Численные методы

Содержание

 

Введение	5
1 Лабораторная работа № 1.  Решение алгебраических и трансцендентных уравнений	6
1.1     Теоретические сведения	6
1.1.1  Метод деления пополам	6
1.1.2 Метод хорд	7
1.1.3 Метод касательных (Ньютона)	8
1.1.4  Метод простой итерации	9
1.2     Индивидуальные задания	10
1.3     Контрольные вопросы.	11
2 Лабораторная работа  № 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений	11
2.1     Теоретические сведения	12
2.1.1 Алгоритм метода Гаусса	12
2.1.2 Итерационные методы Якоби и Зейделя.	13
2.2      Индивидуальные задания	16
2.3    Контрольные вопросы.	18
3 Лабораторная работа № 3. Интерполирование и приближение функций	18
3.1      Теоретические сведения	18
3.1.1  Интерполяционный  многочлен Лангранжа	19
3.1.2  Интерполяционный многочлен Ньютона	20
3.1.3   Метод наименьших квадратов	22
3.2     Индивидуальные задания	23
3.3     Контрольные вопросы.	25
4 Лабораторная работа №4. Методы численного интегрирования	25
Теоретические сведения	26
4.1.1  Метод прямоугольников	26
4.1.2   Метод трапеций	26
4.1.3   Формула Симпсона	27
4.2       Индивидуальные задания	27
4.3       Контрольные вопросы.	28
5 Лабораторная работа №5. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений	28
5.1      Теоретические сведения	28
5.1.1   Метод Эйлера	29
5.1.2   Метод Рунге-Кутта	30
5.1.3  Решение задачи Коши для ОДУ второго порядка	31
5.2      Индивидуальные задания	32
5.3      Контрольные вопросы.	33
6 Лабораторная работа № 6. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений	33
6.1    Теоретические сведения	34
6.1.1  Метод конечных разностей	35
6.1.2  Метод прогонки	35
6.1.3  Метод коллокаций	36
6.2      Индивидуальные задания	39
6.3      Контрольные вопросы.	40
7 Лабораторная работа № 7. Метод сеток для решения уравнения теплопроводности	41
7.1     Теоретические сведения	41
7.1.1 Явная схема	41
7.1.2  Неявная схема	42
7.2      Индивидуальные задания	43
7.3      Контрольные вопросы.	44
Список литературы	45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Рассматриваются различные типовые  математические задачи, получаемые в процессе математического моделирования инженерных задач и задач автоматизированного управления. Для осуществления моделирования студент независимо от его специальности должен знать определённый минимальный набор алгоритмов вычислительной математики, а также владеть способами их программной реализации на персональном компьютере.

Изучение дисциплины «Численные методы»  базируется на знаниях студентов, полученных при изучении физики, математики и информатики.

Целью лабораторного практикума является усвоение и закрепление теоретического материала, приобретение практических навыков приближенного решения математических задач с помощью соответствующих численных методов. Здесь приведены описания семи лабораторных работ, охватывающих все основные разделы изучаемого курса. Их можно выполнять на аудиторных занятиях и самостоятельно. Каждое описание содержит перечень необходимых теоретических материалов, даются примеры решения типовых задач, уделяется внимание проблеме поиска решения, обоснованию выбранного способа решения, алгоритм решения, контрольные вопросы, индивидуальные задания на группу до 24 человек и порядок выполнения работы.

Темы и задания соответствует типовой учебной программе и при их выполнении каждый шаг качественного характера следует подкреплять теоретическими положениями. Предполагается, что общее время на исследования, составление компьютерных программ (если они необходимы), вычисления и подготовку письменного отчета по работе не должно превышать 2 — 4 часов.

Требования к вычислительным средствам  минимальны. Ручные расчеты можно  выполнять на микрокалькуляторе, для  автоматизации вычислений достаточно простейшей ПЭВМ с системой программирования Паскаль и др.

В работах, где основные расчеты  организуются в программном режиме, по крайней мере один шаг метода рекомендуется выполнить вручную. Это поможет лучше понять алгоритм вычислений, а затем описать его в виде компьютерной программы. В программах для итерационных процессов целесообразно предусмотреть вывод таблицы, отражающей результаты каждого шага процесса. Она явится хорошим наглядным материалом для анализа вычислений и беседы преподавателя с обучающимся.

В письменном отчете по лабораторной работе необходимо отразить следующее: тему работы и задание с учетом предложенного варианта, теоретические исследования (в краткой форме) и вычисления согласно порядку выполнения работы; программу для расчетов и блок- схему (если она необходима); выводимую программой таблицу (если она предусмотрена); итоговые результаты в требуемой форме.

 

 

1 Лабораторная работа №1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

 

Цель работы: научить студентов применять вычислительные методы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, часто встречающихся в инженерной практике.

 

1. Общие теоретические сведения

 

Во многих научных и инженерных задачах, например, в электродинамике при математическом моделировании электромагнитных волновых колебательных процессов в линиях передачи и резонаторах получают так называемое дисперсионное уравнение, возникает необходимость решения уравнений вида

                                                                                                     (1.1)

 

где функция определена и непрерывна на некотором интервале . Всякое значение , обращающее функцию в нуль, т.е. такое, при котором , называется корнем уравнения, а процесс нахождения – решением уравнения (1.1).

Геометрически решение уравнения (1.1) состоит в нахождении точек  пересечения графика функции  с осью ОХ.

Можно выделить два типа итерационных методов:

1) отделение корня, т.е. установление  достаточно малого интервала  (a,b), в котором содержится изолированный  корень уравнения (1.1);

2) уточнение корня до заданной  степени точности с помощью  одного из итерационных методов. 

