Численные методы

 

4.3 Контрольные вопросы

 

1. Каковы преимущества численных методов интегрирования ?

2. Каковы недостатки численных методов интегрирования?

3. Какова точность вычисления определенного интеграла методом трапеций?

4. По Вашему мнению, какой из предложенных выше методов более точный ?

5. В каких случаях целесообразно применение численных методов интегрирования ?

 

5 Лабораторная работа №5. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Цель работы: изучение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым приводятся инженерные задачи.

 

5.1 Теоретические сведения

 

Среди задач, с которыми приходится иметь дело в вычислительной практике, значительную часть составляют различные задачи, сводящиеся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, например, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории электрических цепей – законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций – законы действия масс и т.д. Для простоты изложения методов решения задачи будем рассматривать случай одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть на отрезке x₀ £ x £ b требуется найти решение y(x) дифференциального уравнения

,                                                       (5.1)

 

удовлетворяющее при x = x₀ начальному условию

                                              (5.2)

Будем считать, что условия существования и  единственности решения поставленной задачи Коши выполнены.

Численные методы (правила), в которых для нахождения значения функции в новой точке  используется информация только об одной (предыдущей) точке, называются одношаговыми (задачи с начальными условиями или задачи Коши).

Численные методы (правила), в которых для нахождения значения функции в новой точке  используется информация о нескольких (предыдущих) точках, называются многошаговыми (граничные задачи, когда дополнительные условия ставятся на концах рассматриваемого отрезка).

 

5.1.1  Метод Эйлера

 

Разностный способ. Рассматривая уравнение  (5.1) в точке , с учетом (5.2) имеем равенство

 

Применяя к его левой части  аппроксимацию производной правым разностным отношением первого порядка точности

 

получаем

 

Общая расчетная формула метода Эйлера

 

с учётом начального условия (5.2), где

 

Алгоритм этих формул очень простой.

а) (начальные условия);

б) вывод вычисленных значений

в) (вычисление значения искомой функции в новой точке);

г) (переход к следующей точке);

д) Если то осуществляется переход в п. б).

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага систематически возрастает.

 

5.1.2 Метод Рунге-Кутта

 

Существуют  другие явные (т.е. значение явно вычисляется по k предыдущим значениям ) и одношаговые (k=1) методы. Наиболее распространенным из них является метод Рунге-Кутта. На его основе могут  быть построены разностные схемы разного порядка точности (см.таблицу 5.1). Наиболее употребительной схемой метода Рунге-Кутта является схема 3.

Таблица 5.1

№	Формула	Вспомогательные переменные	Порядок ошибки
1
2
3

 

Рассмотрим алгоритм метода Рунге  – Кутта исходя из расчетных формул схемы 3 (таблицы 5.1):

а) (начальные условия);

б) вывод вычисленных значений

в) вычислить

г) (вычисление нового значения y);

д) (переход к следующей точке);

е) Если то осуществляется переход в п. б).

Метод Рунге-Кутта требует большого объема вычислений, однако обладает значительной точностью, что дает возможность проводить счет с большим шагом. Кроме того, важным преимуществом этого метода (например: перед методами Адамса и типа Адамса) является возможность применения «переменного шага», т.е. он допускает расчеты на неравномерных сетках.

 

5.1.3   Решение задачи Коши для ОДУ второго порядка

 

Рассмотрим  задачу Коши для дифференциального  уравнения второго порядка, разрешённого относительно второй производной:

 

                                    (5.4)

 

С помощью замены уравнение (6.4) превратится в систему

 

                                      (5.5)

 

Аналогично  дифференциальное уравнение n-го порядка  сводится к системе n-го порядка (n уравнений, каждое уравнение первого порядка ).

Решим данную систему методом Рунге-Кутта, используя формулу схемы 3 из таблицы 5.1. Вычислим сначала восемь промежуточных коэффициентов ( четыре пары ):

 

 

После этого вычисляется  и в новой точке по формулам:

 

 

  Для последнего вычисляется только

5.2 Индивидуальные задания

 

 Решить дифференциальные уравнения  нижеперечисленными методами и  построить блок-схему:

1. Эйлера;
2. Рунге-Кутта используя таблицу 5.1, с приведенными схемами.

Используя ручной расчёт и алгоритмический язык высокого уровня, сделать сравнительный анализ используемых методов.

Решить на отрезке [a,b] с шагом h задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений и начертить ломаную Эйлера.

Таблица 5.2

№	Уравнение	a	b	h	y0
I	II	III	IV	V	VI
1		0	1	0.02	0.2
2		1	2	0.05	1
3		2	3	0.02	1
4		1	3	0.04	2
5		0	2	0.04	5
6		0	1	0.05	3
7		1	2	0.02	2
8		1	1.6	0.02	2
9		0.5	1	0.01	1
10		0	0.2	0.01	1
11		0	1	0.02	0.5
12		0	2	0.02	1
13		2	3	0.02	1
14		0	2	0.04	1
15		0	1	0.05	4
16		1	3	0,02	0	0
17				0,02	1	0
18		0	2	0.03	0	-2
19		0	2	0.04	0	0
20		0	3	0.03	2	1
21		1	3	0.02	e	3e
22		0	2	0.02	2+	1
23		0	2	0.02	3	0
24		0	2	0.02	1	2
25		0	2	0.02	1	1

3. Контрольные вопросы

 

1. Какие уравнения называются дифференциальными?

2. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

3. Что является решением дифференциального уравнения: а) в высшей математике, б) в прикладной математике?

4. Какие методы решения дифференциальных уравнений называются одношаговыми, многошаговыми? Приведите примеры.

5. Сравните решения, полученные на первом, втором шаге методами Эйлера, Рунге-Кутта  (трудоемкость, погрешность…).

6. Как оценить погрешность применяемого метода? Как ее уменьшить?

7. Сравните одношаговые и многошаговые методы решения дифференциальных уравнений, указав достоинства и недостатки первых и вторых.

8. Можно ли использовать: а) многошаговые методы без одношаговых;  
б) одношаговые методы без многошаговых?

 

6 Лабораторная работа № 6. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Цель работы: изучение  методов решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматривается несколько способов приближенного решения двухточечных линейных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.

 

6.1 Теоретические сведения

 

В инженерной практике и при решении  многих задач механики, физики, теории колебаний и других, часто возникает необходимость решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида

 

где – заданные, непрерывные и определенные в некотором промежутке функции, а – независимая переменная, – искомая функция. На границах промежутка заданы краевые условия:

при

 

где – известные постоянные величины, j=0,1.

Если краевые  условия (6.2) и (6.3) задаются:

1. – условие называется условием первого рода;
2. – условие называется условием второго рода;
3. – условие называется условием третьего рода.

Требуется найти  функцию  в промежутке удовлетворяющую дифференциальному уравнению (6.1) и граничным условиям (6.2) и (6.3).

6.1.1 Метод конечных разностей

 

Идея метода конечных разностей (МКР) решения краевых  задач весьма проста и видна уже  из самого названия: вместо производных  в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации.

Введём на отрезке сетку с шагом

 

 

На этой сетке  определяются сеточные функции

 

отвечающие функциональным коэффициентам  данного дифференциального уравнения  (6.1). Считая у(х) точным решением данной краевой задачи (6.1) -(6.3), через

 

будем обозначать i-ю компоненту искомого каркаса приближенного решения Значения производных аппроксимируем конечноразностными отношениями по симметричным формулам второго порядка точности

 

Тогда исходное дифференциальное уравнение (7.1) будет записано в виде дискретных формул относительно дискретных значений искомой функции

 

 

После приведения подобных членов в (6.5) получаем стандартное трехточечное разностное уравнение второго порядка

 

 

 

где

при

Два недостающие уравнения системы (6.6) получаем из граничных условий (6.2) и (6.3),

 

Формулы (6.6) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений искомой функции в точках разбиения, причем эта система имеет особенность, ее основная матрица является трехдиагональной. Итак, вместо дифференциального уравнения (6.1) необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (6.6).

 

 

 

6.1.2 Метод прогонки

 

Особенность матрицы системы уравнений позволяет  использовать метод прогонки, сущность которого заключается в следующем: решение системы (6.6) находят в виде следующей рекуррентной формулы

 

где - неизвестные пока коэффициенты, называемые коэффициентами прогонки; они будут определены в дальнейшем. Из этой формулы, очевидно, следует следующая формула

 

Подставляя  формулу (6.9) в систему уравнений (6.6), получим

 

 

 

Сравнение формул (6.10) и (6.8) позволяет получить формулы для вычисления коэффициентов прогонки

 

 

Эти формулы  являются рекуррентными и для  вычисления значений неизвестных коэффициентов прогонки необходимо вначале определить первоначальные коэффициенты, для чего используется граничное условие на левой границе рассматриваемого промежутка

,

Вычисление  значений коэффициентов прогонки по формулам (6.12) и (6.11) называется прямой прогонкой. После вычисления коэффициентов прогонки вычисляются значения искомой функции , для чего используется граничное условие на правой границе промежутка

 

и рекуррентная формула (6.8). Процесс вычисления значений искомой функции по формулам (6.13) и (6.8) называется обратной прогонкой.

Алгоритм решения краевой задачи уравнения (6.1)-(6.3) методом прогонки будет иметь следующий вид: