему производные искомой функции заменены формулами (6.4)?

5. Какая система алгебраических уравнений является системой с трехдиагональной матрицей ?

6. Почему процесс вычисления коэффициентов прогонки называется прямой прогонкой ?

7. Почему процесс вычисления значений искомой функции называется обратной прогонкой ?

7 Лабораторная работа № 7. Метод сеток для решения уравнения теплопроводности

 

Цель работы: изучение одного из популярных методов – метод сеток для решения уравнений математической физики на примере задачи о теплопроводности.

 

7.1 Теоретические сведения

 

Рассмотрим  решение дифференциального уравнения  в частных производных параболического типа ( уравнение теплопроводности):

                                                               (7.1)

для и известных функциях

Геометрически область представляет собой «стакан», с трёх сторон которого значения функции заданы, а на верхней кромке ( при ) значения функции не известны. Их вычисление и является целью рассматриваемых алгоритмов.

Наложим равномерную сетку на заданную прямоугольную область (стакан): по с маленьким шагом и по - с ещё меньшим шагом

 

 

Значение функции будем обозначать

 

7.1.1 Явная схема

 

Пусть на некотором  слое известны все (i=0,1,..,n). Попытаемся вычислить значения во всех внутренних узлах (i=1,..,n-1) на следующем слое. В граничных узлах нового слоя ( при i=0 и n) функция вычисляется по формулам .

Для внутренней точки  запишем конечно -разностные соотношения:

 
          Подставим выражения (7.2)  в (7.1)  и выразим :

 

Эта формула  носит название явная схема. Явная разностная схема называется условно устойчивой при ограничениях на и и удовлетворяет следующему условию:

 

Алгоритм нахождения решения  такой системы (7.3) следует по слоям:

а) Решение на нулевом слое задано начальными условиями , ;

б) на следующем слое находится по явной формуле ;

в) а значения доопределяются из граничных условий, где  шаг по времени изменяется .

 

7.1.2  Неявная схема

 

Пусть на некотором  слое известны все (i=0,1,..,n). Попытаемся вычислить значения во всех внутренних узлах (i=1,..,n-1) на следующем слое. В граничных узлах нового слоя ( при i=0 и n ) функция вычисляется по формулам

Для внутренней точки ( i+1,j) запишем конечно –разностные соотношения:

 

Подставим выражения (7.4) в (7.1)) и в левой части полученного выражения с группируем значения на новом j+1 слое (  для i=1,2,..,n:

 

 

Решение (7.1) с помощью системы уравнений (7.5) носит название неявная схема. Решение получается более устойчивым по сравнению с явной схемой. Абсолютно устойчива при любом соотношении шага τ и h.

Для фиксированного значения j система (7.5) имеет вид:

 

 

 

Здесь и коэффициенты вычисляются по формулам:

 

 

 

 

 

Здесь для  каждого шага по времени необходимо решить систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Такая система ранее (в предыдущей лабораторной работе №6) рассматривалась при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, при решении которой был использован метод прогонки.

Студенту  рекомендуется самостоятельно составить  алгоритм для данной расчетной схемы  и разработать программу решения  задачи.

 

7.2 Индивидуальные задания

 

 Решить уравнение теплопроводности  используя нижеперечисленные схемы  и составить программу по указанным   блок-схемам рисунка (7.1) и (7.2):

1. явная;
2. неявная.

Сделать сравнительный анализ используемых схем.

Решить смешанную  задачу для уравнения теплопроводности

                +f(x,t),                  где а =1,  f(x,t)= 0

с начальным  условием            U(x,0) = j(x);

и граничными условиями      U(0,t) = y₁(t),   U(L,t) = y₂(t).

Таблица 7

№	j(x)	y1	y2
I	II	III	IV
1		0	2t + 1
2		2t	0
3		2t	2
4		t + 1	0
5	p	2t	0
6		-6t + 1	1,5
7		6t + 0,9	0,5
8		0,2	2(t – 0,2)
9		0,2	3(t + 0,2)
10		1	0,2t
11		0	2t
12		2t	1
13		5t+0,7	0,3
14		-5t	2
15		2	3t
16		0	2t + 1
17		2t	0
18		2t	2
19		t + 1	0
20		2t	0
21		-6t + 1	1,5
22		6t + 0,9	0,5
23		0,2	2(t – 0,2)
24		0,2	3(t + 0,2)

 

7.3 Контрольные вопросы

 

1. Какие уравнения называются  уравнениями математической физики?

2. Назовите типы уравнений математической  физики.

3. К какому типу относится уравнение теплопроводности?

4. Сравнительный анализ двух схем на устойчивость в зависимости от t и h, точность результата и количество итерации?

5. Почему формулу (7.5) называют неявной ?

6. В чем отличие конечно-разностного  метода от метода сеток?

7. От какого параметра зависит  точность метода сеток?

8. При выполнении какого условия  явная расчетная схема устойчива?

9. Почему система (7.5) является  системой с трехдиагональной  матрицей ?

10. Почему формула (7.3) является  явной ?

11. Назовите другие методы решения задач математической физики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:  Изд-во «Наука», 1972 .

2. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 320 с.

3. Сливина Н.С. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. –М.: Высш. шк. 1983. – 203 с.

4. Cамарский А.А., Гулин А.В. Математические модели в инженерных расчётах на ЭВМ, - М.: Наука, 1989. - 432 с.

5. Cамарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977.

6. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – М.: Высш. шк., 2002.- 840 с.

7. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения, - М.: Высшая школа, 2001.-382 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.- М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. – 632 с.

9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970. – 664 с.

10. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972. – 308 с.

11. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. – Томск: МП "РАСКО", 1991. – 272 с.