 

1.1.1  Метод деления пополам

 

Метод половинного деления надежен  и его практически удобно применять для грубого нахождения корня уравнения, так как с увеличением точности возрастает объем выполняемой работы из-за медленной сходимости итерационного процесса. Метод применяется, если непрерывна на отрезке и [a,b] и .

Суть метода заключается в следующем (см. рисунок 1.1). Допустим, что корень уравнения (1.1) отделен, т.е. найден промежуток , где имеется единственный корень. Теперь необходимо найти его приближенное значение с заданной точностью

Алгоритм вычисления корня  будет следующий:

а) определяется середина промежутка [a,b]: c=(a+b)/2;

б) проверяется условие, если это условие выполняется, то искомое решение найдено и выводится значение c;

в) если условие  не выполняется, то проверяется условие

;

если  это выполняется, то b=c ,  в противном случае  a=c;

г) проверяется условие  если это условие выполняется, то процесс решения уравнения завершается и выводится значение c в качестве искомого решения; если это условие не выполняется, т.е. заданная точность не достигнута, то осуществляется переход к п. a для продолжения вычислений.

Рисунок 1.1 - Метод половинного деления

 

1.1.2 Метод хорд

 

Пусть нужно найти корень уравнения  на отрезке [a,b], причем известно, что непрерывна на [a,b] и Кроме того, пусть и на отрезке [a,b] сохраняют свой знак. Заменим функцию на отрезке [a,b] линейной функцией (см. рисунок 1.2), составив уравнение прямой, которая проходит через точки :

 

 

 

Рисунок 1.2 - Метод хорд

 

Учитывая  найдем первое приближенное значение корня по формуле

 

Далее рассмотрим отрезки и выберем из них тот, на концах которого функция имеет значения противоположных знаков. Те же вычисления выполним на выбранном отрезке и получим второе приближение к корню и так до тех пор, пока не получим корень уравнения (1.1) с заданной степенью точности.

Алгоритм метода следующий. До начала итерационного процесса задаем точность ε, с которой нужно получить решение, и отрезок [a,b], содержащий корень. Затем:

а) вычисляем приближение к корню:

 

 

б) проверяем выполнение неравенства , если оно выполняется, то считаем решением, если же не выполняется, продолжаем вычисления;

с) проверяем условие , и, если оно выполняется, полагаем , в противном случае и повторяем вычисления с п.а.

 

1.1.3 Метод касательных (Ньютона)

 

Метод основан на замене в точке начального приближения касательной, пересечение которой с осью Оx дает первое приближение , и т.д. Геометрическая интерпретация метода приведена на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Метод Ньютона

 

В общем случае очередное приближение  выражается через предыдущее приближение по формуле Ньютона:

 

.                                                        (1.2)

Для завершения вычислительного процесса должно быть задано условие, определяемое заданной точностью решения уравнения, оно имеет вид

 

                                                                                         (1.3)

 

При выборе начального приближения  корня необходимо руководствоваться следующим правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка [a,b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. В ОДНОМ случае   и начальная точка , во втором  и в качестве начального приближения берем .

Алгоритм решения уравнения (1.1) методом касательных будет иметь следующий вид:

а) вводится в память компьютера значение первоначального приближения корня

б) принимает значения ;

в) по формуле (1.2) определяется новое приближение корня;

г) проверяется условие (1.3), если оно выполняется, то вычислительный процесс завершается,  а если условие (1.3) не выполняется, то продолжается процесс вычисления п. в.;

 

1.1.4 Метод простой итерации

 

Заменим уравнение равносильным ему уравнением

                              (1.4)

Выбрав начальное приближение  и подставив его в правую часть уравнения (1.4), получим . Затем это значение снова подставим в правую часть уравнения (1.4) и найдем . Повторяя этот процесс, получаем числовую последовательность . При этом возможны два случая:

1) последовательность сходится, т.е. имеет предел и тогда этот предел будет корнем уравнения ;

2) последовательность расходится, т.е. не имеет предела или стремится к бесконечности.

Геометрическая интерпретация  метода показана на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Метод простой итерации

 

Метод сходится, если выполняется  условие . Чем меньше, тем быстрее сходимость итерационного процесса. Практически метод простых итераций осуществляется так:

а) преобразовывается уравнение к виду (1.4) таким образом, чтобы

б) принимается за начальное приближение любое число из отрезка [a,b];

в) вычисляется последовательность приближений по формуле

 

до тех пор, пока для двух последовательных приближений не будет выполнено неравенство .

Пример1. Найти методом простой итерации на отрезке [1,2] корень уравнения

Решение. К виду это уравнение можно преобразовать несколькими способами, например:

1). , т.е.

2). , т.е.

Проверим выполнение условия сходимости для [1,2]:

1) - условие не выполняется;

2) - условие выполняется, поэтому именно этот вариант следует использовать для организации итерационного процесса.                                   

 

1.2 Индивидуальные задания

 

Цель работы: найти все корни уравнения на отрезке [-10,10]. Варианты уравнений приведены в таблице 1.1. На первом этапе следует отделить корни. Для этого нужно вычислить значения функции на отрезке [-10,10] с шагом h = 0,5 и зафиксировать отрезки, на концах которых функция меняет свой знак. Для каждого варианта нужно построить график функции и таблицу ее значений на отрезке [-10,10] с шагом 0,5. После отделения корней следует уточнить корни одним из следующих методов с точностью ε = 0,001и построить блок-схему: